대수주기에 대한 표준적 추측

수학에서 대수 사이클에 대한 표준적인 추측들은 대수 사이클과 웨일 코호몰로지 이론의 관계를 설명하는 몇 가지 추측이다.알렉산더 그로텐디크가 구상한 이러한 추측의 원래 적용의 하나는 그의 순수한 동기의 구축이 반실현적인 아벨의 범주를 제공했다는 것을 증명하는 것이었다.더욱이 그가 지적했듯이, 표준적인 추측들은 또한 웨일 추측의 가장 어려운 부분, 즉 1960년대 말에 열려 있다가 나중에 피에르 들랭에 의해 증명된 "리만 가설" 추측을 암시한다; 웨일과 표준 추측의 관계에 대한 자세한 내용은 클레이만(1968년)을 참조하라.표준적인 추측들은 개방적인 문제들로 남아 있기 때문에 그들의 적용은 결과의 조건부 증거만 제공한다.위일 추측을 포함한 꽤 많은 경우에서, 그러한 결과를 무조건 증명할 수 있는 다른 방법들이 발견되었다.

표준 추측의 고전적인 형태는 고정된 Weil cohomology 이론 H를 포함한다. 모든 추측들은 "알제브라틱" cohomology classes를 다룬다. 이것은 부드러운 투영적 다양성의 cohomology에 대한 형태론을 의미한다.

H ^∗(X) → H ^∗(X)

Weil cohomology 이론의 구조의 일부인 사이클 클래스 맵을 통해 제품 X × X에 대한 합리적인 계수를 가진 대수적 사이클에 의해 유도된다.

추측 A는 추측 B에 해당하므로(그로텐디크(1969년, 페이지 1969 참조), 나열되지 않는다.

Lefschez 유형 표준 추측(컨jecture B)

웨일 이론의 공리 중 하나는 소위 하드 렙체츠 정리(또는 공리)이다.

고정된 평활 하이퍼플레인 섹션으로 시작

W = H ∩ X,

여기서 X는 주변 투사 공간에서 주어진 부드러운 투사적 다양성 P이고 ^N H는 하이퍼플레인이다.그런 다음 i ≤ n = dim(X)의 경우 렙쉐츠 연산자

L : H ⁱ(X) → H ⁱ⁺²(X),

코호몰로지 클래스와 W 클래스를 교차시켜 정의되며 이등형성을 부여한다.

Lⁿ⁻ⁱ : H ⁱ(X) → H ²ⁿ⁻ⁱ(X)

이제 i ≤ n에 대해 다음을 정의한다.

λ = (Lⁿ⁻ⁱ⁺²)⁻¹ ∘ L ∘ (Lⁿ⁻ⁱ) : H ⁱ(X) → H(X ⁱ⁻²)

λ = (Lⁿ⁻ⁱ) ∘ L ∘ (Lⁿ⁻ⁱ⁺²)⁻¹ : H ²ⁿ⁻ⁱ⁺²(X) → H(X ²ⁿ⁻ⁱ)

이 추측에 따르면 렙체츠 연산자(Ⅱ)는 대수적 주기에 의해 유도된다.

귄네스형 표준 추측(컨jecture C)

그 투사꾼들은

H ^∗(X) ↠ Hⁱ(X) ↣ H ^∗(X) ↣ H(X)

대수학이다. 즉, 합리적인 계수를 가진 주기 π ⁱ X x X에 의해 유도된다.이것은 어떤 매끄러운 투사적 다양성의 동기(그리고 보다 일반적으로 모든 순수한 동기)가 다음과 같이 분해된다는 것을 암시한다.

${\displaystyle h(X)=\bigoplus _{i=0}^{2dim(X)}h^{i}(X)}.}$

동기 $h{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ h$^{0}(X)}$ 및$$ h ${\displaystyle {\mathrm{2d}}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {m(X)}^{}}$ ${\$은(는) 항상 직접 합계로서 분리할 수 있다$$.그러므로 그 추측은 즉시 곡선을 그린다.그것은 머레(1990년)에 의해 표면으로 증명되었다.캣츠앤메싱(1974)은 한정된 분야에 걸쳐 정의된 대수적 변종에 대한 추측을 임의의 차원으로 보여주기 위해 웨일 추측을 사용해 왔다.

슈르메네프(1974)는 아벨리아 품종 A에 대한 귄네스 분해 사실을 증명했다.Deninger &, Murre(1991년)A가 n은i-th summand h에 나는{\displaystyle n^{나는}은abelian 다양한 행동}나는}{\displaystyle h^{나는}(A)(A)에 n-multiplication. 드 카탈도의 차우 동기의functorial Künneth 분해 전시회를 열고에 의해;Migliorini(2002년)은 Künneth decompo을 증명했다 이 결과를 정유하였다.sition힐베르트의 평탄한 표면의 점들을 위해.

추측 D(숫자 동등성 대 동질성)

추측 D는 수치와 동질성이 일치한다고 말한다.(특히 후자는 Weil cohomology 이론의 선택에 의존하지 않는다는 것을 암시한다.)이 추측은 렙체츠 추측을 내포하고 있다.호지 표준 추측이 유지된다면, 렙체츠 추측과 추측 D는 동등하다.

