대체 공리 스키마

세트 이론에서, 대체의 공리 스키마는 어떤 정의 가능한 매핑에 따른 세트의 이미지 또한 세트라고 주장하는 ZF(Zermelo-Fraenkel set 이론)의 공리 스키마다. ZF의 특정 무한세트 구축에 필요하다.

공리 스키마는 클래스가 집합인지 아닌 클래스의 카디널리티에만 의존한다는 생각에 동기부여가 된다. 따라서 한 클래스가 한 세트가 될 수 있을 정도로 "작다"고 하고, 그 클래스에서 두 번째 클래스로의 추론이 있다면, 공리학에서는 두 번째 클래스도 한 세트라고 말한다. 그러나 ZFC는 적절한 클래스가 아닌 세트만을 말하기 때문에 스키마는 정의 가능한 거절에 대해서만 명시되며, 스키마는 정의 공식으로 식별된다.

성명서

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 모든 $세트{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에 $대해{\displaystyle }$ P${\displaystyle (x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle P(x,y)}$이(가) 보유하는 고유한 $세트{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$이(가) 있는 정의 가능한 이진 관계(적 클래스일 수 있음)라고$$ 가정하십시오. There is a corresponding definable function ${\displaystyle F_{P}}$, where ${\displaystyle F_{P}(x)=y}$ if and only if ${\displaystyle P(x,y)}$. Consider the (possibly proper) class ${\displaystyle B}$ defined such that for every set ${\displaystyle y}$, ${\displays$$tyle y\in B}$ if and only if there is an ${\displaystyle x\in A}$ with ${\displaystyle F_{P}(x)=y}$. ${\displaystyle B}$ is called the image of ${\displaystyle A}$ under ${\displaystyle F_{P}}$, and denoted ${\displaystyle F_{P}[A]}$ or (using set-builder notation)${\displaystyle }${ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{F_{P}(x):x\in$ A$\backslash \}\}.$

$교체{\displaystyle }$ 공리 스키마는 위와 같이 F ${\displaystyle F}$이(가) 정의 가능한 클래스 함수이고$$ A ${\displaystyle A}$이($가{\displaystyle }$) 설정된 경우 이미지 $F{\displaystyle }$[ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle F[A]}$도 세트라고$$ 명시되어 있다. $이$는 소형의 원리로 볼 수 있는데, 공리에는 A ${\displaystyle A}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{세트}}$일 정도로 작으면 $F{\displaystyle }$[ A ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle F[A]}$도 세트일 정도로 작다고$$ 되어 있다. 그것은 크기 제한이라는 더 강한 공리에 의해 함축되어 있다.

Because it is impossible to quantify over definable functions in first-order logic, one instance of the schema is included for each formula ${\displaystyle \phi }$ in the language of set theory with free variables among ${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},A,x,y}$; but ${\displaystyle B}$ is not free in$\varphi {\displaystyle }$ {\$displaystyle \phi$ $\}.$ 집합 이론의 공식 언어에서 공리 스키마는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])\end{정렬}}}$

${\displaystyle \exists !}${\$displaystyle \exists!}$의 의미는 고유성 수량화를 참조하십시오$.$

명확하게 하기 위해, ${\displaystyle {변수}_{}}$가 없는 경우$,$ w i {\$displaystyle$w_${i$}는$$다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,A)])\end{정렬}}}$

$따라서{\displaystyle }$ ▼ ${\displaystyle \pi$}이(가) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 $함수{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$와 유사한 고유한 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y$}$을$($를$)$ 지정할$$ 때마다 이 방식에 도달한$$ $모든{\displaystyle }$ y ${\displaystyleyleyle B$ $F{\displaystyle }$ [${\displaystyle }$]와 유사한 $집합$으로 수집할 수 있다$.$$F[A$

적용들

대체의 공리 스키마는 일반 수학의 대부분의 이론의 입증에 필요하지 않다. 실제로 제르멜로 집합론(Z)은 이미 2차 산술과 유형론의 상당 부분을 유한형으로 해석할 수 있으며, 이는 다시 수학의 대량화를 공식화하기에 충분하다. 대체의 공리 스키마는 오늘날 세트 이론에서는 표준 공리지만, 토포스 이론에서는 형식 이론과 기초 시스템에서는 생략되는 경우가 많다.

