제르멜로-프랑켈 집합론

집합론에서, 수학자 에른스트 제르멜로와 아브라함 프라엔켈의 이름을 딴 제르멜로-프란켈 집합론은 러셀의 역설과 같은 역설이 없는 집합론을 공식화하기 위해 20세기 초에 제안된 공리계입니다. 오늘날, 역사적으로 논란이 된 선택 공리(AC)가 포함된 저멜로-프란켈 집합론은 공리 집합론의 표준 형태이며, 수학의 가장 일반적인 기초입니다. 선택 공리가 포함된 Zermelo-Frankel 집합론은 약칭 ZFC로, 여기서 C는 "선택"을 의미하며,^[1] ZF는 선택 공리가 제외된 Zermelo-Frankel 집합론의 공리를 의미합니다.

비공식적으로,^[2] 저멜로-프란켈 집합론은 하나의 원시적인 개념, 즉 유전적으로 근거가 있는 집합을 공식화하여 담론의 우주에 있는 모든 개체가 그러한 집합이 되도록 하기 위한 것입니다. 따라서 Zermelo-Frankel 집합론의 공리는 순수한 집합만을 의미하며 그 모형이 요소 요소(자신이 아닌 집합의 요소)를 포함하는 것을 방지합니다. 또한 적절한 클래스(집합이 너무 커서 집합이 될 수 없는 경우 구성원이 공유하는 속성에 의해 정의되는 수학적 대상의 집합)는 간접적으로만 처리할 수 있습니다. 구체적으로, 저멜로-프란켈 집합 이론은 보편 집합(모든 집합을 포함하는 집합)의 존재나 제한 없는 이해를 허용하지 않으며, 따라서 러셀의 역설을 피할 수 있습니다. 폰 노이만–베르네이스–괴델 집합 이론(NBG)은 일반적으로 사용되는 저멜로-프란켈 집합 이론의 보수적 확장으로 적절한 클래스를 명시적으로 처리할 수 있습니다.

저멜로-프랑켈 집합론의 공리들은 많은 동등한 공식들이 있습니다. 대부분의 공리들은 다른 집합들로부터 정의된 특정 집합들의 존재를 진술합니다. 예를 들어, 쌍의 공리는 임의의 두 집합에$${\$displaystyle$ a$}$와 b$${\$displaystyle$b$}$가 주어졌을 때, 정확히$${\$displaystyle$ a$}$와 $b{\displaystyle }${\$displaystyle$$$b$}$를 포함하는$$ ${\displaystyle \mathrm{새로운}}$ 집합 $a,$ b$}$가 존재한다고 말합니다$.$ 다른 공리는 집합 구성원의 속성을 설명합니다. 이 공리들의 목표는 폰 노이만 우주의 모든 집합들의 집합에 대한 진술로 해석된다면, 각 공리는 참이어야 한다는 것입니다. 형식적으로 ZFC는 1차 논리학에서 단일 분류 이론입니다. $서명$에는 동등성과 집합 구성원 자격을 공식화하기 위한 단일 원시 이진 관계가 있으며 $일반적으로$∈ ${\displaystyle$ \in}로 표시됩니다. ∈ b {\displaystyle a\in b} $공식$은 집합 a {\displaystyle a}가 집합 b {\displaystyle b}의 멤버임을 의미합니다. "${\displaystyle a}$은(는) $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $b$$\}"$ 또는 "{\$displaystyle a}$은(는$)$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $b$$}")$의 요소입니다.$$

Zermelo-Frankel 집합 이론의 메타수학은 광범위하게 연구되었습니다. 이 영역의 랜드마크 결과는 나머지 Zermelo-Frankel 공리(선택 공리 § 독립 참조)와 ZFC의 연속체 가설로부터 선택 공리의 논리적 독립성을 확립했습니다. ZFC와 같은 이론의 일관성은 괴델의 두 번째 불완전성 정리에서 볼 수 있듯이 이론 자체 내에서 증명될 수 없습니다.

역사

집합론에 대한 현대적인 연구는 1870년대에 Georg Cantor와 Richard Dedekind에 의해 시작되었습니다. 그러나 러셀의 역설과 같은 순진한 집합론에서 역설이 발견되면서 이러한 역설에서 자유로운 좀 더 엄격한 형태의 집합론에 대한 열망이 생겨났습니다.

