빈 집합의 공리

Axiom of empty set

자명 집합론에서 빈 집합의 공리는 원소가 없는 집합의 존재를 주장하는 진술이다.부르제스(2005)가 'ST'라고 부르는 것은 크립케-플레이크 집합 이론의 공리이고 일반 집합 이론의 변이형이며, 선택의 공리가 있든 없든 제르멜로 집합 이론과 제르멜로-프랑켈 집합 이론에서 증명할 수 있는 진실이다.[1]

형식명세서

제르멜로-프렌켈 공리의 공식어에는 다음과 같이 쓰여 있다.

또는 말로 다음과 같다.

어떤 요소도 그것의 구성원이 되지 않는 집합이 있다.

해석

우리는 확장성의 공리를 사용하여 빈 세트가 하나뿐이라는 것을 보여줄 수 있다.그것은 독특하기 때문에 우리는 그것을 명명할 수 있다.빈 집합({ } 또는 ∅으로 표시됨)이라고 한다.자연어로 표현된 이 공리는 본질적으로 다음과 같다.

빈 집합이 존재한다.

이 공식은 정리로서 세트 이론의 모든 버전에서 참된 것으로 간주된다.유일한 논쟁은 그것을 공리로 만드는 것, 그것을 설정된 존재 공리(또는 논리)와 분리의 공리로부터 도출하는 것, 그것을 무한의 공리로부터 도출하는 것, 또는 어떤 다른 방법에서 그것을 어떻게 정당화해야 하는가에 대한 것이다.

ZF의 어떤 공식에서는 빈 집합의 공리가 실제로 무한의 공리에서 반복된다.그러나 그 공리에는 빈 집합의 존재를 전제하지 않는 다른 공식들이 있다.ZF 공리는 또한 빈 세트를 나타내는 상수 기호를 사용하여 쓸 수 있다. 그러면 무한의 공리는 이 기호를 비워둘 필요 없이 사용하는 반면, 빈 세트의 공리는 사실상 비어 있다고 말하기 위해 필요하다.

나아가 무한정 집합이 없는 세트 이론을 고려하기도 하고, 그 다음에는 여전히 빈 집합의 공리가 필요할 수도 있다.그러나 어떤 집합의 존재를 암시하는 집합 이론이나 논리의 어떤 공리라도 분리의 공리 스키마를 가지고 있다면 빈 집합의 존재를 암시할 것이다.빈 집합은 모순된 공식을 만족시키는 그러한 요소들로 구성된 집합의 하위 집합이기 때문에 이것은 사실이다.

많은 1차 서술형 술어 논리에서는 적어도 하나의 물체의 존재가 항상 보장된다.집합 이론의 공리화가 이러한 논리 체계에서 분리라는 공리학적 스키마를 공리로 하고, 이론이 집합과 다른 종류의 개체(ZF, KP 및 이와 유사한 이론을 보유하는 것)를 구별하지 않는다면, 빈 집합의 존재는 하나의 정리라고 할 수 있다.

분리가 공리 스키마라고 가정하지 않고 대체 스키마에서 정리 스키마로 파생되는 경우(때로는 행해지는 것처럼) 상황은 더욱 복잡하며, 대체 스키마의 정확한 제형에 따라 달라진다.대체품의 공리 스키마에 사용되는 공식은 클래스 함수 F의 영역에 가 포함되어 있을 때만 이미지 F[a]를 구성할 수 있다. 그러면 분리의 파생은 빈 집합의 공리를 필요로 한다.한편, 대체 스키마에서 F의 총합성의 제약조건은 종종 떨어지게 되는데, 이 경우 빈 집합(또는 그 문제에 대한 다른 공리)의 공리를 사용하지 않고 분리 스키마를 암시한다.

참조

  1. ^ Jech, Thomas J. (2003). Set theory (The 3rd millennium ed., rev. and expanded ed.). Berlin: Springer. p. 3. ISBN 3-540-44085-2. OCLC 50422939.

원천

  • 버지스, 존, 2005년프레지 고치기.프린스턴 유니브누르다
  • 폴 할모스, 순진무구한 집합론.프린스턴, NJ: D.밴 노스트랜드 컴퍼니, 1960년1974년 뉴욕의 Springer-Verlag에 의해 재인쇄되었다.ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag 에디션).
  • 제치, 토마스, 2003년이론 설정: 수정 및 확장된 제3의 밀레니엄 에디션.스프링거.ISBN 3-540-44085-2.
  • 쿠넨, 케네스, 1980년세트 이론: 독립 증명서에 대한 소개.엘시비어.ISBN 0-444-86839-9