리버만은 이러한 추측을 통해 기껏해야 4개의 차원을 가진 품종과 아벨의 품종을 알아냈다.^[1]

호지 표준 추측

Hodge 표준 추측은 Hodge 지수 정리를 통해 모델링된다.원시 대수학 코호몰로지 클래스에 컵 제품 페어링의 확실성(양 또는 음)을 명시한다.만약 그것이 지속된다면, 렙체츠 추측은 추측 D를 내포하고 있다.특성 0에서 Hodge 표준 추측은 Hodge 이론의 결과로서 유지된다.호지 표준 추정은 표면 (Grotendieck (1958)과 차원 4의 아벨리아 품종 (Ancona (2020))에 대해 알려져 있다.

호지 표준 추측은 C에 대한 부드러운 투영 품종의 경우 모든 이성적(p, p)등급이 대수학이라는 호지 추측과 혼동해서는 안 된다.호지 추측은 특성 0의 영역에 걸친 다양성에 대한 렙체츠와 귄네츠 추측과 D를 내포하고 있다.테이트의 추측은 렙체츠, 귄네스, 그리고 모든 분야에 걸친 ℓ-adic cohomology에 대한 추측 D를 내포하고 있다.

표준 추측의 영속성 특성

아라푸라(2006)는 X와 Y의 두 대수적 변종에 대해 Y가 X에 의해 동기 부여되는 조건을 도입했다.정확한 조건은 Y의 동기가 (안드레의 동기의 범주에 속하는) X의 동기로부터 합계, 합계, 산출물 등을 이용하여 표현할 수 있다는 것이다.예를 들어 Y는 허탈적 형태론 X ${\displaystyle n^{}}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{n}\to Y}$이(가) 있을 경우 동기가 부여된다$.$^[2] Y가 범주에 없으면 그 맥락에서 동기가 부여되지 않는다.Y가 X에 의해 동기가 부여되는 부드러운 투영 복합 대수 품종 X와 Y의 경우, 표준 추정치는 D(동성 등가치는 숫자), B(Lefschez), Hodge 추측 및 일반화된 Hodge 추측이 X의 모든 힘을 보유할 경우 Y를 유지한다.^[3]이 사실은 예를 들어, 대수학적 표면의 점들에 대한 힐베르트의 계략에 대한 렙체츠 추측을 보여주기 위해 적용될 수 있다.

다른 추측과의 관계

베일린슨(2012)은 동기의 삼각형 범주에 있는 이른바 동기 t 구조의 (주관적) 존재가 렙체츠와 귄네스 표준 추측 B와 C를 내포하고 있음을 보여주었다.

참조

• Ancona, Giuseppe (2020), "Standard conjectures for abelian fourfolds", Invent. Math., arXiv:1806.03216, doi:10.1007/s00222-020-00990-7, S2CID 119579196

• Arapura, Donu (2006), "Motivation for Hodge cycles", Advances in Mathematics, 207 (2): 762–781, arXiv:math/0501348, doi:10.1016/j.aim.2006.01.005, MR 2271985, S2CID 13897239

• Beilinson, A. (2012), "Remarks on Grothendieck's standard conjectures", Regulators, Contemp. Math., vol. 571, Amer. Math. Soc., Providence, RI, pp. 25–32, arXiv:1006.1116, doi:10.1090/conm/571/11319, ISBN 9780821853221, MR 2953406, S2CID 119687821

• de Cataldo, Mark Andrea A.; Migliorini, Luca (2002), "The Chow groups and the motive of the Hilbert scheme of points on a surface", Journal of Algebra, 251 (2): 824–848, arXiv:math/0005249, doi:10.1006/jabr.2001.9105, MR 1919155, S2CID 16431761

• Deninger, Christopher; Murre, Jacob (1991), "Motivic decomposition of abelian schemes and the Fourier transform", J. Reine Angew. Math., 422: 201–219, MR 1133323

• Grothendieck, A. (1969), "Standard Conjectures on Algebraic Cycles", Algebraic Geometry (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968) (PDF), Oxford University Press, pp. 193–199, MR 0268189.

• Grothendieck, A. (1958), "Sur une note de Mattuck-Tate", J. Reine Angew. Math., 1958 (200): 208–215, doi:10.1515/crll.1958.200.208, MR 0136607, S2CID 115548848

• Katz, Nicholas M.; Messing, William (1974), "Some consequences of the Riemann hypothesis for varieties over finite fields", Inventiones Mathematicae, 23: 73–77, Bibcode:1974InMat..23...73K, doi:10.1007/BF01405203, MR 0332791, S2CID 121989640
• Kleiman, Steven L. (1968), "Algebraic cycles and the Weil conjectures", Dix exposés sur la cohomologie des schémas, Amsterdam: North-Holland, pp. 359–386, MR 0292838.

• Murre, J. P. (1990), "On the motive of an algebraic surface", J. Reine Angew. Math., 1990 (409): 190–204, doi:10.1515/crll.1990.409.190, MR 1061525, S2CID 117483201

• Kleiman, Steven L. (1994), "The standard conjectures", Motives (Seattle, WA, 1991), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 55, American Mathematical Society, pp. 3–20, MR 1265519.

• Šermenev, A. M. (1974), "Motif of an Abelian variety", Funckcional. Anal. I Priložen, 8 (1): 55–61, MR 0335523

외부 링크

• 대수주기에 대한 표준 추측 진행률
• Kahleriens de sures de consuments de Weil을 추측한다.J.-P Serre (추가적인 dune 상트레 A)Weil, 1959년 11월 9일) 스캔