대수형 토루스

In mathematics, an algebraic torus, where a one dimensional torus is typically denoted by ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$, ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$, or ${\displaystyle \mathbb {T} }$, is a type of commutative affine algebraic group commonly found in projective algebraic geometry and 토릭 기하학고차원 대수학 토리는 $대수학{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ 그룹 G ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$의 산물로 모델링할 수 있다$.$이들 집단은 리 집단 이론의 토리 이론과 유추하여 명명되었다(카탄 하위그룹 참조).For example, over the complex numbers ${\displaystyle \mathbb {C} }$ the algebraic torus ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ is isomorphic to the group scheme ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$, which is the scheme theoretic analogue of the Lie group ${\displaystyle U(1)\subset \mathbb {C} }$. In fact, any ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$-action on a complex vector space can be pulled back to a ${\displaystyle U(1)}$-action from the inclusion ${\displaystyle U(1)\subset \mathbb$${C} ^{*}}$ 실제 다지관으로서$$.null

토리는 대수집단과 눕집단의 이론과 대칭 공간과 건물과 같은 그것과 연관된 기하학적 물체의 연구에서는 근본적인 중요성을 갖는다.null

밭에 대한 대수적 토리

대부분의 장소에서 우리는 베이스 필드가 완벽하다고 생각한다(예: 유한 또는 특성 0).대수 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 특성 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 대해 매끄럽게 되기$$ 때문에 이 가설은 원활한 그룹 구성을 위해^{[1]pg 64} 필요하다$.$

충분히 큰 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$을(를) 위해 기하학적으로 줄여야 한다$.$ 즉, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 해당하는 지도의 $이미지$가 충분히 큰 r$${\$displaystyle r}$에 대해 부드럽다는$$ 뜻이다$.$

일반적으로 대수적 폐쇄 대신 분리 가능한 폐쇄를 사용해야 한다.null

필드의 승수 그룹

If ${\displaystyle F}$ is a field then the multiplicative group over ${\displaystyle F}$ is the algebraic group ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ such that for any field extension ${\displaystyle E/F}$ the ${\displaystyle E}$-points are isomorphic to the group ${\displ$$aystyle E^{\times$ $\}\}\}\}\}.$ 대수 그룹으로 적절히 정의하기 위해, $좌표{\displaystyle }$ x${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$,$${\$displaystyle x,y}$를 $가진{\displaystyle }$ F$${\$displaystyle F}$ 위에 있는 아핀 ${\displaystyle \mathrm{평면}}$에서 x${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystystyle$x,$y$$=1}$ 등식으로 정의한 아핀 품종을 취할 수 있다$.$The multiplication is then given by restricting the regular rational map ${\displaystyle F^{2}\times F^{2}\to F^{2}}$ defined by ${\displaystyle ((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')}$ and the inverse is the restriction of the regular rational map ${\displaystyle (x}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \mapsto }$( y${\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$.

정의

Let ${\displaystyle F}$ be a field with algebraic closure ${\displaystyle {\overline {F}}}$. Then a ${\displaystyle F}$-torus is an algebraic group defined over ${\displaystyle F}$ which is isomorphic over ${\displaystyle {\overline {F}}}$ to a finite product of copies of the multiplicative group.null

In other words, if ${\displaystyle \mathbf {T} }$ is an ${\displaystyle F}$-group it is a torus if and only if ${\displaystyle \mathbf {T} ({\overline {F}})\cong ({\overline {F}}^{\times })^{r}}$ for some ${\displaystyle r\geq 1}$. The basic terminology associated to tori다음과 같다.null

• 정수 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$을(를) $torus{\displaystyle \mathrm{}}$ T ${\$의 순위 또는 절대 순위라고 한다$$$.$
• $T$ (${\displaystyle E}$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}{}^{}}$) r ${\$r}) ^{$r}$ 필드 $확장자{\displaystyle }$ E / F {\displaystyle $E/F}$에 대해 Torus가 분할되었다고 한다$.$$T{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를) 분할하는$$$$ $위$에 $F${\$displaystyle$ \mathbf {T$}$의 고유한 최소 유한 확장이 있는데, $이$를 T ${\$의 분할 영역이라고 한다$.$
• $T{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 F ${\displaystyle$ $\mathbf {T$}의 F {\displaystyle $F}$의 $순위$는 T {\$displaystyp$ {T$}$의 분할 하위 토러스 최대 순위$.$ 토러스$$ $F{\displaystyle }$ ${\displaysty F}$의 순위와 동일한 경우에만 분할된다$.$
• 토러스(torus$)$는 F {\$displaystyle F}$ -랭크가$$ 0이면 비등방성이라고 한다.

