악스-그로텐디크 정리

Ax–Grothendieck theorem

수학에서 Ax-Grotendieck 정리는 James Ax와 Alexander Grotendieck에 의해 독립적으로 증명된 다항식의 주입성과 과부하성에 관한 결과물이다.[1][2][3][4]

정리는 종종 다음과 같은 특별한 경우로 주어진다.만약 P가 n차원 복합 벡터 공간에서 그 자체로 주입된 다항식 함수라면 P는 비주사적이다.즉, P가 항상 구별되는 인수를 구별되는 값에 매핑한다면, P의 값은n C의 모든 것을 포괄한다.[3][4]

전체 정리는 대수적으로 폐쇄된 분야에 걸쳐 모든 대수적 다양성으로 일반화된다.[5]

유한한 분야를 통한 증명

그로텐디크의 정리[3][4] 증명은 유한한 장에 대한 유사 정리 및 그 대수적 폐쇄성을 입증하는 데 근거를 두고 있다.즉, 그 자체가 유한하거나 유한한 필드의 폐쇄인 어떤 필드 F에 대해 F에서n 그 자체로 다항식 P가 주입되는 경우 그것은 비주사적이다.

만약 F가 유한장이라면 F는n 유한장이다.이 경우, 그 정리는 다항식으로서의 함수 표현과 아무런 관련이 없는 사소한 이유로 참된다: 유한한 집합의 어떤 주입은 그 자체에 대한 편향이다.F가 유한장의 대수학적 폐쇄일 때, 그 결과는 힐베르트의 Nullstellensatz에서 따온 것이다.따라서 복잡한 숫자에 대한 Ax-Grothendiek의 정리는 C에 대한 counterrexample이 유한 장의 일부 대수적 확장에서 counterrexample로 변환된다는 것을 보여줌으로써 증명될 수 있다.

이러한 증명방법은 특징 0의 분야의 미세한 대수적 관계가 특성이 큰 유한한 분야에 대한 대수적 관계로 번역된다는 사상의 예라는 점에서 주목할 만하다.[3]따라서 유한장부터 C장까지의 동형성이 없더라도 유한장의 산수를 이용하여 C에 대한 진술을 증명할 수 있다.따라서 그 증거는 다항식에 대한 기본적인 진술을 증명하기 위해 압축성 정리 같은 모델 이데올로기적 원리를 사용한다.일반 사건의 증거도 비슷한 방법을 사용한다.

기타 교정쇄

그 정리에 대한 다른 증거들이 있다.아르망 보렐은 위상을 이용한 증거를 제시했다.[4]n = 1과 필드 C의 경우는 C가 대수적으로 닫히고 또한 결과의 특별한 경우로서 생각할 수 있다. C의 분석함수 f에 대해 f의 주입성은 f의 굴절성을 내포한다.이것은 피카르트의 정리의 귀결이다.

관련결과

Another example of reducing theorems about morphisms of finite type to finite fields can be found in EGA IV: There, it is proved that a radicial S-endomorphism of a scheme X of finite type over S is bijective (10.4.11), and that if X/S is of finite presentation, and the endomorphism is a monomorphism, then it is an automorphism (17.9.6).따라서 베이스 S에 대한 유한 표시 체계는 S-schemes 범주에 있는 코홉피안 개체다.

악스-그로텐디크 정리는 또한 에덴동산 정리를 증명하는데 사용될 수 있는데, 그 결과 악스-그로텐디크 정리와 마찬가지로 주입성과 허탈성을 연관시키지만 대수적 분야가 아닌 세포 자동화에 관련된다.비록 이 정리에 대한 직접적인 증거가 알려져 있지만, Ax-Grotendieck 정리를 통한 증명들은 어메니블 그룹에 작용하는 오토마타까지 더 광범위하게 확장된다.[6]

Ax-Grotenidieck Organization에 대한 일부 대화:

  • Z 또는 Z/pZ[t]의 미세하게 생성된 확장에 대한 n차원 아핀 공간의 일반적 굴절 다항식 지도는 동일한 링에 대한 다항식 역적합리적(따라서 대수학적 폐쇄의 아편 공간에 대해 비굴함)으로 비굴하다.
  • 힐베르트 필드 위에 놓인 n차원 아핀 공간의 일반적 굴절적 이성적 지도는 같은 필드 위에 정의된 이성적 역행성을 가진 주관적("힐베르트 필드")이다. ("힐베르트 필드"는 여기서 힐베르트의 무reducability Organization이 보유하고 있는 필드로서 정의된다.)[7]

참조

  1. ^ Ax, James (1968), "The elementary theory of finite fields", Annals of Mathematics, Second Series, 88 (2): 239–271, doi:10.2307/1970573, JSTOR 1970573.
  2. ^ Grothendieck, A. (1966), Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. III., Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., vol. 28, pp. 103–104, Theorem 10.4.11.
  3. ^ a b c d Tao, Terence (2009-03-07). "Infinite fields, finite fields, and the Ax-Grothendieck theorem". What's New. Archived from the original on 11 March 2009. Retrieved 2009-03-08.
  4. ^ a b c d Serre, Jean-Pierre (2009), "How to use finite fields for problems concerning infinite fields", Arithmetic, geometry, cryptography and coding theory, Contemp. Math., vol. 487, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 183–193, arXiv:0903.0517, Bibcode:2009arXiv0903.0517S, MR 2555994
  5. ^ Eléments de Géomettrie Algébrique, IV3, Proposition 10.4.11
  6. ^ Ceccherini-Silberstein, Tullio; Coornaert, Michel (2010), On algebraic cellular automata, arXiv:1011.4759, Bibcode:2010arXiv1011.4759C.
  7. ^ McKenna, Ken; van den Dries, Lou (1990), "Surjective polynomial maps, and a remark on the Jacobian problem", Manuscripta Mathematica, 67 (1): 1–15, doi:10.1007/BF02568417, MR 1037991.

외부 링크