산술면

Arithmetic surface

수학에서, 분수 K{\를 가진 디데킨드 도메인 R 위의 산술 표면은 하나의 전통적인 차원, 그리고 다른 차원을 갖는 기하학적 객체다.R정수 Z고리일 때, 이 직관은 선과 유사한 것으로 보이는 가장 이상적인 스펙트럼 Spec(Z)에 의존한다.산술 표면은 디오판틴 기하학에서 자연적으로 발생하는데, K에 대해 정의한 대수 곡선거의 모든 P에 대해 R/P 분야에 걸쳐 감소를 갖는 것으로 생각될 때, 그리고 가장 순진한 방법이 이치에 맞지 않을 때 R/P로 감소하는 과정에 대해 어떤 일이 일어나야 하는지를 명시하는 데 도움이 된다.

그러한 물체는 일반 섬유와 특수 섬유에 대한 적절한 잔류물 장 위에 있는 곡선 조합(약칭 감소가능, 단수형, 비감소형)에 대해 비음속 투영 곡선 스타일 을(를) 가진 R-scheme로 보다 공식적으로 정의할 수 있다.

형식 정의

더 자세히 설명하면 산술 표면 Dedekind 도메인 는 형태론 :S→ S ( ) 속성을 가진 S is integral, normal, excellent, flat and of finite type over and the generic fiber is a non-singular, connected projective curve over and for other in ,

에 대한 곡선의 조합임[1]

Dedekind 계략에 대해

훨씬 더 일반성에서는, 산술 표면이 디데킨드 계략에 걸쳐 정의될 수 있는데, 그 대표적인 예가 숫자장(위의 경우)의 정수 의 스펙트럼이다.산술 표면은 차원 1의 데데킨드 구조 위에 일정한 섬유로 된 표면이다.[2]예를 들어, 이 일반화는 유한한 분야에 걸쳐 부드럽고 투영적인 베이스 곡선을 허용하는데, 이는 긍정적인 특성에서 중요하다.

무엇이 그들을 "산술적"으로 만드는가?

데데킨드 영역 위의 산술 표면은 대수 곡선 위의 섬유 표면의 산술 아날로그다.[1]산술 표면은 주로 숫자 이론의 맥락에서 발생한다.[3]실제로 숫자 필드 S 대한 곡선 X X를)[3] 고려할 때 일반적인 섬유가 X 에 대해 이형인 정수 K 의 링 위에 산술 표면이 존재한다 더 높은 차원에서도 산술법을 고려할 수 있다.

특성.

치수

산술 표면은 밑면 위에 치수 2와 상대 치수 1이 있다.[1]

디비저스

차원 1의 모든 국소 고리가 규칙적이기 때문에 우리는 산술 표면에서 Weil divisors 이론을 개발할 수 있다.이것은 "산술 표면은 코드인 1에서 규칙적이다"[1]라고 간략히 언급된다.그 이론은 예를 들어 하르트쇼른의 대수 기하학에서 개발되었다.[4]

투영선

Dedekind 도메인 위의 투영 선은 R 에 대한 부드럽고 적절한 산술 표면이며 최대 m {\ {에 대한 섬유는 필드 / R에 대한 투영선입니다.[5]

일반 미니멀 모델

타원곡선Néron 모델은 초기에 글로벌 영역에 걸쳐 정의되었으며, 이 구조의 예로서 산술 표면의 예에 많이 연구된다.[6]타원형 섬유로 된 강한 유사점이 있다.

교차로이론

산술 표면의 특수 섬유에 있는 두 개의 뚜렷한 불분포와 닫힌 점을 고려할 때, 우리는 어떤 대수적 표면에서와 같이, 즉 한 점에서 국부 고리의 특정 지수의 치수로서 그 점에 대한 국부 교차 지수를 정의할 수 있다.[7]그리고 나서 아이디어는 글로벌 교차지수를 얻기 위해 이러한 지역지수를 더하는 것이다.이론은 우리가 선형 등가점들이 동일한 교차지수를 제공하도록 할 때 대수 지표면에서 벗어나기 시작한다. 예를 들어, 그것 자체와 구분점 교차지수를 계산하는 데 사용될 것이다.이것은 산술 표면의 기본 구조가 "계산"이 아닐 때 실패한다.실제로 이 경우 선형 등가성은 교차점이 무한대로 이동할 수 있다.[8]이에 대한 부분적인 해결책은 우리가 교차하고자 하는 디비저의 집합을 제한하는 것이다. 특히 적어도 하나의 디비저를 "피브랄"로 강제하는 것은 바람직한 다른 요소들 중에서 이 특성을 갖는 고유한 교차점 쌍을 정의할 수 있다.[9]완전한 결심은 아라켈로프 이론에 의해 주어진다.

아라켈로프 이론

아라켈로프 이론은 위에 제시된 문제에 대한 해결책을 제시한다.직관적으로 K의 각 아치형 절대값마다 섬유질을 첨가하여 무한대로 섬유를 첨가한다.그런 다음 선형 등가성 하의 원하는 불변도로 전체 분할자 그룹으로 확장되는 로컬 교차점 쌍을 정의할 수 있다.[10]

참고 항목

메모들

  1. ^ a b c d Silverman, J.H. 고급 주제: 타원 곡선 산술.스프링거, 1994, 페이지 311.
  2. ^ 류, Q. 대수 기하학과 산술 곡선.옥스퍼드 대학 출판부, 2002, 8장.
  3. ^ a b 아이젠버드, D.와 해리스, J.계획의 기하학.스프링거-베를라크, 1998, 페이지 81.
  4. ^ 하트숀, R.대수 기하학.스프링거-베를랑, 1977, 페이지 130.
  5. ^ Silverman, J.H. 고급 주제: 타원 곡선 산술.스프링거, 1994년 312페이지
  6. ^ Silverman, J.H. 고급 주제: 타원 곡선 산술.1994년 제4장 스프링거
  7. ^ Silverman, J.H. 고급 주제: 타원 곡선 산술.스프링거, 1994, 페이지 339.
  8. ^ Silverman, J.H. 고급 주제: 타원 곡선 산술.스프링거, 1994 페이지 340.
  9. ^ Silverman, J.H. 고급 주제: 타원 곡선 산술.스프링거, 1994, 페이지 341.
  10. ^ Silverman, J.H. 고급 주제: 타원 곡선 산술.스프링거, 1994 페이지 344.

참조

  • Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 52. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9. Zbl 0367.14001.
  • Qing Liu (2002). Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press. ISBN 0-19-850284-2.
  • Eisenbud, David; Harris, Joe (2000). The Geometry of Schemes. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 197. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98637-5. Zbl 0960.14002.
  • Lang, Serge (1988). Introduction to Arakelov theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96793-1. MR 0969124. Zbl 0667.14001.
  • Silverman, Joseph H. (1994). Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 151. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94328-5. Zbl 0911.14015.
  • Soulé, C.; Abramovich, Dan; Burnol, J.-F.; Kramer, Jürg (1992). Lectures on Arakelov geometry. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 33. Joint work with H. Gillet. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-47709-3. Zbl 0812.14015.