1908년 에른스트 제르멜로는 최초의 공리적 집합론인 제르멜로 집합론을 제안했습니다. 그러나 1921년 아브라함 프랭켈이 저멜로에게 보낸 편지에서 처음 지적한 바와 같이, 이 이론은 당시 대부분의 집합 이론가들에 의해 존재가 당연시되는 특정 집합과 기수의 존재를 증명할 수 없었으며, 특히 기수$$ℵ ω {\$displaystyle$\aleph _{\omega }}와 집합${\displaystyle {}_{}}${Z 0,${\displaystyle \{Z_{0$$$$\},}$여기서$$ $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 임의의 무한 집합이고 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은 전력 집합 작업입니다.^[3] 게다가, Zermelo의 공리 중 하나는 운영적 의미가 명확하지 않은 "확실한" 속성의 개념을 언급했습니다. 1922년, 프라엔켈과 토랄프 스콜렘은 원자 공식이 구성원과 동일성을 설정하는 것으로 제한된 1차 논리에서 잘 형성된 공식으로 공식화될 수 있는 "확실한" 속성을 운영하는 것을 독립적으로 제안했습니다. 그들은 또한 독립적으로 사양의 공리 스키마를 대체의 공리 스키마로 대체할 것을 제안했습니다. 이 스키마와 규칙성의 공리(John von Neumann이 처음 제안함)^[4]를 제르멜로 집합 이론에 추가하면 ZF로 표시되는 이론이 산출됩니다. 선택 공리(AC) 또는 이와 동등한 문장을 ZF에 추가하면 ZFC가 생성됩니다.

공리

ZFC 공리에 대한 많은 동등한 공식이 있습니다. 이에 대한 논의는 Fraenkel, Bar-Hilel & Levy 1973을 참조하십시오. 다음과 같은 특정 공리 집합은 Kunen(1980)에서 가져온 것입니다. 공리 자체는 1차 논리의 상징성으로 표현됩니다. 연관된 영어 산문은 단지 직관을 돕기 위한 것입니다.

공리 1-8은 ZF를 형성하는 반면, 공리 9는 ZF를 ZFC로 바꿉니다. Kunen(1980)에 이어, 우리는 공리 9에 대한 선택 공리 대신 동등한 순서 정리를 사용합니다.

ZFC의 모든 공식은 적어도 하나의 집합이 존재함을 의미합니다. 쿠넨은 아래에 주어진 공리 외에 집합의 존재를 직접적으로 주장하는 공리를 포함합니다(비록 그는 "강조를 위해" 그렇게 한다고 언급합니다).^[5] 여기서의 누락은 두 가지 방법으로 정당화될 수 있습니다. 첫째, 일반적으로 ZFC가 공식화되는 1차 논리학의 표준 의미론에서는 담론의 영역이 비어 있지 않아야 합니다. 따라서 어떤 것이 존재한다는 것은 1차 논리의 논리적 정리이며, 일반적으로 ${\displaystyle \mathrm{어떤}}$ 것이 자신과 동일하다는 주장으로 표현되며, ∃ x (${\displaystyle x}$ = x ) {\displaystyle \ exists x (x = x )}입니다. 결과적으로 어떤 것이 존재한다는 것은 모든 1차 이론의 정리입니다. 그러나 위에서 언급한 바와 같이 ZFC의 의도된 의미론에서는 집합만 존재하기 때문에 ZFC의 맥락에서 이 논리적 정리의 해석은 일부 집합이 존재한다는 것입니다. 따라서 집합이 존재한다고 주장하는 별도의 공리가 필요하지 않습니다. 그러나 둘째, ZFC가 논리만으로는 무엇인가가 존재한다는 것을 증명할 수 없는 이른바 자유 논리로 구성되어 있다고 하더라도, 무한의 공리(아래)는 무한 집합이 존재한다고 주장합니다. 이것은 집합이 존재한다는 것을 의미하며, 따라서 다시 한 번 많은 수를 주장하는 공리를 포함하는 것은 불필요합니다.

1. 확장성의 공리

두 집합의 원소가 같은 경우 두 집합은 같습니다(동일한 집합입니다).

${\displaystyle \forall x\forally[\forall z(z\in x\leftright 화살표 z\in y)\오른쪽 화살표 x=y].}$

이 공리의 반대는 평등의 대체성으로부터 이어집니다. ZFC는 1차 논리로 구성됩니다. 1차 논리의 일부 공식에는 아이덴티티가 포함되고, 다른 공식에는 포함되지 않습니다. 집합 이론을 구성하는 다양한 1차 논리가 등식 " = ${\$$displaystyle$ =}을(를) 포함하지 않는 경우, x = y {\displayx=${\displaystyle y}$}는 다음 공식에 대한 약어로 정의될 수 있습니다: ∀ z [z ∈ x ⇔ z ∈ y ] ∧ ∀ w [ x ∈ w ⇔ y ∈ w ].${\displaystyle \forall z[z\in x\leftright 화살표 z\in y]\land \forall w[x\in\leftright 화살표\in w].$$}$

이 경우 확장성의 공리는 다음과 같이 재구성될 수 있습니다.

${\displaystyle \forall x\forally[\forall z(z\in x\leftright 화살표 z\in y)\오른쪽 화살표 \forall w(x\in\leftrightarrow\in w)],}$

$이$는 x$${\$displaystyle x}$와 $y{\displaystyle }${\$displaystyle$ y$}$가 동일한 요소를 가지면$$ 동일한 집합에 속한다는 것을 의미합니다.^[7]

2. 규칙성의 공리(기초의 공리라고도 함)

비어 있지 않은 모든 $집합$ x ${\displaystyle$ x$}$에는 $멤버{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y$}$가 포함되어$$ 있으므로 x ${\displaystyle x}$와 y ${\displaystyle$ y$}$는 $서로소$ 집합입니다.