이소게이지스

대수군들 사이의 이등성은 유한한 커널을 가진 허탈적 형태론이다; 두 개의 토리는 첫 번째에서 두 번째까지 이등성이 존재한다면 이등성이 있다고 한다.Isogenies between tori are particularly well-behaved: for any isogeny ${\displaystyle \phi :\mathbf {T} \to \mathbf {T} '}$ there exists a "dual" isogeny ${\displaystyle \psi :\mathbf {T} '\to \mathbf {T} }$ such that ${\displaystyle \psi \circ \phi }$ is a power map.특히 등가성이라는 것은 토리 사이의 동등성 관계다.null

예

대수학적으로 닫힌 영역 이상

어떤 대수적으로 폐쇄된 $필드{\displaystyle k\stackrel{}{}}$ = k$'{\$에 대해 주어진 등급의 고유한 이소모르피즘이 존재한다$$.For a rank ${\displaystyle n}$ algebraic torus over ${\displaystyle k}$ this is given by the group scheme ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}={\text{Spec}}_{k}(k[t_{1},t_{1}^{-1},\ldots ,t_{n},t_{n}^{-1}])}$^{[1]pg 230}.

실제 숫자에 걸쳐서

실수 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 넘어 정확히 (이소모르프까지) 1등급의 두 토리가 있다$$.

• 분할 토러스 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$
• 단일 그룹 $U{\displaystyle \mathbf{}(1}$) ${\displaystyle \mathbf {U}(1)$또는$$ 특수 직교 그룹 $S{\displaystyle \mathrm{}}$ O${\displaystyle (2}$) ${\displaystyle \mathrmat$ {$SO}(2)$로 실현될 수 있는 콤팩트 폼$.$ 비등방성 토러스다.Lie 그룹으로서 대각성 대수집단의 그림을 토리로 설명하는 1토러스 $T{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^$1}$에도 이형적이다$.$

모든 실제 토러스(torus)는 이 두 개의 유한한 합에 대해 균일하다. 예를 들어, 실제 $토러스{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ C${\displaystyle {}^{}}$×$${\$displaystyle \mathb{C$}${\displaystyle {}^{}}$$^{\$$times \mathb {R} ^{\time \mathb {T}$$^{1$}에 이형성은 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$R ×${\displaystyle {}^{}{}^{}}$에 이형성이 아닌$)$에 의해 이중으로 보호된다$$.이것은 이등성, 비이등성 토리의 예를 보여준다.null

한정된 영역에 걸쳐

유한 필드 $F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 걸쳐서 1등급 토리의 두 가지 등급이$$ 있는데, 이는 카디널리티 $q{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ $q-1}$과 비등방성 $+$1 {\${\displaystyle \mathrm{displaysty}}$ q+1}이다$.$후자는 매트릭스 그룹으로 실현될 수 있다.

보다 일반적으로 $E{\displaystyle /F}$ ${\displaystyle E/F$$}$이(가) 도 $d$의 유한$$필드 $확장$인 경우 E {\$displaystyle$ E$$}에서 $E{\displaystyle }$${\displaystyle E$$}$의$$승수 $그룹$의 F {\displaystytle $F$$}$ -torus가$$$$ $d${\$styled}$ $등급$의 F ${\d$$$} -torus$.$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ -rank$$ 1 (분리할 수 없는 필드 확장에 대한 스칼라의 제한은 토러스(torus)가 아닌 정류 대수학 그룹을 산출할 것이라는 점에 유의한다.)자기장 표준의 커널 N ${\displaystyle {E/F}_{}}$ ${\$도 비등방성이며 $순위{\displaystyle }$d - ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d-1}$인 torus이다$.$ 순위 1의 모든 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ -torus는$$ 2차 확장 표준의 커널에 분할되거나 이형이다.^[2]The two examples above are special cases of this: the compact real torus is the kernel of the field norm of ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ and the anisotropic torus over ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ is the kernel of the field norm of ${\displaystyle \mathbb {F}$$_{q^{2}}/\mathb {F} _{q$

