아르틴의 원시적인 뿌리에 대한 추측

수론에서, 원시 근에 대한 아르틴의 추측은 제곱수도 -1도 아닌 주어진 정수 a가 무한히 많은 소수 p인 원시 근 모듈로라고 말합니다.추측은 또한 이러한 소수에 점근 밀도를 부여합니다.이 추측 밀도는 Artin의 상수 또는 합리적인 배수와 같습니다.

후자의 일기에 따르면 1927년 9월 27일 에밀 아르틴이 헬무트 하세에게 추측을 했습니다.그 추측은 2023년 현재 여전히 해결되지 않고 있습니다.사실, 아르틴의 추측이 증명된 a의 단일 값은 없습니다.

공식화

a가 제곱수가 아니고 -1이 아닌 정수라고 가정합니다.= ab을₀² 사각형 없이 작성합니다₀.S(a) a가 원시 루트 모듈롭이라는 소수 p의 집합을 S(a)로 나타냅니다.그러면 추측은 다음과 같이 말합니다.

S(a)는 소수 집합 내에서 양의 점근 밀도를 갖습니다.특히, S(a)는 무한합니다.
a가 완벽한 검정력이 아니며 a가 1 모듈로 4와 일치하지 않는 조건₀(OEIS의 시퀀스 A085397)에서 이 밀도는 a와 독립적이며 무한곱으로 표현될 수 있는 아르틴 상수와 같습니다.
$C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots$ $C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots$ $C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots$ $C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots$ $C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots$ $C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots$ ( $C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots$ $C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots$ $C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots$ = $C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots$ … $C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots$ \ $displaystyle C_{\mathrm {Artin}$ = \ $display_{p\\\mathrm {prime}$ =\left $(1-{\frac {1}{p(p$ )) $00.3739558136\dots$ (OE0096의 순서)

a가 위의 조건을 만족하지 않을 때 밀도에 대해 유사한 추측 생성물^[1] 공식이 존재합니다.이러한 경우, 추측 밀도는 항상 C의 합리적_Artin 배수입니다.

예

예를 들어, a = 2를 예로 들어 보겠습니다.이 추측은 2가 원시 근인 소수 p의 집합이 위의 밀도_Artin C를 갖는다고 주장합니다.이러한 소수의 집합은 (OEIS의 시퀀스 A001122)

S(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 139, 139, 149, 163, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 491, …

그것은 500보다 작은 38개의 원소를 가지고 있고 500보다 작은 95개의 소수가 있습니다.(추정적으로 C에 대한_Artin 경향이 있는) 비율은 38/95 = 2/5 = 0.4입니다.

부분 결과

1967년 크리스토퍼 훌리는 일반화된 리만 ^[2]가설의 특정 사례를 가정하여 추측에 대한 조건부 증명을 발표했습니다.

일반화된 리만 가설이 없으면 아르틴의 추측이 증명되는 a의 단일 값은 없습니다.D. R. Heath-Brown은 2, 3 또는 5 중 적어도 하나가 무한히 많은 소수 ^[3]p의 원시 루트 모듈임을 증명했습니다.그는 또한 아르틴의 추측이 실패하는 소수가 기껏해야 두 개라는 것을 증명했습니다(결과 2).

아르틴 문제의 몇 가지 변형

타원곡선

$y^{2}=x^{3}+ax+b$ 2 $=$ $y^{2}=x^{3}+ax+b$ 3 + $y^{2}=x^{3}+ax+b$ + $y^{2}=x^{3}+ax+b$ b {\ $displaystyle y$ ^{2}= $x^{3}+ax+b$ 에 $E$ $y^{2}=x^{3}+ax+b$ 주어진 타원 $곡선$ E {\ $displaystyle$ E $},$ 랭과 트로터는 E $E/(\mathbb {F_{p}} )$ / $E/(\mathbb {F_{p}} )$ ( $Fp)$ {\ $mathbb {F_{p}}}$ ^[4]에 $E/(\mathbb {F_{p}} )$ $E/(\mathbb {F_{p}} )$ 합리적인 점에 대한 추측을 제시했습니다.

구체적으로, 그들은 합리적인 점 E(Q)의 집합에서 무한 차수 P(\displaystyle P)의 주어진 점에 대해 일정한 CE({E})가 존재한다고 말했다P¯ {\displaystyle {p}}로 표시된 Aystyle P{\pmod {p}는 E {\displaystyle E}에서 E ¯ (\mathbb {F_{p})로 표시된 Fp {\mathbb {F_{p}}의 전체 점 집합을 생성합니다. 여기서 Pstystyle}의 좌표 분모를 나누는 소수는 제외합니다.