${\displaystyle \ for all x[\exists a(a\in x)\오른쪽 화살표 \은 y(y\in x\land)가 존재합니다. \lnot \n은 z(z\in y\land z\in x)가 존재합니다.]]$^[8]

${\displaystyle \mathrm{또는}}$ 현대 표기법: ∀ x (${\displaystyle x}$≠ ∅ ⇒ ∃ y${\displaystyle }$($y$ ∈ x ∧ y ∩ x = ∅). {\displaystyle \forall x\, (x\n)$eq \varnothing \rightarrow \exists y(x\land y\cap x=\varnothing ))}$

이는 예를 들어 어떤 집합도 그 자체의 원소가 아니며 모든 집합은 순서형 순위를 갖는다는 것을 의미합니다.

3. 규격(또는 분리, 또는 제한된 이해)의 공리 스키마

부분 집합은 일반적으로 집합 빌더 표기법을 사용하여 구성됩니다. 예를 들어, 짝수 정수는 합동 모듈로 술어 ${\displaystyle x}$ ≡ 0${\displaystyle }$($mod$ 2$)$ ${\displaystyle$ x$\equiv 0{\$pmod $\{$2}}을 만족하는 $정수$ Z ${\displaystyle \mathbb {Z}$의 부분 집합으로 구성할 수 있습니다.

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Z}:x\equiv 0{\pmod {2}\}}$

일반적으로 하나의 자유$변수$ x${\displaystyle$ x}를 갖는 공식$$φ (x) ${\displaystyle \varphi$(x)}를 따르는 집합 $z$ ${\displaystyle z}$의 하위 집합은 다음과 같이 기록될 수 있습니다.

${\displaystyle \{x\in z:\varphi(x)\}입니다.$

규격의 공리 스키마는 $이$ 부분집합이 항상 존재한다는 것을 의미합니다({\displaystyle \varphi$}$ φ마다$$하나의 공리가 있으므로 공리 스키마입니다). 형식적으로$$φ {\displaystyle$$\varphi}을(를) ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle z_{},{}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$,$$…, w${\displaystyle x,$z,$w_${1$},\ldots,$${$n${\displaystyle \}\}(}$$y {\displaystyle$ y}은(는) φ${\displaystyle$ \varphi}에서$사용$할 $수$ 없습니다.) 그러면.

${\displaystyle \forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldot \forall w_{n}\forall x[x\in y\Leftrightarrow((x\in z)\land \varphi(x,w_{1},w_{2},...,w_{n},z)]]에 대해 y\forall w_{n}\forall w_{n}\dots \forall w_{n}\forall w_{n}\forall w_{n}\dots\forall w_{n}\forall$

사양의 공리 스키마는 부분집합만 구성할 수 있으며 더 일반적인 형태의 엔티티 구성을 허용하지 않습니다.

${\displaystyle \{x:\varphi(x)\}.$

$이$ 제한은 러셀의 패러독스(let y =${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$:$x$ ∉ x} {\displaystyle $y$ =\{x:x\n)를 피하기 위해 필요합니다.$otin x\}}$ 그러면 ${\displaystyle y}$ $∈$$y$ $∉$$y$$⇔$ y {\$display$ y\$in$ y\leftright 화살표\n$otiny$ 및 제한 없는 이해와 함께 순진한 집합 이론에 수반되는 변형.

ZF의 다른 공리화에서 이 공리는 치환의 공리 스키마와 빈 집합의 공리를 따른다는 점에서 중복됩니다.

한편, 적어도 하나의 집합이 존재하는 것으로 알려지면 $규격$의 공리 스키마를 사용하여 ∅ {\$displaystyle$ \varnothing$\}$으로 표시되는 빈 집합의 존재를 증명할 수 있습니다(위를 참조). 한 가지 방법은 집합에 없는 속성$$φ {\displaystyle$$\varphi}을(를) 사용하는 것입니다. 예를 들어, $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$가 기존 집합일 경우 빈 집합은 다음과 같이 구성할 수 있습니다.

${\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}$

따라서 빈 집합의 공리는 여기에 제시된 9개의 공리에 의해 암시됩니다. 확장성의 공리는 빈 집합이 고유함을 의미합니다($w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$에 의존하지 않음).$$ $일반적$으로 ZFC 언어에 " ∅ {\$displaystyle$ $\backslash$varnothing}" 기호를 추가하는 정의 확장을 사용합니다.

4. 짝짓기의 공리

$x$ ${\displaystyle x}$ $및$ y ${\displaystyle y}$가 집합인 경우 $x$ ${\displaystyle$ x$}$ 및 y ${\displaystyle$ y$}$를 요소로 포함하는 집합이 있습니다. 예를 들어 x = {1,2}이고 y = {2,3}인 경우 z는 {1,2,3}입니다.