역기 및 암소 8

분리할 수 없이 폐쇄된 영역에서는 Torus T가 두 개의 주요 불변성을 인정한다.그 무게 X격자}대수 homomorphisms의 대수 homomorphisms T→ Gm의 그룹 및 coweight X격자}(T){\displaystyle X_{\bullet}(T)∙는 그룹 GmT. →(T){\displaystyle X^{\bullet}(T)∙그의 계급은 원환체의 그들은 정준 nondegen 있는 것은 이런 것들 자유abelian 그룹이다.erate pairing ${\displaystyle X^{\bullet }(T)\times X_{\bullet }(T)\to \mathbb {Z} }$ given by ${\displaystyle (f,g)\mapsto \deg(f\circ g)}$, where degree is the number n such that the composition is equal to the nth power map on the multiplicative group.체중을 재어 주어지는 펑터는 토리와 자유 아벨리아 집단 사이의 범주에 대한 반정량이며, 카우팔 펑터는 등가성이다.특히 토리의 지도는 무게나 소에 대한 선형 변환이 특징이며, 토러스 자동형 집단은 Z에 대한 일반 선형 집단이다.가중치 펑터의 준역행은 자유 아벨리아 그룹에서 토리에 이르는 이원화 펑터에 의해 주어지며, 포인트의 펑터에 의해 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle D(M)_{S}(X):=\mathrm {Hom}(M,\mathb {G} _{m,S}(X)).}$

이러한 등가성은 승법형(형식집단의 구별되는 계급)의 집단과 임의의 아벨리아 집단의 사이를 통과하도록 일반화할 수 있으며, 토리의 범주에는 커널이나 여과된 콜리밋이 없기 때문에 품행이 좋은 범주에서 일하고자 한다면 이러한 일반화가 편리할 수 있다.null

필드 K가 분리하여 닫히지 않은 경우, K에 대한 토러스 무게와 카우 8 격자는 분리 가능한 닫힘에 대한 각각의 격자로 정의된다.이는 격자상 K의 절대 갈루아 집단의 표준적인 연속 동작을 유도한다.이 작용에 의해 고정되는 무게와 카우팔은 정확하게 K에 걸쳐 정의되는 지도들이다.역기를 취하는 펑터는 대수적 동형성을 가진 K에 대한 토리의 범주와 K의 절대 갈루아 그룹의 작용으로 미세하게 생성된 토션 자유 아벨리아 그룹의 범주 사이의 반양성이다.

유한 분리 가능한 자기장 확장 L/K와 L에 대한 Torus T를 고려할 때, 우리는 Galois 모듈 이형성을 가지고 있다.

${\displaystyle X^{\bullet }(\mathrm {Res} _{L/K}T)\cong \mathrm {Ind} _{G_{L}^{K}}X^{\bullet }(T).}$

T가 승수군일 경우, 이는 스칼라의 제한에 순열 모듈 구조를 제공한다.갈루아 집단의 순열 모듈인 중량 격자를 준분할이라고 하며, 모든 준분할 토리는 스칼라 제한의 유한한 산물이다.null

Semisimple 그룹의 Tori

토리의 선형 표현

위의 예에서 볼 수 있듯이, 토리는 선형 그룹으로 나타낼 수 있다.tori에 대한 다른 정의는 다음과 같다.

선형 대수군은 대수학적 폐쇄에 대해 대각선이 가능한 경우에만 토러스다.null

토러스(torus)는 이 필드 위에서 대각선이 가능한 경우에만 필드 위로 분할된다.null

세미 구현 그룹의 순위 분할

$G{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) 필드 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에 대한 반이구 구현 대수 그룹인 경우$$$$:

• 그 순위(또는 절대 순위)는 $G{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에서 최대 토러스 하위 그룹의 순위($$참고: 모든 최대 토리는 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에 걸쳐 결합되므로 순위가$$ 잘 정의됨)이다.
• 그것의 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ -rank$$($때로는{\displaystyle }$ F ${\displaystyle$ F$}$ -split$$ 순위라고도 함)는$$F {\$displaystyle F}$에 대해 $분할$된$$G {\$displaystyle G}$에서 토러스 부분군의 최대 순위다$.$

분명히 순위는 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ -rank보다$$ 크거나 같으며, 균등이 유지되는 경우에만 그룹을 분할이라고 한다($즉{\displaystyle \mathbf{}}$, $G{\displaystyle }$ ${\$ {$G}$에 F ${\displaysty F}$에 분할된$$ 최대 토러스(torus)가 있다).분할 토리를 포함하지 않을 경우 그룹을 비등방성($즉{\displaystyle }$, F ${\displaystyle F}$ -rank는$$ 0임)이라고 한다.null

