아라켈로프 이론

수학에서 아라켈로프 이론(또는 아라켈로프 기하학)은 수렌 아라켈로프의 이름을 딴 디오판틴 기하학에 대한 접근법이다. 디오판틴 방정식을 더 높은 차원으로 연구하는데 사용된다.

배경

The main motivation behind Arakelov geometry is the fact there is a correspondence between prime ideals ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$ and finite places ${\displaystyle v_{p}:\mathbb {Q} ^{*}\to \mathbb {R} }$, but there also exists a place at infinity $$$∞{\$ Archimedeans 평가에서 주어지는 것으로$,$ 그에 상응하는 프라임 이상을 가지고 있지 않다. 아라켈로프 기하학에서는 Spec${\displaystyle (Z\mathbb{}}$) {\$displaystyle${\$text{Spec}(\mathb${Z$})}$을(를) 전체 공간으로 압축하는 기술을 제공한다.

${\displaystyle {\overline {{\text{Spec}(\mathb {Z})}}}$

무한대에 전성기가 있는 곳이지 Arakelov's original construction studies one such theory where a definition of divisors is constructor for a scheme ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ of relative dimension 1 over ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ such that it extends to a Riemann surface ${\dis$$Playstyle X_{\infit }={\mathfrak{X}}(\mathb${C$}$ )은(는) 무한대의 모든 평가에 대해$$. 또한 $그$는 X ${\displaystyle$ X$}$의 복잡한 지점인 X(C) 위에 있는 홀로모르픽 벡터 번들에 대해 이러한 리만 표면에 에르미트식 지표를 장착한다$.$ 이 추가적인 에르미트식 구조는 설계 사양(Z)의 완전한 다양성에 대한 실패의 대안으로 적용된다.

F₁ 지오메트리의 기본인 ${\displaystyle \text{Spec}}$ (${\displaystyle Z\mathbb{}}$)${\displaystyle {\text{Spec}(\mathb {Z}$ $)\}$을(를) 확장하는 전체 공간을 구성하기 위한 다른 기법이 존재한다는 점에 유의하십시오.

디비저의 원래 정의

Let ${\displaystyle K}$ be a field, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ its ring of integers, and ${\displaystyle X}$ a genus ${\displaystyle g}$ curve over ${\displaystyle K}$ with a non-singular model ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}({\mathcal$${O}_{K$ 산술 표면이라고 한다. 또한, 우리는 허락했다.

${\displaystyle \inflt :K\to \mathb {C}}$

필드의 포함이다(무한도에서의 장소를 나타내는 것으로 가정한다). 또한 $∞{\$을(를) $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$로의 기저 변경에서 연결된 Rieman 표면이 되도록 하겠다$$$.$ 이 데이터를 사용하여 c-divisor를 공식 선형 결합으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle D=\sum _{i}k_{i}C_{i}+\sum _{\nothy }\lambda _{\nothy }}}}}}}$

where ${\displaystyle C_{i}}$ is an irreducible closed subset of ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ of codimension 1, ${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$, and ${\displaystyle \lambda _{\infty }\in \mathbb {R} }$, and the sum

${\displaystyle \sum _{\infully }}$

represents the sum over every real embedding of ${\displaystyle K\to \mathbb {C} }$ and over one embedding for each pair of complex embeddings ${\displaystyle K\to \mathbb {C} }$. The set of c-divisors forms a group ${\displaystyle {\text{Div}}_{c}({\mathfrak {X}})}$.

결과.

아라켈로프(1974년, 1975년)는 함수 필드의 경우 알려진 특정 결과를 증명할 목적으로 숫자 필드의 경우 부드러운 투영 곡선에 부착된 산술 표면에 교차 이론을 정의했다. 게르트 팔팅스(1984)는 이러한 맥락에서 리만-로치 정리, 노에더 공식, 호지 지수 정리, 이원화 피복의 자기중간성의 비부정성과 같은 결과를 확립함으로써 아라켈로프의 작품을 확장시켰다.

아라켈로프 이론은 폴 보즈타(1991)가 모르델 추측의 새로운 증거를 제시하기 위해, 게르트 팔팅스(1991)가 세르게 랭이 모르델 추측을 일반화했다는 증거에 사용하였다.

피에르 들랭(1987)은 아라켈로프의 정수 링 스펙트럼에 걸쳐 산술 표면에 정의된 교차 쌍을 정의하기 위해 보다 일반적인 프레임워크를 개발했다.