${\displaystyle \forally\exists z(x\in z)\land(y\in z)}$

이를 정확히 이 두 요소가 있는 집합으로 줄이려면 규격의 공리 스키마를 사용해야 합니다. 짝짓기의 공리는 Z의 일부이지만, ZF에서는 두 개 이상의 원소가 있는 집합이 주어지면 치환의 공리 스키마에서 따오기 때문에 중복됩니다. 적어도 두 개의 원소를 가진 집합의 존재는 무한의 공리 또는 사양의^{[dubious – discuss]} 공리 스키마와 임의의 집합에 두 번 적용되는 멱집합의 공리에 의해 보장됩니다.

5. 합일의 공리

집합의 요소에 대한 결합이 존재합니다. 예를 들어 집합${\displaystyle \{\{1,}$ ${\displaystyle 2\},}${${\displaystyle 2,}$ 3${\displaystyle \}\}}$ ${\displaystyle \{\{1, 2\},\{2, 3\}\}$의 요소에 대한 합은${\displaystyle }${${\displaystyle 1,}$ 2${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 3\}}$입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \{1, 2,$ 3$\}$입니다.

결합의 $공리$는$임의$의 집합 F {\$displaystyle${\mathcal {F$}}$에 대하여$,$ F {\$displaystyle {\$mathcal {$F}}$의 일부 구성원인 모든 원소를$$ 포함하는 $집합{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle$ A$}$가 존재한다는 것을 말합니다$.$

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F})\rightarrow x\in A]}$

$이$ 공식이 ∪ F ${\displaystyle \cup {\mathcal$ {F}}의 존재를 직접적으로 주장하지는 않지만, 집합 ∪ F {\displaystyle \cup {\mathcal {F}}는 위의 A {\displaystyle A}에서 규격의 공리 스키마를 사용하여 구성할 수 있습니다.

${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}=\{x\in A:\는 Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F})\}에 존재합니다.$

6. 치환의 공리 스키마

치환의 공리 스키마는 임의의 정의 가능한 함수 하에서 집합의 이미지도 집합 내에 속한다고 주장합니다.

Formally, let ${\displaystyle \varphi }$ be any formula in the language of ZFC whose free variables are among ${\displaystyle x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n},}$ so that in particular ${\displaystyle B}$ is not free in ${\displaystyle \varphi }$. Then:

${\displaystyle \forall A\forall w_{1}\forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\rightarrow \exists!y\,\varphi)\rightarrow \exists B\forall x{\bigl (}x\in A\rightarrow \exists y(y\in B\land \varphi ){\bigr )}{\bigr}}.$

($유일$한 존재 수량자$$∃! ${\displaystyle$\exists!}은 주어진 문을 따르도록 정확히 한 요소의 존재를 나타냅니다. 자세한 내용은 고유 정량화를 참조하십시오.)

즉, 관계$$φ {\displaystyle$$\varphi}가 정의 가능한$함수$ f${\$$displaystyle$f}를 나타내는 경우, A${\displaystyle$ A}는 해당 $도메인$을 $,$ f (x) ${\displaystyle$f(x)}는${\displaystyle \mathrm{모든}}$ x ∈ A에 $대한$ 집합입니다.${\displaystyle x\in A,}$ 그러면$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 범위는 일부 $집합{\displaystyle }$ B ${\displaystyle$ B$}$의 하위 집합입니다$.$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$가 엄격하게 필요한 것보다 클 수$$ 있는 여기에 명시된 형태를 수집의 공리 스키마라고 부르기도 합니다.

7. 무한의 공리

처음 몇 개의 폰 노이만 서곡
0	= { }	= ∅
1	= {0}	= {∅}
2	= {0, 1}	= {∅, {∅} }
3	= {0, 1, 2}	= {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
4	= {0, 1, 2, 3}	= {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} }

$S$ ${\displaystyle (w)}$ ${\displaystyle S(w)}$ w${\displaystyle }$${\displaystyle$ w$}가 일부$ 집합인$w$∪ {w}, {\displaystyle w\cup \{w\}}를 약칭한다고 하자$.$ $($ $집합$ z가$${${\displaystyle w\}}$ ${\displaystyle$ $\{$$w\}}$이 ${\displaystyle \mathrm{되도록}}$ x = y = w {\displaystyle x = y = w}와 쌍을 $이루는$ 공리를 $적용하여 유효$한 집합임을 알 수 있습니다. 그러면 공리적으로 정의된 빈 집합 ∅ ${\displaystyle$ \$varnothing$이 X의 멤버이고${\displaystyle ,}$ 집합 y가 $X$의 멤버일 ${\displaystyle 때}$마다 S$$(y) ${\displaystyle$S(y))도 X의 멤버입니다.

