점근팽창

수학에서 점근법적 팽창, 점근법적 시리즈 또는 푸앵카레 확장(Henri Poincaré 이후)은 함수의 논거가 특정, 종종 무한점을 향해 경향이 있기 때문에 주어진 함수에 근사치를 제공하는 유한한 용어 뒤에 시리즈를 절단하는 속성을 가진 공식적인 함수의 시리즈다. 딩글(1973)의 조사 결과 무증상 팽창의 상이한 부분이 의미심장하다는 것, 즉 확장된 기능의 정확한 가치에 대한 정보를 담고 있다는 것이 밝혀졌다.

가장 흔한 무증상 팽창 유형은 양력 또는 음력의 권력 시리즈다. 그러한 확장을 생성하는 방법에는 오일러-매클라우린 합계 공식과 라플라스 및 멜린 변환과 같은 적분 변환이 포함된다. 부품에 의한 반복적인 통합은 종종 무증상 확장으로 이어질 것이다.

수렴성 테일러 시리즈는 점근성 확장의 정의에도 맞기 때문에, "아세트성 시리즈"라는 문구는 보통 비융합성 시리즈를 내포하고 있다. 비융합성에도 불구하고, 점근성 확장은 한정된 수의 항으로 잘랐을 때 유용하다. 근사치는 확장되는 함수보다 수학적으로 더 추적 가능하거나 확장된 함수의 계산 속도를 증가시킴으로써 이익을 제공할 수 있다. 일반적으로 가장 좋은 근사치는 시리즈가 가장 작은 항에서 잘렸을 때 주어진다. 이러한 점증적 팽창의 최적 절개 방법은 초증상 약물이라고 알려져 있다.^[1] 그러면 오류는 일반적으로 ~ exp(-c/multi) 형식이며 여기서 ε은 확장 매개변수다. 따라서 이 오류는 확장 파라미터의 모든 주문을 넘어선다. 예를 들어, 보렐 리시브(Borel recemption)와 같은 리시브(resemption) 방법을 다른 꼬리에 적용함으로써 초증상 오류를 개선할 수 있다. 그러한 방법은 흔히 과대증식 근사치라고 한다.

이 글에서 사용된 표기법은 점근법 분석 및 큰 O 표기법을 참조하십시오.

형식 정의

먼저 우리는 점근 척도를 정의하고, 점근 확장의 공식적 정의를 내린다.

${\displaystyle {\phi n}_{}}$ ${\$이 일부 도메인에서 연속적인 함수의 순서라면$$, L이 도메인의 한계점이라면, 그 순서는 매 n에 대해 점증적 척도를 구성한다.

${\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x)\(x\to L)).}$

(L은 무한대로 간주할 수 있다.) 즉, 함수의 순서는 앞의 함수보다 시퀀스의 각 함수가 엄격히 느리게 증가하면($한계{\displaystyle }$ x →${\displaystyle L}${\$displaystyle x\to$ L$\})$ 점증적 척도가 된다.

f가 점근 척도의 영역에서 연속 함수인 경우, f는 공식 시리즈로서 척도에 관해서 점근법적 N의 확장을 가진다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)}$

만일

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1a_{n}\varphi _{n}\varphi _{n}=O(\varphi _{N(x)\(x\to L)}$

또는

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{{N-1a_{n}\varphi _{n}\varphi _o(\varphi _{N-1(x)\(x\to L)).}$

만약 둘 중 하나가 모든 N을 보유한다면, 우리는 글을^{[citation needed]} 쓴다.

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\nft }a_{n}\varphi _{n}(x)\(x\to L).}$

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 대한 수렴 영상 시리즈와 대조적으로$,$ $제한{\displaystyle }$ N${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ $N$$\to \infit }$에 있는 고정 $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle N}$에 대한 연속 영상 시리즈가 수렴되는 경우$,$ 점증 영상 시리즈는 $제한{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$→ $L$에 고정$$ $N{\displaystyle }$ ${\displaystyty$ x$\tyle$ x\type x\$time$ x\to L$}$에 대한 수렴이라고 생각할 수 있다.$$무한 확장 $가능$한 L$.$

예

• 감마 함수(스털링의 근사치)
  $${\displaystyle {\frac{e^}{x^{x}{x^}{\sqrt{2\pi x}}\감마(x+1)\심 1+{1}{12x}}}{\frac {1}{1}{288x^{2}}-{\frac {139}{51840x^{3}{3}}}}-\cdots \(x\to \inflt )}$$

  
• 지수적분
  $${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {(1)^{n}n!}}{x^{n}}\(x\to \inflt )}$$

  
• 로그 적분
  $${\displaystyle \fracname {li}(x)\sim {x}{\ln x}\sum _{k=0}^{\frac {k!}}{{(\ln x)^{k}}}}}}$$

  
• 리만 제타 함수
  $${\displaystyle \zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}-{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {N^{-s}}{2}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m:1}}$$

  
  여기서 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $B_{$$2m$$}$는 베르누이 숫자이고 s ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathrm{2m}}}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{-}}^{}}$은 상승 요인이다$.$ 이 확장은 모든 복잡한 s에 유효하며, 예를 들어 > s $displaystyle N}$의큰값을 사용하여 제타 함수를 계산하는 데 종종 사용된다.
• 오류 함수
  $${\displaystyle {\sqrt{\xe^{2}}:\rm {erfc}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{n(-1){n}{\frac {(2n-1)!!}}{{(x^{2})^{n}}\(x\to \inflt )}$$

  
  (2n - 1)!! 이중 요인이다.