게다가, 랭과 트로터는 N $N(P)\sim C_{E}\left({\frac {x}{\log x}}\right)$ ( $N(P)\sim C_{E}\left({\frac {x}{\log x}}\right)$ ~ $N(P)\sim C_{E}\left({\frac {x}{\log x}}\right)$ ( $N(P)\sim C_{E}\left({\frac {x}{\log x}}\right)$ log $N(P)\sim C_{E}\left({\frac {x}{\log x}}\right)$ ) \\ $displaystyle$ N $(P)\sim$ C_ ${E}\left({\frac$ { $x$ $}{\$ $log$ x $}}\right$ ^[5]라고 $E/\mathbb {Q}$ 추측했습니다. 굽타와 머티는 일반화된 리만^[6] 가설 하에서 E $/Q$ 의 $E/\mathbb {Q}$ 을 사용하여 랭과 트로터 추측을 증명했습니다 $.$

짝수순

$p$ 는 $소수$ $1/p$ 의 소수 $1/p$ 1 $1/p$ / p $\$ $displaystyle$ 1 $/p$ 의 $1/p$ $p$ 주기가 얼마나 자주 짝수인지에 대한 질문을 제안했습니다.

제1항에 있어서, g (p - 12 j ) ≢ 1 mod p ({\frac {p-1}{2^{j}}\right)\not \equiv 1{\bmod {p}\displaystyle j1 및 j{\displaystyle j}가 유일하며, p가 1 + 2 j\displaystyleequ이다 $v1+2^{j}\mod {2^{j$

그 결과는 ^[4]^[7]1966년에 Hasse에 의해 증명되었습니다.

참고 항목

아르틴의 추측을 일반화하는 데 있어 아르틴의 상수가 여기서 연주하는 것과 같은 역할을 하는 숫자인 스티븐스 상수.
브라운-자센하우스 추측
전체 파충류 소수
순환수 (그룹 이론)

레퍼런스

^ Michon, Gerard P. (2006-06-15). "Artin's Constant". Numericana.
^ Hooley, Christopher (1967). "On Artin's conjecture". J. Reine Angew. Math. 1967 (225): 209–220. doi:10.1515/crll.1967.225.209. MR 0207630. S2CID 117943829.
^ D. R. Heath-Brown (March 1986). "Artin's Conjecture for Primitive Roots". The Quarterly Journal of Mathematics. 37 (1): 27–38. doi:10.1093/qmath/37.1.27.
^ ^a ^b Moree, Pieter. "Artin's Priimitive Root Conjecture – a survey" (PDF).
^ Lang and 2 Trotter (1977). "Primitive points on Elliptic Curves". Bull. Amer. Math. Soc. 83 (2): 289–292. doi:10.1090/S0002-9904-1977-14310-3.
^ Gupta and Murty (1987). "Primitive points on elliptic curves". Compositio Mathematica. 58: 13–44.
^ Hasse, H (1966). "About the density of prime numbers p, for a given integral number a not equal to 0 of even or odd order mod p". Mathematische Annalen: 19–23. doi:10.1007/BF01361432. S2CID 121171472.

[1] Michon, Gerard P. (2006-06-15). "Artin's Constant". Numericana.

[2] Hooley, Christopher (1967). "On Artin's conjecture". J. Reine Angew. Math. 1967 (225): 209–220. doi:10.1515/crll.1967.225.209. MR 0207630. S2CID 117943829.

[3] D. R. Heath-Brown (March 1986). "Artin's Conjecture for Primitive Roots". The Quarterly Journal of Mathematics. 37 (1): 27–38. doi:10.1093/qmath/37.1.27.

[:0-4] Moree, Pieter. "Artin's Priimitive Root Conjecture – a survey" (PDF).

[5] Lang and 2 Trotter (1977). "Primitive points on Elliptic Curves". Bull. Amer. Math. Soc. 83 (2): 289–292. doi:10.1090/S0002-9904-1977-14310-3.

[6] Gupta and Murty (1987). "Primitive points on elliptic curves". Compositio Mathematica. 58: 13–44.

[7] Hasse, H (1966). "About the density of prime numbers p, for a given integral number a not equal to 0 of even or odd order mod p". Mathematische Annalen: 19–23. doi:10.1007/BF01361432. S2CID 121171472.

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