어쨌든, 공리 스키마는 ZF의 강도를 급격하게 증가시킨다. 예를 들어, 존재하는 것으로 보이는 집합과 Z에 비해 증명-이론적 일관성 강도의 측면에서 말이다. 몇 가지 중요한 예는 다음과 같다.

• 폰 노이만 때문에 현대적 정의를 사용하면 Ω보다 큰 한계 서수의 존재를 증명하려면 대체 공리가 필요하다. 서수번호 Ω·2 = Ω + Ω은 최초의 서수형이다. 무한대의 공리는 무한 집합 Ω = {0, 1, 2, ...}의 존재를 주장한다. Ω·2를 시퀀스 {Ω, Ω + 1, Ω + 2, ...}의 조합으로 정의하기를 바랄 수도 있다. 그러나 임의의 그러한 등급의 서수는 설정될 필요가 없다. 예를 들어, 모든 서수의 클래스는 집합이 아니다. 이제 교체를 통해 Ω의 각 유한수 n을 해당 Ω + n으로 교체할 수 있으므로 이 등급이 집합임을 보장한다. 설명하자면, 교체에 의존하지 않고 Ω·2에 이소모르픽으로 잘 정렬된 세트를 쉽게 구성할 수 있다는 점에 유의하십시오. 단순히 Ω의 두 복사본이 첫 번째 복사본보다 큰 분리 결합을 취할 수 있지만, 이 세트는 포함에 의해 완전히 순서가 지정되지 않기 때문에 서수가 아니다.
• 대형 서수들은 직접 교체에 덜 의존한다. For example, ω₁, the first uncountable ordinal, can be constructed as follows – the set of countable well orders exists as a subset of ${\displaystyle P({\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} })}$ by separation and powerset (a relation on A is a subset of ${\displaystyle A\times A}$, and so an element of the power s$et{\displaystyle }$ P${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \times }$ A${\displaystyle }$) ${\displaystyle P(A\times A$ 따라서 관계 $집합$은 P${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$× ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle P(A\times$ A$)})$의 부분 집합이다.$$ 순서가 잘 지정된 각 세트를 서수로 교체하십시오. 이것은 카운트 가능한 서수 Ω의₁ 집합으로, 그 자체가 셀 수 없는 것으로 보일 수 있다. 건설은 두 번 교체를 사용한다. 한 번 주문된 각 웰 세트에 대한 서수 할당을 보장하기 위해 그리고 다시 한 번 잘 주문한 세트를 서수로 교체하기 위해. 이것은 하토그 수 결과의 특수한 경우로서, 일반적인 경우는 유사하게 증명할 수 있다.
• 위와 같은 관점에서, 모든 잘 정돈된 집합에 서수체를 할당하는 존재도 또한 교체가 필요하다. 마찬가지로 각 세트에 추기경 번호를 할당하는 폰 노이만 추기경 임무는 선택의 공리뿐만 아니라 교체가 필요하다.
• For sets of tuples recursively defined as ${\displaystyle A^{n}=A^{n-1}\times A}$ and for large ${\displaystyle A}$, the set ${\displaystyle \{A^{n}\mid n\in {\mathbb {N} }\}}$ has too high of a rank for its existence to be provable from set theory with just the axiom of power set, 선택 및 교체 없이.
• 마찬가지로, 하비 프리드먼은 보렐 세트가 결정되었다는 것을 보여주기 위해 교체가 필요하다는 것을 보여주었다. 입증된 결과는 도널드 A이다. 마틴의 보렐 결정권 정리.
• 세트 V는_ω·2 ZF에서 존재 여부를 증명할 수 있는 Z의 모델이기 때문에 대체된 ZF는 Z의 일관성을 증명한다. 기수 ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\$은(는) ZF에는 존재하지만 ZF에는 존재하지 않는다는 것을 처음 보여줄 수 있는 숫자다$$. 설명을 위해, 괴델의 두 번째 불완전성 정리는 이들 이론 각각이 그 이론에서 증명할 수 없는 이론의 일관성을 "추출"하는 문장을 포함하고 있다는 것을 보여주는데, 만약 그 이론이 일관된다면 - 이 결과는 종종 이 이론들 중 어느 것도 자신의 일관성을 증명할 수 없다는 주장으로 느슨하게 표현된다.t는 일치한다.