작업 예제

점증적 팽창은 종종 일반적인 연속이 그것의 수렴 영역 밖에서 값을 강제로 취하도록 하는 공식 표현에서 사용될 때 발생한다. 따라서, 예를 들어, 보통 시리즈로 시작할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{1-w}=\sum _{n=0}^{\inflit }w^{n}.}$

왼쪽의 표현은${\displaystyle \mathrm{complex}}$1 {\$displaystyle w\neq$ 1$\}$이(가) 있는 전체 복합 평면에서 유효하며, 오른쪽은 $w{\displaystyle {}^{}}$< 1 ${\displaystyle$ w $<1$ ${\displaystyle e^{}}$- w${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle t^{}}$ ${\$로 곱하고 양쪽$$ 수율을 통합하는 경우에만 수렴된다.

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{\frac{-{\frac{w}}}{1-w}}\{n-w}}}}}\{n=0}^{n+1}\int _{0}^{0}^{-u}u}},du,}}}}$

우측의$$ 치환 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle w}$/ t ${\displaystyle u=w/t}$ 뒤에 Cauchy 기본 값으로 이해되는 왼쪽의 적분은 지수 적분으로 표현될 수 있다. 우측의 적분은 감마 함수로 인식될 수 있다. 둘 다 평가하면 증상이 없는 확장이 된다.

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}\operatorname {Ei} \좌측({\frac {1}{t}\우측)=\sum _{n=0}^{\infort }n!t^{n+1}.}}$

여기서, 오른손은 분명히 어떤 0이 아닌 t 값에 대해서도 수렴하지 않는다. 그러나 오른쪽의 시리즈를 한정된 수의 항으로 잘라냄으로써 충분히 작은 t에 대해$$ ${\displaystyle Ei\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle \frac{1}{}}$t ) ${\$의 값에 상당히 좋은 근사치를 얻을 수 있다. $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle t\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$ x$=-{\tfrac {1}{t}}$을(를) 대체하고$$ ${\displaystyle \mathrm{Ei}(}$x${\displaystyle )}$ = - ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {}_{}({}_{}}$- x$$) {\$displaysty \operatorname {Ei}(x)=-E_{1$}(-x$)}}}}}}$에 주목하면$$ 이 글의 앞부분에 제시된 점근거의 증세가 나타난다.

특성.

주어진 점근 척도의 고유성

주어진 점증적 척도${\displaystyle }${ ${\displaystyle {\phi n}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{\barphi _{n}(x)\}}}$ 함수 $f{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle f(x)}$의 점증적 팽창은$$ 고유하다$$.^[2] 즉, 계수${\displaystyle }${${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$은(는) 다음과 같은 방법으로 고유하게 결정된다$$.

여기서 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는$){\displaystyle }$ 이 점증적 확장의 한계점이다(± ${\displaystyle \mathrm{\infty }}${\$displaystyle \pm \inflt$}).$$

주어진 함수에 대한 고유하지 않음

주어진 함수 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$은(각각 다른 점증적 척도를 가진) 많은 점증적 확장을 가질 수 있다$$.^[2]

서브도메뉴먼트

점근성 확장은 둘 이상의 함수로 점근성 확장이 될 수 있다.^[2]

참고 항목

관련분야

• 점근해석
• 특이 섭동

점근법

• 왓슨의 보조정리
• 멜린 변환
• 라플레이스의 방법
• 고정 위상 근사
• 가장 가파른 내리막길

메모들

참조

• A.S. (2003) 에블로위츠, M. J. & 포카스. 복잡한 변수: 도입 및 적용. 케임브리지 대학 출판부.
• Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013) 과학자들과 기술자들을 위한 진보된 수학적 방법 I: 점근법과 섭동 이론. 스프링거 사이언스 & 비즈니스 미디어.
• 블리스타인, N, 한델스만, R.(1975) 점증적 통합 확장, 도버 출판물.
• Carrier, G. F., Krook, M., & Pearson, C. E. (2005) 복합 변수의 함수: 이론과 기술. 공업 및 응용 수학 협회
• 콥슨, E. T. (1965) 케임브리지 대학 출판부의 점근 확장.
• Dingle, R. B. (1973), Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation, Academic Press.
• Erdelyi, A. (1955년), 점근 확장, 도버 출판물.
• Fruchard, A, Schefke, R.(2013), 복합 점근 확장, 스프링거.
• 하디, G. H. (1949), 다이버전트 시리즈, 옥스퍼드 대학 출판부.
• 올버, F.(1997년). 점근법 및 특수 함수. AK 피터스/CRC 프레스.
• 파리, R. B., 카민스키, D.(2001), 아셈포토틱스와 멜린-반스 통합, 캠브리지 대학 출판부.
• 휘태커, E. T, 왓슨, G. N. (1963), A Course of Modern Analysis, 4판, 캠브리지 대학 출판부.

외부 링크

• "Asymptotic expansion", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 울프램 수학월드: 점근 열