타원곡선의 도체

수학에서, 타원곡선의 도체는 합리적인 수의 분야, 또는 보다 일반적으로 지역적 또는 지구적 분야로, 갈루아 대표성의 아르틴 도체와 유사하게 통합된 이상이다.타원곡선의 그룹법칙에서 유한질서의 점에 의해 생성된 장확장의 래미화를 인코딩하는 관련 지수와 함께 프라임 이상의 산물로 주어진다.지휘자와 관련된 프리타임은 정확하게 곡선의 나쁜 감소의 프리타임이다. 이것이 네론-오그-샤파레비치 기준이다.

오그의 공식은 테이트의 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있는 국소장 위에 놓인 특수섬유의 성분과 판별의 측면에서 도체를 표현한다.

역사

국부장을 넘는 타원곡선의 도체는 나중에 도체의 지수로 판명된 정수 불변성 ++Δ의 형태로 오그(1967)에 의해 암묵적으로 연구되었다(그러나 명명되지는 않았다).

이성 위에 있는 타원곡선의 도체는 Weil(1967)이 제타함수의 함수 방정식에서 지구장의 도체가 나타나는 방식과 유사하게 L계열의 함수 방정식에 나타나는 상수로서 도입하여 명명하였다.그는 오그의 공식으로 ε+Δ와 동일한 μ + 1의 순서에 의해 주어진 지수를 사용하여 primime에 걸쳐 상품으로 쓸 수 있다는 것을 보여주었다.유사한 정의가 모든 글로벌 분야에서 통한다.Weil은 또한 도체가 타원곡선에 해당하는 모듈형 형태의 수준과 동일하다고 제안했다.

세레 앤 테이트(1968)는 이 이론을 아벨 품종의 지휘자들에게까지 확장시켰다.

정의

E는 국부 필드 K 위에 정의된 타원형 곡선으로, p는 K의 정수 링의 최상 이상이다.계수가 p-integral이고 판별 Δ(Δ_p)의 평가가 가능한 한 작은 일반화된 Weierstrass 방정식 E에 대한 최소 방정식을 고려한다.판별이 p 단위인 경우 E는 p에서 잘 감소하고 도체의 지수는 0이다.

도체의 지수 f는 길들여지고 야생적인 라면에 해당하는 두 용어의 합계 ε + Δ로 쓸 수 있다.길들인 라면화 부분 ε은 감량유형 ==0, 곱셈축소 ε=1, 첨가축소 ε=2로 정의된다.야생 래미화 용어 Δ는 p가 2 또는 3을 나누지 않는 한 0이며, 후자의 경우 세레의 공식에 의해 E의 분할점에 의해 K의 확장자를 야생 래미화한다는 관점에서 정의된다.

${\displaystyle \delta =\dim _{Z/lZ}{\text{홈}_{Z_{l}[G]}(P,M)}$

여기서 M은 prime l에 대한 order l의 타원곡선에 있는 점들의 그룹이고, P는 스완의 표현이며, G는 한정된 K의 확장의 갈루아 그룹으로서 M의 점이 그 위에 정의된다(G가 M에 작용하도록).

오그 공식

도체의 지수는 Ogg의 공식에 의해 타원곡선의 다른 불변수와 관련이 있다.

${\displaystyle f_{\mathbf {p}}=\nu _{\mathbf {p}}}(\Delta )+1-n\,}$

여기서 n은 E에 대한 Néron 최소 모델의 단일 섬유(승수를 계산하지 않음)의 성분 수입니다(이것은 도체의 정의로 사용되기도 한다).

옥의 원본 증명서는 특히 특성 2와 3에서 사례 확인에 의해 많은 사례를 사용했다.사이토(1988)는 좀더 일반적인 산수표면에 일률적인 증거를 제시하고 오그의 공식을 일반화했다.

우리는 또한 j-invariant ((j_p): 좋은 감소의 경우 0이고, 그렇지 않으면 ν_pp(j) < 0이면 1이고, otherwise(j) ≥ 0이면 2이다.

글로벌 컨덕터

E를 숫자 필드 K에 대해 정의된 타원형 곡선이 되게 한다.글로벌 도체는 제품이 K의 premime을 넘어 주는 이상이다.

${\displaystyle f(E)=\prod _{\mathbf {p}}\mathbf {p}^{f_{\mathbf {p}}}}}}$

이는 전지구적 적분 계수를 갖는 E 모델에 대한 모든 모델의 판별의 소수점 집합에 나쁜 감소의 소수점이 포함되어 있기 때문에 유한한 제품이다.

참조

• Cremona, John (1997). Algorithms for Modular Elliptic Curves (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-59820-6.
• Husemöller, Dale (2004). Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 111 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-95490-2.
• Néron, André (1964), "Modèles minimaux des variétés abéliennes sur les corps locaux et globaux", Publications Mathématiques de l'IHÉS (in French), 21: 5–128, doi:10.1007/BF02684271, ISSN 1618-1913, MR 0179172, S2CID 120802890, Zbl 0132.41403
• Ogg, A. P. (1967), "Elliptic curves and wild ramification", American Journal of Mathematics, 89 (1): 1–21, doi:10.2307/2373092, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373092, MR 0207694, Zbl 0147.39803
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• Serre, Jean-Pierre; Tate, John (1968), "Good reduction of abelian varieties", Annals of Mathematics, Second Series, 88 (3): 492–517, doi:10.2307/1970722, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970722, MR 0236190, Zbl 0172.46101
• Silverman, Joseph H. (1994). Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 151. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94328-5.
• Silverman, Joseph H.; Tate, John (1992). Rational Points on Elliptic Curves. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97825-9.
• John Tate (1974). "The arithmetic of elliptic curves". Inventiones Mathematicae. 23 (3–4): 179–206. doi:10.1007/BF01389745. S2CID 120008651. Zbl 0296.14018.
• Weil, André (1967), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Math. Ann., 168: 149–156, doi:10.1007/BF01361551, MR 0207658, S2CID 120553723

외부 링크

• 타원 곡선 데이터 - 도체별로 나열된 Q 이상의 타원 곡선 표, John Cremona에 의해 계산됨