${\displaystyle \exists X\left[\exists e](\all z\에 대하여,\n)예를 들어 (z\in)\land\in X)\land\forally(y\in X\rightarrow S(y)\right]}$

좀 더 구어적으로 말하면, 무한히 많은 원소를 가진 집합 X가 존재합니다. (그러나 두 원소가 같다면 수열은 집합의 유한한 주기로 순환할 것이므로 이들 원소는 모두 다르다는 것을 확인해야 합니다. 규칙성의 공리는 이런 일이 일어나지 않도록 합니다.) 무한대의 공리를 만족시키는 최소 집합 X는$자연수$ N의 집합으로도 생각할 수 있는 폰 노이만 순서 ω입니다. ${\displaystyle \mathbb$ {N}.}

8. 멱집합의 공리

정의에 따라 $집합{\displaystyle }$ $z{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ z$}$는 집합 $x{\displaystyle }$ ${\$displaystyle x}의 모든 요소도$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 요소인 경우에만$$ 집합 x ${\displaystyle$ $x$$}$의 하위 집합입니다$.$

${\displaystyle(z\subseteq x)\좌측 화살표(\forall q(q\in z\rightarrow q\in x))}$

멱함수 집합의 공리는 $임의$의 집합 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$에 대하여$,$ x {\$displaystyle x}$의 모든 부분 집합을 포함하는$$ 집합 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$가 존재한다고 말합니다$.$

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y]}$

그런 다음 사양의 공리 스키마를 사용하여 멱집합 $P{\displaystyle \mathcal{}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$를 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 하위 집합을 포함하는$$$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 하위 집합으로$$ 정의합니다.

${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)=\{z\in y:z\eq x\}입니다.$

공리 1~8은 ZF를 정의합니다. 이러한 공리들의 대안적인 형태들은 종종 마주치는데, 그 중 일부는 Jech(2003)에 열거되어 있습니다. 일부 ZF 공리화에는 빈 집합이 존재한다고 주장하는 공리가 포함됩니다. 쌍, 결합, 교체 및 멱집합의 공리는 종종 존재가 주장되는$$ $집합{\displaystyle }$ x ${\$$displaystyle x}$의 구성원이 공리가 $주장$하는 x {\$displaystyle x}$가 포함해야$$ 하는 집합일 뿐입니다.

ZF를 ZFC로 변환하기 위해 다음과 같은 공리가 추가됩니다.

9. 일사불란의 공리(선택)

일반적으로 선택의 공리로 알려진 마지막 공리는 Kunen(1980)에서와 같이 잘 정돈된 질서에 대한 속성으로 여기에 제시됩니다. 임의의 집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$에 대하여$,$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 순서를 잘 정하는$$ 이진 $관계{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$이 존재합니다$.$ 이는 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ R$}$이($가{\displaystyle }$$)$ X {\displaystyle $X}$의 $비어{\displaystyle }$ 있지 않은 모든 부분 집합에$R$ {\$displaystyle$ R$}$ $아래$에서 최소인 멤버가 있도록$$$$ X {\displaystyle X}에 대한 선형 순서임을 의미합니다$.$

${\displaystyle \forall X\가 R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X)입니다.}$

공리 1~8이 주어지면, 많은 문장들이 공리 9와 동등하다는 것이 증명됩니다. 이 중 가장 일반적인 것은 다음과 같습니다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$를 구성원이 모두 비어 있지 않은 집합이라고 가정합니다. Then there exists a function ${\displaystyle f}$ from ${\displaystyle X}$ to the union of the members of ${\displaystyle X}$, called a "choice function", such that for all ${\displaystyle Y\in X}$ one has ${\displaystyle f(Y)\in Y}$. A third version of the axiom, also equivalent, is Zorn's lemma.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$가 유한 집합일 때 선택 함수의 존재는 공리 1~8로부터 쉽게 증명되므로 AC는 특정 무한 집합에 대해서만 문제가 됩니다. AC는 선택 함수의 존재를 주장하지만 이 선택 함수가 "구성"되는 방식에 대해 아무 말도 하지 않기 때문에 비구조적인 것으로 특징지어집니다.

누적 계층을 통한 동기 부여

ZFC 공리의 한 가지 동기는 John von Neumann에 의해 도입된 집합의 누적 계층입니다.^[9] 이 관점에서 집합론의 우주는 순서수마다 하나의 단계로 구성됩니다. 0단계에서는 아직 세트가 없습니다. 이전 단계에서 모든 원소가 추가된 경우 각 다음 단계에서 한 집합이 우주에 추가됩니다. 따라서 빈 세트는 1단계에서 추가되고 빈 세트를 포함하는 세트는 2단계에서 추가됩니다.^[10] 이렇게 얻어진 모든 집합들의 집합을 모든 단계에 걸쳐 V라고 합니다. V의 집합은 각 집합에 해당 집합이 V에 추가된 첫 번째 단계를 할당하여 계층 구조로 배열할 수 있습니다.