아라켈로프의 이론은 앙리 길렛과 크리스토프 소울레에 의해 보다 높은 차원으로 일반화되었다. 즉, 질레와 소울레는 산수 품종에 대한 교차 쌍을 정의했다. 질레와 소울레의 주요 결과 중 하나는 그로텐디크-리만-로치 정리가 산술 품종으로 확장된 질레트&소울레(1992년)의 산술 리만-로치 정리다. 이를 위해 산술 차우 그룹 X의 CH^p(X)를 정의하고, 산술 차우 그룹의 값을 취하면서 X 이상의 에르미트 벡터 번들에 대한 체르노 클래스를 정의한다. 산술 리만-로치 정리는 적절한 산술 품종 지도 아래 벡터 번들의 푸시 포워드 아래에서 체르 계급이 어떻게 행동하는지 설명한다. 이 정리에 대한 완전한 증거는 길렛, 뢰슬러, 소울레에 의해 최근에야 발표되었다.

아라켈로프의 산수표면에 대한 교차 이론은 장베누트 보스트(1999년)에 의해 더욱 발전되었다. 보스트 이론은 로그 특이점까지 소볼레프 공간 $L{\displaystyle {}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$에 속하는 녹색 함수의 사용에 근거한다$.$ 이 맥락에서 보스트는 산술 호지 지수 정리를 얻고 이것을 산술 표면의 렙체츠 이론을 얻기 위해 사용한다.

산술 차우 그룹

codimension p의 산술주기는 쌍(Z, g)으로, 여기서 Z ∈ Z^p(X)는 X의 p 사이클이고 g는 Z의 그린 전류로 그린 함수의 고차원 일반화다. codimension p의 산술 차우 그룹 C ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathrm{H}}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {CH} }}}}{p}(X)$는 특정 "격차" 사이클에 의해 생성된 하위 그룹에 의해 이 그룹의 몫이다.^[1]

산술 리만-로치 정리

통상적인 그로텐디크-리만-로치 정리는 체르누스 문자 ch가 셰이브의 푸시포워드 아래에서 어떻게 행동하는지 기술하며, 여기서_* f는 X에서 Y까지의 적절한 형태론이고 E는_*X/Y f에 대한 벡터 묶음이라고 기술하고 있다. 산술 리만-로치 정리는 토드 등급에 특정 파워 시리즈를 곱한 것을 제외하면 비슷하다. 산술 리만-로치 정리는 다음과 같다.

${\displaystyle {\hat {ch}}}}}}}(f_{*})([E])=f_{*}({\hat {\mathrm {ch}}}}}{\widehat {\mathrm {Td}}}}}}{R}(T_{X/Y})})}}}}}}$

, where

• X와 Y는 규칙적인 투사적 산수 체계다.
• f는 X에서 Y까지 매끄러운 적절한 지도다.
• E는 X에 대한 산술 벡터 묶음이다.
• ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{c}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{h}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$은(는) 산술 체른 문자다.
• T는_X/Y 상대 접선 번들이다.
• ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{T}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{d}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$은(는) 산술 Todd 클래스다.
• ${\displaystyle {\stackrel{}{}T}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathrm{d}}}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ R${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle E}$) ${\dat {\mathrm {Td}}}}}^{R}($${\displaystyle E}$$)}$은(는) T d ${\displaystyle \stackrel{}{}}$( E${\displaystyle )(1}$ -${\displaystyle ϵ}$ (${\displaystyle }$R${\displaystyle }$(${\displaystyle }$) )${\dstyle {\hatmatrm{Td}}}}}}{\$mathrmatrmatrmatrmat{Td}}}}}}}}}}}{$1-\e(R(R(E$)(R(E$)})})$이다.
• R(X)은 공식 파워 시리즈와 관련된 부가 특성 등급이다.

${\displaystyle \sum_{m}0 \atop m{\text{홀수}}{\frac{X^{m}}{m!}}}\{{{\premy }(-m)+\zeta(-m)\left1 \{1 \over 2}+\cdots +{1 \over m}\right)].}$

참고 항목

• 호지-아라켈로프 이론

메모들

참조

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• Arakelov, Suren J. (1975), "Theory of intersections on an arithmetic surface", Proc. Internat. Congr. Mathematicians Vancouver, vol. 1, Amer. Math. Soc., pp. 405–408, Zbl 0351.14003
• Bost, Jean-Benoît (1999), "Potential theory and Lefschetz theorems for arithmetic surfaces" (PDF), Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 32 (2): 241–312, doi:10.1016/s0012-9593(99)80015-9, ISSN 0012-9593, Zbl 0931.14014
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• Soulé, C.; with the collaboration of D. Abramovich, J.-F. Burnol and J. Kramer (1992), Lectures on Arakelov geometry, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 33, Cambridge: Cambridge University Press, pp. viii+177, doi:10.1017/CBO9780511623950, ISBN 0-521-41669-8, MR 1208731
• Vojta, Paul (1991), "Siegel's Theorem in the Compact Case", Annals of Mathematics, Annals of Mathematics, Vol. 133, No. 3, 133 (3): 509–548, doi:10.2307/2944318, JSTOR 2944318

외부 링크

• 오리지널 페이퍼
• 아라켈로프 지오메트리 프리프린트 아카이브