반이행군 분류

반알제브라스의 고전적 이론에서 복잡한 분야 위에 카르탄 하위 알제브라스는 뿌리 시스템과 Dynkin 도표를 통한 분류에서 근본적인 반향을 일으킨다.이 분류는 복잡한 분야에 걸쳐 연결된 대수집단의 그것과 동등하며, 이들에서 카르탄 아발게브라는 최대 토리에 해당한다.실제로 분류는 분할 최대치 토러스(대수적으로 폐쇄된 필드에 대해 자동으로 충족됨)가 존재한다는 가정 하에 임의의 베이스 필드의 경우에 승계된다.능률적인 가정이 없다면 상황은 훨씬 더 복잡해지고 보다 상세한 이론이 개발되어야 하는데, 이것은 여전히 부분적으로 토리의 조정된 작용에 대한 연구에 기초하고 있다.null

If ${\displaystyle \mathbf {T} }$ is a maximal torus in a semisimple algebraic group ${\displaystyle \mathbf {G} }$ then over the algebraic closure it gives rise to a root system ${\displaystyle \Phi }$ in the vector space ${\displaystyle V=X^{*}(\mathbf {T} )\otimes _{\mathbb {Z} }$$\mathbb {R} }$. On the other hand, if ${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} \subset \mathbf {T} }$ is a maximal ${\displaystyle F}$-split torus its action on the ${\displaystyle F}$-Lie algebra of ${\displaystyle \mathbf {G} }$ gives rise to another root system ${\displaystyle {}_{F}\Phi$$}$. The restriction map ${\displaystyle X^{*}(\mathbf {T} )\to X^{*}(_{F}\mathbf {T} )}$ induces a map ${\displaystyle \Phi \to {}_{F}\Phi \cup \{0\}}$ and the Tits index is a way to encode the properties of this map and of the action of the Galois group of ${\displaystyle \overline{F}/}$$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi}$의 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle$ \$F}/F$$\}.$ Tits 지수는 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi}$과(와) 연관된 "절대적" Dynkin 다이어그램의 "상대적" 버전이다$.$ 명백히, 많은 Tits 지수만이 주어진 Dynkin 다이어그램에 해당할 수 있다.null

Another invariant associated to the split torus ${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} }$ is the anisotropic kernel: this is the semisimple algebraic group obtained as the derived subgroup of the centraliser of ${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} }$ in ${\displaystyle \mathbf {G} }$ (the latter is only a reductive group).이름이 비등방성 그룹임을 나타내며, 절대형은 F ${\displaystyle {}_{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{F}\Phi }$에 의해 고유하게 결정된다$.$

분류를 향한 첫 번째 단계는 다음과 같은 정리다^[3].

$두{\displaystyle }$ 개의 반이행 F ${\displaystyle F}$ -algebraic$$ 그룹은 동일한 Tits 지수와 이형 비등방성 커널을 갖는 경우에만 이형성이다.null

이는 분류 문제를 비등방성 그룹으로 감소시키고, 주어진 Dynkin 다이어그램에 대해 발생할 수 있는 Tits 지수를 결정한다.후자의 문제는 Tits(1966년)에서 해결되었다.전자는 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 Galois cohomology 그룹과 관련이 있다$.$ 보다 정확히 말하면 각 Tits 인덱스에는 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에 걸쳐 고유한 준분할 그룹이 연관되어 있다$.$ 그러면 모든 $F{\displaystyle }$ ${\displaysty F}$ - 그룹은$$ 이 준분할 그룹의 내부 형태이며, 갈루아에 의해 분류된다.부선 그룹에 계수가 있는$$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 동역학.null

토리와 기하학

대칭 공간의 평평한 하위 공간 및 순위

If ${\displaystyle G}$ is a semisimple Lie group then its real rank is the ${\displaystyle \mathbb {R} }$-rank as defined above (for any ${\displaystyle \mathbb {R} }$-algebraic group whose group of real points is isomorphic to ${\displaystyle G}$), in other words the maximal ${\displaystyle r}$ such thatthere exists an embedding ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\times })^{r}\to G}$. For example, the real rank of ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$ is equal to ${\displaystyle n-1}$, and the real rank of ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ is equal to ${\displaystyle min}$(${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle \min(p,q$