집합이 순수하고 근거가 충분한 경우에만 집합이 V에 있음을 증명할 수 있습니다. 그리고 V는 순서형의 클래스가 적절한 반사 특성을 가진다면 ZFC의 모든 공리를 만족합니다. 예를 들어, 집합 x가 단계 α에서 추가되었다고 가정하자. 즉, x의 모든 원소가 α보다 이른 단계에서 추가되었음을 의미합니다. 그런 다음 x의 모든 부분 집합도 (또는 이전) 단계 α에서 추가됩니다. 왜냐하면 x의 모든 부분 집합의 모든 요소도 단계 α 이전에 추가되었기 때문입니다. 이것은 분리의 공리가 구성할 수 있는 x의 모든 부분 집합이 (또는 이전) 단계 α에서 추가되고, x의 거듭제곱 집합은 α 다음 단계에서 추가됨을 의미합니다. V가 ZFC를 만족한다는 완전한 주장은 Shoenfield(1977)를 참조하십시오.

누적 계층으로 계층화된 집합의 우주 그림은 ZFC의 특징이며, 본 노이만-베르네와 같은 관련 공리적 집합 이론의 특징입니다.괴델 집합론(흔히 NBG라고 함)과 모스-켈리 집합론. 누적 계층 구조는 새 기초와 같은 다른 집합 이론과 호환되지 않습니다.

V의 정의를 변경하여 각 단계에서 이전 단계의 결합의 모든 부분 집합을 추가하는 대신 특정 의미에서 정의 가능한 경우에만 부분 집합을 추가할 수 있습니다. 그 결과 구성 가능한 우주 L을 제공하는 더 "좁은" 계층 구조가 생성되며, 이는 또한 선택 공리를 포함한 ZFC의 모든 공리를 만족시킵니다. V = L이든 ZFC 공리로부터 독립적입니다. L의 구조가 V의 구조보다 더 규칙적이고 잘 행동하지만, V = L이 추가적인 "구성 가능성의 axiom"으로서 ZFC에 추가되어야 한다고 주장하는 수학자는 거의 없습니다.

메타수학

가상수업

올바른 클래스(세트화하기에는 너무 큰 구성원이 공유하는 속성에 의해 정의되는 수학적 개체의 모음)는 ZF(따라서 ZFC)에서만 간접적으로 처리할 수 있습니다. ZF 및 ZFC 내에 머무르면서 적절한 클래스에 대한 대안은 Quine(1969)에 의해 도입된 가상 클래스 표기 구조이며, 여기서 전체 구성 ∈ {x Fx}는 Fy로 간단히 정의됩니다. 이것은 집합을 포함할 수 있지만 집합 자체가 집합일 필요는 없는 클래스에 대한 간단한 표기법을 제공합니다(표기가 집합만을 사용하는 것으로 구문적으로 변환될 수 있기 때문). Quine의 접근법은 Bernays & Fraenkel(1958)의 초기 접근법을 기반으로 구축되었습니다. 가상 클래스는 Levy(2002), Takeuti & Zaring(1982) 및 ZFC의 메타매스 구현에서도 사용됩니다.

유한 공리화

교체와 분리의 공리 도식은 각각 무한히 많은 사례를 포함합니다. 몬태규(Montague, 1961)는 1957년 박사학위 논문에서 처음 증명된 결과를 포함시켰습니다: ZFC가 일관적이라면 유한한 많은 공리만을 사용해서 ZFC를 공리화하는 것은 불가능합니다. 반면 폰 노이만-베르네이스-괴델 집합 이론(NBG)은 완전히 공리화될 수 있습니다. NBG의 온톨로지는 세트뿐만 아니라 적절한 클래스를 포함합니다. 세트는 다른 클래스의 멤버가 될 수 있는 모든 클래스입니다. NBG와 ZFC는 클래스를 언급하지 않고 한 이론에서 증명할 수 있는 정리가 다른 이론에서 증명될 수 있다는 의미에서 동등한 집합 이론입니다.

일관성.

괴델의 두 번째 불완전성 정리는 로빈슨 산술을 해석할 수 있는 재귀적 공리화 가능한 시스템이 일관성이 없는 경우에만 자신의 일관성을 증명할 수 있다고 말합니다. 게다가, 로빈슨 산술은 ZFC의 작은 조각인 일반 집합론에서 해석될 수 있습니다. 따라서 ZFC의 일관성은 (실제로 일관성이 없는 경우를 제외하고는) ZFC 자체 내에서 증명될 수 없습니다. 따라서 ZFC가 일반 수학과 동일시 될 정도로 일반 수학에서는 ZFC의 일관성을 입증할 수 없습니다. ZFC의 일관성은 약하게 접근할 수 없는 추기경이 존재하기 때문에 발생합니다. ZFC가 일관성이 있다면 ZFC에서는 증명할 수 없습니다. 그럼에도 불구하고, ZFC가 예상치 못한 모순을 가지고 있을 가능성은 거의 없다고 여겨집니다. 만약 ZFC가 일관성이 없다면, 지금쯤 그 사실이 밝혀졌을 것이라는 것이 일반적인 믿음입니다. 이 정도는 확실합니다. ZFC는 순진한 집합 이론의 고전적인 역설인 러셀의 역설, 부랄리-포르티의 역설, 칸토어의 역설에 면역이 됩니다.

