아르틴 지휘자

수학에서 아르틴 지휘자는 지역 또는 글로벌 분야의 갈루아 그룹의 성격과 연관된 숫자 또는 이상으로서, 에밀 아르틴(1930, 1931년)이 아르틴 L 기능의 기능 방정식에 나타나는 표현으로 소개했다.

지역 아르틴 지휘자

L이 갈루아 그룹 G와 함께 로컬 필드 K의 유한한 갈루아 확장이라고 가정하자.$\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi}$이(가) G의 문자라면 $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi}$의 Artin 도체 번호가 된다$$.

${\displaystyle f(\chi )=\sum _{i\geq 0}{\frac {g_{0}}(\chi(1)-\chi(G_{i})}}$

여기서 G는_i 순서 g의_i i-th ramification 그룹(낮은 번호로 표시)이고, χ(G_i)는 G에_i $있는{\displaystyle }$ { ${\displaystyle \chi$}의 평균 값이다.^[1] Artin의 결과, 로컬 도체는 정수다.^[2][3]휴리스틱하게 아르틴 지휘자는 상위 라미네이션 집단의 행동이 사소한 것에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 측정한다.특히 χ을 미화하면 아르틴 지휘자는 0이다.따라서 L이 K에 대해 비문형화되면 모든 χ의 아르틴 도체는 0이 된다.

등장인물의 야생 불변체^[3] 또는 스완 지휘자는^[4]

${\displaystyle f(\chi )-(\chi (1)-\chi(G_{0}),}$

즉, i > 0보다 높은 순서의 항들의 합계.

글로벌 아르틴 컨덕터

글로벌 분야의 유한 확장 L/K의 갈루아 그룹 G의 대표 ${\displaystyle \chi$}의 글로벌 아르틴 지휘자는 다음과 같이 정의되는 K의 이상이다.

${\displaystyle {\mathfrak{f}(\chi )=\prod _{p}p^{f(\chi ,p)}}}}$

여기서 제품은 K의 primes p를 초과하며, f(198,p)는 p 위에 놓여 있는 L의 일부 prime의 분해 그룹에 $대한$ $style$ {\displaystyle $\chi }$의 제한의 지역 Artin 도체다$.$^[2]지역 아르틴 도체가 0 미표시 프리타임이기 때문에 위의 제품은 L/K로 라미네이트된 프리타임만 인수하면 된다.

아르틴 표현과 아르틴 캐릭터

L이 갈루아 그룹 G와 함께 로컬 필드 K의 유한한 갈루아 확장이라고 가정하자.G의 Artin 캐릭터 a는_G 캐릭터다.

${\displaystyle a_{G}=\sum _{\chi }f(\chi )\chi }$

그리고 Artin 표현_G A는 이 문자와 함께 G의 복잡한 선형 표현이다.Weil(1946)은 Artin 대표성의 직접 건설을 요청했다.Serre(1960)는 Artin 표식이 잔류물 특성 p와 같지 않은 모든 주요 l에 대해 지역 필드 Q를_l 통해 실현될 수 있다는 것을 보여주었다.폰테인(1971)은 위트 벡터의 해당 링 위에서 실현될 수 있다는 것을 보여주었다.그것은 일반적으로 이성이나 지역 분야_p Q에 걸쳐 실현될 수 없으며, 이는 아르틴 대표성을 명시적으로 구성할 수 있는 쉬운 방법이 없음을 시사한다.^[5]

스완 표현

스완 문자 sw는_G 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle sw_{G}=a_{G}-r_{G}+1}$

여기서 r은_g 정규표현의 성격이고, 1은 사소한표현의 성격이다.^[6]스완 캐릭터는 G. 스완(1963)을 표현한 캐릭터로 스완 캐릭터가 있는 l-adic 정수 위에 G의 독특한 투사적 표현이 있음을 보여줬다.

적용들

아르틴 지휘자는 글로벌 분야의 판별을 위한 지휘자 차별적 공식에 등장한다.^[5]

세레 모듈식 추측에서 최적의 수준은 아르틴 도체 단위로 표현된다.

아르틴 도체는 아르틴 L 기능의 기능 방정식에 나타난다.

아르틴과 스완 표현은 타원 곡선 또는 아벨리안 품종의 도체를 정의하는 데 사용된다.

메모들

참조

• Artin, Emil (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen Hamburg (in German), 8: 292–306, doi:10.1007/BF02941010, JFM 56.0173.02, S2CID 120987633
• Artin, Emil (1931), "Die gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper.", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (in German), 1931 (164): 1–11, doi:10.1515/crll.1931.164.1, ISSN 0075-4102, S2CID 117731518, Zbl 0001.00801
• Fontaine, Jean-Marc (1971), "Sur les représentations d'Artin", Colloque de Théorie des Nombres (Univ. Bordeaux, Bordeaux, 1969), Mémoires de la Société Mathématique de France, vol. 25, Paris: Société Mathématique de France, pp. 71–81, MR 0374106
• Serre, Jean-Pierre (1960), "Sur la rationalité des représentations d'Artin", Annals of Mathematics, Second Series, 72 (2): 405–420, doi:10.2307/1970142, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970142, MR 0171775
• Serre, Jean-Pierre (1967), "VI. Local class field theory", in Cassels, J.W.S.; Fröhlich, A. (eds.), Algebraic number theory. Proceedings of an instructional conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the support of the International Mathematical Union, London: Academic Press, pp. 128–161, Zbl 0153.07403
• Snaith, V. P. (1994), Explicit Brauer Induction: With Applications to Algebra and Number Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 40, Cambridge University Press, ISBN 0-521-46015-8, Zbl 0991.20005
• Swan, Richard G. (1963), "The Grothendieck ring of a finite group", Topology, 2 (1–2): 85–110, doi:10.1016/0040-9383(63)90025-9, ISSN 0040-9383, MR 0153722
• Weil, André (1946), "L'avenir des mathématiques", Bol. Soc. Mat. São Paulo, 1: 55–68, MR 0020961