If ${\displaystyle X}$ is the symmetric space associated to ${\displaystyle G}$ and ${\displaystyle T\subset G}$ is a maximal split torus then there exists a unique orbit of ${\displaystyle T}$ in ${\displaystyle X}$ which is a totally geodesic flat subspace in ${\displaystyle X}$. It is in fact a최대 평면 아공간 및 최대 공간은 이러한 방식으로 분할 토리의 궤도로서 얻는다.$따라서{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$에서 평평한 하위 공간의 최대 치수로서 실제 등급의 기하학적 정의가 있다$.$^[4]

선반의 Q 순위

If the Lie group ${\displaystyle G}$ is obtained as the real points of an algebraic group ${\displaystyle \mathbf {G} }$ over the rational field ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ then the ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-rank of ${\displaystyle \mathbf {G} }$ has also a geometric significance.To get to it one has to introduce an arithmetic group ${\displaystyle \Gamma }$ associated to ${\displaystyle \mathbf {G} }$, which roughly is the group of integer points of ${\displaystyle \mathbf {G} }$, and the quotient space ${\displaystyle M=\Gamma \backslash X}$, which is a Riemannian orbifold and따라서 미터법 공간.Then any asymptotic cone of ${\displaystyle M}$ is homeomorphic to a finite simplicial complex with top-dimensional simplices of dimension equal to the ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-rank of ${\displaystyle \mathbf {G} }$. In particular, ${\displaystyle M}$ is compact if and only if ${\displaystyle \mat$$hbf {G} }$은(는) 비등방성이다.^[5]null

이를 통해 반실행 Lie 그룹에 있는 모든 격자의 $Q{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ - 랭크를$$ 점근성 원뿔의 치수로 정의할 수 있다는 점에 유의하십시오.null

건물들

If ${\displaystyle \mathbf {G} }$ is a semisimple group over ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ the maximal split tori in ${\displaystyle \mathbf {G} }$ correspond to the apartments of the Bruhat-Tits building ${\displaystyle X}$ associated to ${\displaystyle \mathbf {G} }$. In particular the di$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 mension은 $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 -rank$$ of $G{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과(와) 같다$$$.$

임의의 기본 구성표에 대한 대수적 토리

정의

기본 구성표 S에 따라, S에 대한 대수적 도로는 S에 대한 그룹 구성표 G_m/S에 대한 복사의 유한한 곱셈에 국소적으로 이형화된 fpqc에 대한 Fpqc에 대한 그룹 구성표라고 정의된다.다른 단어에는 충실하게 평면 지도 X→ S가 X에서 어떤 지점은quasi-compact 열린 동네 US의 이미지는 공개 아핀 subscheme, U에 그 기지 변화를 산출할 수 GL1,U)Gm[해명 필요한]의 들판 K의 S는 스펙트럼 특히 한중요한 사건은 복제품 유한한 제품이 있는 것과 같은. a를 만들고 존재하 토러스 S에 대한 algebrai.c 일부 유한 분리 가능 확장 L에 대한 확장이 G_m/L 사본의 유한 제품인 그룹.일반적으로 이 제품의 다중성(즉, 체계의 치수)을 토러스 순위라고 하며, S에서는 국소 상수함수라고 한다.

필드 위에 tori에 대해 정의된 대부분의 개념은 이 보다 일반적인 설정으로 이어진다.null

예

One common example of an algebraic torus is to consider the affine cone ${\displaystyle {\text{Aff}}(X)\subset \mathbb {A} ^{n+1}}$ of a projective scheme ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$. Then, with the origin removed, the induced projection map

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 대수적 토러스 구조를 제공한다$.$

역기

일반적인 기본 체계 S의 경우, 무게와 카우팔은 S에 있는 자유 아벨리아 그룹의 fpqc sheaves로 정의된다.이것들은 fpqc 토폴로지에 관한 기초적인 그룹오이드의 표현을 제공한다.만약 토러스(torus)가 에탈 위상과 같은 약한 위상에 대해 국소적으로 경미한 경우, 그룹의 층은 각 지수 그룹오이드를 통해 동일한 위상 및 이러한 표현 인자로 하강한다.특히 에탈레스는 준 이등변성토루스를 발생시키며, S가 국소적으로 노메테리아적이고 정상(더 일반적으로 기하학적으로 난치되지 않음)이라면 토루스는 동위원소다.부분적인 역류로서, 그로텐디크의 정리는 유한형의 어떤 토러스도 준 이등분, 즉 에탈레 추론에 의해 분할된다고 주장한다.null