Abian & La Macchia(1978)는 ZFC의 하위 이론을 확장성, 결합, 멱집합, 대체 및 선택의 공리로 구성된 연구했습니다. 그들은 모델을 사용하여 이 하위 이론이 일치한다는 것을 증명했고, 확장성, 대체성, 멱집합의 각 공리가 이 하위 이론의 나머지 4개의 공리와 독립적이라는 것을 증명했습니다. 만약 이 하위 이론이 무한의 공리와 함께 증강된다면, 결합, 선택, 무한의 공리 각각은 나머지 다섯 공리와 독립적입니다. 규칙성의 공리를 제외하고 ZFC의 각 공리를 만족시키는 근거가 없는 모델이 있기 때문에, 그 공리는 다른 ZFC 공리와 독립적입니다.

일치하는 경우, ZFC는 범주 이론이 요구하는 접근 불가능한 추기경의 존재를 증명할 수 없습니다. ZF가 타르스키의 공리로 증강된다면 이러한 성질의 거대한 집합이 가능합니다.^[12] 공리가 무한, 멱집합, 선택의 공리(위의 7 – 9)를 정리로 바꾼다고 가정합니다.

독립

많은 중요한 문장은 ZFC와 무관합니다(ZFC와 무관한 문장 목록 참조). 독립성은 일반적으로 강제력에 의해 입증되며, 이를 통해 ZFC의 모든 셀 수 있는 과도 모델(때로는 큰 기본 공리로 증강됨)이 문제의 진술을 충족하도록 확장될 수 있음을 보여줍니다. 그런 다음 진술의 부정을 만족시키기 위해 다른 확장이 표시됩니다. 강제에 의한 독립성 증명은 산술적 진술, 다른 구체적 진술 및 큰 기본 공리로부터 독립성을 자동적으로 증명합니다. ZFC와 무관한 일부 문장은 구성 가능한 우주와 같은 특정 내부 모델을 유지하는 것으로 입증될 수 있습니다. 그러나 구성 가능 집합에 대해 참인 일부 문장은 가정된 큰 기본 공리와 일치하지 않습니다.

강제성은 다음 문장이 ZFC와 무관함을 증명합니다.

• 구성 가능성의 공리(V=L)(ZFC 공리도 아님)
• 연속체 가설
• 다이아몬드 원리
• 마틴의 공리(ZFC 공리가 아님)
• 서슬린 가설

비고:

• V=L의 일관성은 내부 모델에 의해 입증될 수 있지만 강제적이지는 않습니다. ZF의 모든 모델은 ZFC + V=L의 모델이 되도록 트리밍될 수 있습니다.
• 다이아몬드 원리는 연속체 가설과 서슬린 가설의 부정을 내포합니다.
• 마틴의 공리와 연속체 가설의 부정은 서슬린 가설을 내포합니다.
• 구성 가능한 우주는 일반화된 연속체 가설, 다이아몬드 원리, 마틴의 공리, 쿠레파 가설을 만족합니다.
• 쿠레파 가설의 실패는 접근하기 힘든 추기경의 존재와 일치합니다.

또한 선택 공리의 일관성과 입증 불가능성, 즉 선택 공리가 ZF와 무관하다는 것을 입증하기 위해 강제 방법에 대한 변형을 사용할 수 있습니다. 내적 모형 L이 선택을 만족한다는 것을 증명함으로써 선택의 일관성을 (상대적으로) 쉽게 검증할 수 있습니다. (따라서 ZF의 모든 모델은 ZFC의 하위 모델을 포함하므로 Con(ZF)는 Con(ZFC)를 의미합니다.) 강제는 선택을 보존하기 때문에 선택을 만족시키는 모형으로부터 선택에 모순되는 모형을 직접 생성할 수는 없습니다. 그러나 적합한 하위 모델, 즉 ZF를 만족하지만 C를 만족하지 않는 모델을 포함하는 모델을 강제로 생성할 수 있습니다.

독립성 결과를 증명하는 또 다른 방법은 강제력에 의한 것이 아니라는 괴델의 두 번째 불완전성 정리를 기반으로 합니다. 이 접근법은 독립성이 검사되는 문장을 사용하여 ZFC의 세트 모델의 존재를 증명합니다. 이 경우 Con(ZFC)가 참입니다. ZFC는 괴델의 두 번째 정리의 조건을 만족하기 때문에 ZFC에서 ZFC의 일관성은 증명할 수 없습니다(ZFC가 실제로 일관성이 있는 경우). 따라서 이러한 증명을 허용하는 어떠한 진술도 ZFC에서 증명될 수 없습니다. 이 방법은 큰 추기경의 존재가 ZFC에서 증명될 수 없다는 것을 증명할 수 있지만, ZFC가 주어진 그러한 추기경을 가정하는 것이 모순이 없다는 것을 증명할 수는 없습니다.

