대수적 모계수
Algebraic matroid수학에서 대수적 매트로이드(material matroid)는 결합구조인 매트로이드(matroid)로, 대수적 독립성의 관계의 추상화를 표현한다.
정의
필드 익스텐션 L/K를 주어진 경우, 조른의 보조정리기는 K에 대한 L의 최대 대수적으로 독립된 부분집합이 항상 존재한다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다.또한, 모든 최대 대수학적으로 독립된 하위 집합은 연장의 초월도라고 알려진 동일한 카디널리티를 가지고 있다.
L 원소의 모든 유한 집합 S에 대해, S의 대수적으로 독립된 하위 집합은 매트로이드의 독립 집합을 정의하는 공리를 만족한다.이 매트로이드에서 원소 집합의 순위는 그 초월도이며, 원소의 집합 T에 의해 생성되는 플랫은 L과 필드 K[T]의 교차점이다.[1]이런 식으로 생성될 수 있는 매트로이드(matroid)를 대수학 또는 대수적으로 대표할 수 있는 것이라고 한다.[2]대수적 매트로이드의 좋은 특성화는 알려져 있지 않지만,[3] 특정 매트로이드는 비알로브라질인 것으로 알려져 있다; 가장 작은 것은 바모스 매트로이드다.[4][5]
선형 매트로이드와의 관계
많은 유한한 매트로이드는 매트로이드 원소가 매트릭스 열에 해당하는 필드 K 위에 매트릭스로 나타낼 수 있으며, 해당 열 집합이 선형적으로 독립된 경우 요소 집합이 독립적이다.필드 F에 대해 이 형식의 선형 표현을 가진 모든 행렬은 행렬의 각 행에 대해 불확정성을 선택하고 각 열 내의 행렬 계수를 사용하여 이러한 초월성의 선형 조합을 할당함으로써 F보다 대수적 행렬로 나타낼 수도 있다.[6][7]특성 0의 필드(실수 등)에 대해 선형과 대수적 매트로이드가 일치하지만, 다른 필드에는 선형적이지 않은 대수적 매트로이드가 존재할 수 있다.[8][9] 실제로 비 파푸스 매트로이드는 유한한 필드에는 대수학이지만 특성 0의 어떤 필드에는 대수학이 아니다.[7]단, 매트로이드가 특성 0의 필드 F에 대해 대수적이라면 F에[5] 대한 일부 유한한 초월 T 집합에 대해 F(T)에 대해 선형이고 F에 대한 대수적 폐쇄에 대해 선형이다.[7]
마감 속성
만약 매트로이드(matroid)가 단순한 확장자 F(t)에 대해 대수학이라면 F에 대한 대수학이다.대수적 매트로이드의 등급은 수축에 의해 닫히고,[10] F에 대한 매트로이드 대수학은 F의 원시분야에 걸쳐 대수학이라는 것이 뒤따른다.[11]
대수학 매트로이드의 등급은 잘림과 매트로이드 결합으로 마감된다.[12]대수적 매트로이드의 이중성이 항상 대수적인지[13] 그리고 세분류에 대한 배제된 사소한 특성화가 없는지는 알려져 있지 않다.[12]
특성 집합
매트로이드 M의 (알지브라틱) 특성 집합 K(M)는 M이 대수적으로 표현 가능한 필드의 가능한 특성 집합이다.[7]
- 0이 K(M)에 있으면 모든 충분히 큰 소수점이 K(M)에 있다.[7]
- 모든 전성기는 어떤 부전종의 고유한 특성으로 발생한다.[7][14]
- 만약 M이 F보다 대수학이라면, M의 어떤 수축도 F보다 대수학이고 따라서 M의 어떤 단조도 그렇다.[12]
메모들
- ^ 옥슬리(1992년) 페이지 216
- ^ 옥슬리(1992년) 페이지 218
- ^ 옥슬리(1992년) 페이지 215
- ^ Ingleton, A. W.; Main, R. A. (1975). "Non-algebraic matroids exist". Bulletin of the London Mathematical Society. 7 (2): 144–146. doi:10.1112/blms/7.2.144. MR 0369110. Zbl 0315.05018..
- ^ a b 옥슬리(1992) 페이지 221
- ^ 옥슬리(1992년) 페이지 220
- ^ a b c d e f 흰색 (1987년) 페이지 24
- ^ Ingleton, A. W. (1971). "Representation of matroids". Combinatorial Mathematics and its Applications (Proc. Conf., Oxford, 1969). London: Academic Press. pp. 149–167. MR 0278974. Zbl 0222.05025.
- ^ Joshi, K. D. (1997), Applied Discrete Structures, New Age International, p. 909, ISBN 9788122408263.
- ^ 옥슬리(1992) 페이지 222
- ^ 옥슬리(1992) 페이지 224
- ^ a b c 흰색(1987년) 페이지 25
- ^ 옥슬리(1992) 페이지 223
- ^ Lindström, Bernt (1985). "On the algebraic characteristic set for a class of matroids". Proceedings of the American Mathematical Society. 95 (1): 147–151. doi:10.2307/2045591. JSTOR 2045591. Zbl 0572.05019.
참조
- Oxley, James G. (1992). Matroid theory. Oxford Science Publications. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853563-5. Zbl 0784.05002.
- Welsh, D. J. A. (2010) [1976]. Matroid Theory. Courier Dover Publications. ISBN 9780486474397.
- White, Neil, ed. (1987), Combinatorial geometries, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 29, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-33339-3, Zbl 0626.00007