S에 대한 n torus T 등급이 주어졌을 때, 꼬인 형태는 S에 대한 torus로, S에 대한 fpqc 커버가 존재하며, 그 베이스 확장이 이형형질인 경우, 즉 같은 등급의 torus이다.스플릿 토러스(Split torus)의 비틀린 형태의 이소모르프 등급은 비아벨리안 플랫 코호몰로지 H ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}S\mathbb{}}$, G ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle n_{}}$( Z${\displaystyle }$)${\displaystyle H^{1}(S,GL_{n})(\mathb {Z})})$에 의해 파라메트릭화되며$,$ 여기서 계수 그룹은 일정한 피복을 형성한다.특히 필드 K에 대한 분할 토러스 T의 비틀린 형태는 계수에 대한 사소한 갈루아 작용이 있는$$ 갈루아 코호몰로지 포인트 세트 ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ $1{\displaystyle {}^{}{G}_{}}$ K${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$)${\displaysty H^{1}(G_{K}}, GL_{n})(\mathb {Z})$의 요소에 의해 파라메트리된다.1차원 사례에서 계수는 순서 2의 그룹을 형성하며, 꼬인 형태의_m G의 이형성 등급은 K의 분리 가능한 2차 확장과 함께 자연적 편향에 있다.

무게 격자를 취하는 것은 범주의 등가성이기 때문에, 토리의 짧은 정확한 순서는 해당 무게 격자의 짧은 정확한 순서에 해당한다.특히 토리의 연장은 엑스트¹ 셰이브에 의해 분류된다.These are naturally isomorphic to the flat cohomology groups ${\displaystyle H^{1}(S,\mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(X^{\bullet }(T_{1}),X^{\bullet }(T_{2})))}$. Over a field, the extensions are parametrized by elements of the corresponding Galois cohomology group.null

산술불변제

다마가와 번호에 관한 연구에서는, T. 오노는 선택된 필드 k의 유한한 분리 가능 확장에 대해 토리의 일종의 경구 불변제를 도입했다.그러한 불변성은 K가 k의 유한한 분리 가능한 확장 위로 달리면서 다음과 같은 세 가지 특성을 만족시키므로 K에 대한 토리의 이형성 등급에 f의 양의_K 실질 가치 함수의 집합이다.

1. 승수: K에 대해 2개의 tori T와₁ T가₂ 주어짐, f_K(T₁ × T₂) = f_K(T₁) f_K(T₂)
2. 제한:유한 분리 가능 확장 L/K의 경우, L torus에 대해 평가된_L f는 스칼라를 K로 제한하는 것에 대해 평가된 f와_K 동일하다.
3. 투영적 사소한 일: T가 투영적 갈루아 모듈인 K에 대한 토러스라면, f_K(T) = 1이다.

오노 T. 오노는 숫자 필드를 넘는 토루스의 타마가와 번호가 그렇게 불변이라는 것을 보여주었다.Furthermore, he showed that it is a quotient of two cohomological invariants, namely the order of the group ${\displaystyle H^{1}(G_{k},X^{\bullet }(T))\cong Ext^{1}(T,\mathbb {G} _{m})}$ (sometimes mistakenly called the Picard group of T, although it doesn't classify G_m torT), 그리고 테이트-샤파레비치 집단의 순서.null

위에서 주어진 불변성의 개념은 보다 일반적인 링에서 값을 취하면서 임의의 기본 체계보다 토리로 자연스럽게 일반화된다.확장 그룹의 순서는 일반적인 불변성이지만, 위의 다른 두 불변성은 1차원 도메인의 분수 영역과 그 보완성의 영역 바깥에서 흥미로운 유사성을 가지고 있는 것 같지는 않다.null

참고 항목

• 토릭 기하학
• 토러스
• 토러스 기반 암호법
• 호프 대수

메모들

참조

• A. 그로텐디크, SGA 3 엑스포.8-X
• T. 오노, 다마가와 넘버에
• T. 오노, 다마가와 수학교수 78(1) 1963.
• Tits, Jacques (1966). "Classification of algebraic semisimple groups". In Borel, Armand; Mostow, George D. (eds.). Algebraic groups and discontinuous groups. Proceedings of symposia in pure math. Vol. 9. American math. soc. pp. 33–62.
• Witte-Morris, Dave (2015). Introduction to Arithmetic Groups. Deductive Press. p. 492. ISBN 978-0-9865716-0-2.