제안된 추가사항

연속체 가설이나 다른 메타수학적 모호성을 해결하기 위해 추가적인 공리 뒤에 있는 집합 이론가들을 통합하는 프로젝트는 때때로 "Gödel's program"으로 알려져 있습니다.^[13] 현재 수학자들은 어떤 공리가 가장 그럴듯한지, 어떤 공리가 다양한 영역에서 가장 유용한지, 어느 정도의 유용성을 신뢰성과 교환해야 하는지에 대해 논의하고 있습니다. 일부 "다중" 집합 이론가들은 유용성이 공리를 관습적으로 채택하는 유일한 궁극적 기준이 되어야 한다고 주장합니다. 한 학파는 강제 공리를 채택하여 흥미롭고 복잡하지만 합리적으로 다루기 쉬운 구조를 가진 집합 이론적 우주를 생성하는 "반복적" 개념을 확장하는 데 의존합니다. 또 다른 학파는 "핵심" 내부 모델에 초점을 맞춘 더 깔끔하고 덜 무질서한 우주를 옹호합니다.^[14]

비평

일반적인 집합론에 대한 비판은 집합론에 대한 이의를 참조하십시오.

ZFC는 지나치게 강하다는 점과 지나치게 약하다는 점, 그리고 적절한 클래스나 보편적인 세트와 같은 객체를 포착하지 못한다는 점에서 모두 비판을 받아왔습니다.

많은 수학 정리들은 (역수학의 프로그램에 의해 탐색되는) 페아노 산술과 2차 산술과 같은 ZFC보다 훨씬 약한 시스템에서 증명될 수 있습니다. 손더스 맥레인과 솔로몬 페퍼만은 모두 이 점을 지적했습니다. 일부 "주류 수학"( 공리적 집합 이론과 직접 연결되지 않는 수학)은 페아노 산술과 2차 산술을 뛰어넘지만, 여전히 이러한 모든 수학은 ZFC보다 약한 또 다른 이론인 ZC(선택이 있는 저멜로 집합 이론)에서 수행될 수 있습니다. 규칙성의 공리와 대체의 공리 스키마를 포함한 ZFC의 힘의 대부분은 주로 집합 이론 자체의 연구를 용이하게 하기 위해 포함됩니다.

반면 공리적 집합론 중 ZFC는 상대적으로 약합니다. ZFC는 새로운 파운데이션과 달리 유니버설 세트의 존재를 인정하지 않습니다. 따라서 ZFC 아래의 집합 우주는 집합 대수의 기본 연산 하에서 닫히지 않습니다. 폰 노이만-베르네이스와 달리-괴델 집합론(NBG)과 모스-켈리 집합론(MK), ZFC는 적절한 클래스의 존재를 인정하지 않습니다. ZFC의 또 다른 비교 약점은 ZFC에 포함된 선택의 공리가 NBG와 MK에 포함된 전역 선택의 공리보다 약하다는 것입니다.

ZFC와는 독립적인 수많은 수학적 진술이 존재합니다. 여기에는 연속체 가설, 화이트헤드 문제 및 일반 무어 공간 추측이 포함됩니다. 이러한 추측 중 일부는 ZFC에 마틴의 공리 또는 큰 기본 공리와 같은 공리를 추가하여 증명할 수 있습니다. 일부는 ZF+에서 결정됩니다.AD는 결정론의 공리이며, 선택과 양립할 수 없는 강력한 가정입니다. 큰 기본 공리의 한 가지 매력은 ZF+에서 많은 결과를 가능하게 한다는 것입니다.어떤 큰 기본 공리에 의해 인접한 ZFC에서 설정될 AD(투영적 결정성 참조). 미자르 체계와 메타수학은 ZFC의 확장인 타르스키-그로텐디크 집합론을 채택하여 그로텐디크 우주(범주론과 대수기하학에서 마주치는)와 관련된 증명을 공식화할 수 있습니다.

참고 항목

• 수학의 기초
• 내부모형
• 큰 기수 공리

관련 공리 집합론:

• 모스-켈리 집합론
• 폰 노이만–베르네이스–괴델 집합론
• 타르스키-그로텐디크 집합론
• 구성집합론
• 내부집합론

메모들

인용된 작품

외부 링크

• 집합론의 공리 - Lec 02 - Frederic Schuller on YouTube
• "ZFC", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 조안 바가리아의 스탠퍼드 철학 백과사전 기사:
  • Bagaria, Joan (31 January 2023). "Set Theory". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  • — (31 January 2023). — (ed.). "Axioms of Zermelo–Fraenkel Set Theory". Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• ZFC 공리의 메타마스 버전 — 간결하고 중복되지 않는 공리화. 배경 1차 논리는 특히 증명의 기계적 검증을 용이하게 하기 위해 정의됩니다.
  • 대체 스키마의 버전에서 분리 스키마의 버전을 메타매스에서 파생한 것입니다.
• Weisstein, Eric W. "Zermelo-Fraenkel Set Theory". MathWorld.