다른 공리 스키마와의 관계

컬렉션

수집의 공리 스키마는 대체의 공리 스키마와 밀접하게 관련되고 자주 혼동된다. ZF 공리의 나머지 부분에서는 대체 공리 스키마에 해당한다. 징수 공리는 전력 집합 공리나 ZF의 건설적인 상대 공리가 없을 때는 대체 공리보다 강하지만 배제된 중간 법칙이 결여된 IZF의 틀에서는 약하다.

대체는 함수의 이미지가 세트라고 하는 것을 읽을 수 있지만, 컬렉션은 관계의 이미지에 대해 말하고 나서 관계 이미지의 일부 수퍼클래스라고만 말한다. 즉, 결과 $집합{\displaystyle }$ B ${\displaystyle$ $B}$은(는) 최소성 요건이 없다. 즉, 이 변종 역시 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$에 대한 고유성 요건이$$결여되어 있다. $즉{\displaystyle }$, $\$ {\$displaystyle \pi$$$$}$에 $의해$ 정의된 관계가 함수가 될 필요는$$ 없다$$. $일부{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \in }$ $A${\$displaystate$ {\displaystytytytestyleveloplease ${\displaystyle }$$y{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $y}$의$$B${\$$displaystyle$ $B$$\}.$ 이 경우 존재가 주장되는 이미지$$ 세트 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) 원래$$ $세트$의$$각 x {\$displaystyle$ x$}$에 대해 적어도 $하나$의$$y {\$displaysty y}$를 포함해야 하며, 하나만 포함한다는 보장은 없다.

$\varphi {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \phi$ $}$의 자유 ${\displaystyle {변수}_{}}$가 w 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, w , ${\displaystyle x}$, y , ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},$$x{\displaystyle }$$,$$y$$\};$ 중 $어느{\displaystyle }$ 것도 $A{\displaystyle }$ ${\displaystystyle A$$},$ B$$$$${\$$displaystystyle$ B}에서 자유롭지 않다고$$ 가정하면 다음과 같다$.$

${\displaystyle \forall w_1},\ldots ,w_{n}\,[(\forall x\\,\forw_{1},\ldots ,w_{n})\Rightarrow \all A\,\exists B\,\forall x\in A\,\exists y\in B\,\phi(x,y,w_{1},\ldots,w_{n})}}$

때때로 공리 스키마는 사전 제한 없이 명시된다($B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$와는 별도로 pred ${\displaystyle \phi$$$$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$에서 자유롭게 발생하지 않음$$).

${\displaystyle \forall w_1},\ldots, w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\in A\,[exists y\phi(x,y,w_{1},\ldots,w_{n})\Rightarrow \exists y\in B\,\phi(x,y,w_{1},\ldots,w_{n})}$

이 경우, $A{\displaystyle }${\$displaystyle A$}에$$ 있는 $요소{\displaystyle }$x {\$displaystyle \phi }$에 의해 다른 세트와 연결되지 않은 $요소{\displaystyle }$$$ x ${\$$displaystyle x}$이(가$)$ 있을 수 있지만$,$ $A{\displaystyle }$ {\$displaystystyle$ A}의$$ 요소 $x{\displaystyle }$ ${\$displays}이(가)가 적어도 하나의 $세트{\displaystyle }$ y ${\display$)와 연결되어$$ 있는 경우, 전술한 공리포함)가 필요하다$.$$스타일 y$ 그러면 이미지 세트 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$이(가) 하나 이상의 이러한 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$을(를) 포함할 것이다$.$ 결과 공리 스키마는 경계성의 공리 스키마라고도 한다.

분리

분리의 공리 스키마, ZFC의 다른 공리 스키마는 교체의 공리 스키마와 빈 집합의 공리로 함축되어 있다. 이격의 공리 스키마가 포함하는 경우 호출

$(C\in B\Leftrightarrow [C\in A\land \theta (C)])}$

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 무료가$$ 아닌 집합 이론 언어의$$ 각 공식 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$에 대해.

그 증거는 다음과 같다. Begin with a formula ${\displaystyle \theta (C)}$ that does not mention ${\displaystyle B}$, and a set ${\displaystyle A}$. If no element ${\displaystyle E}$ of ${\displaystyle A}$ satisfies ${\displaystyle \theta (E)}$ then the set ${\displaystyle B}$ desired by the relevant inst공리 분리 스키마의 ace는 빈 집합이다. $그렇지{\displaystyle }$ 않으면 A ${\displaystyle A}$에서 in$$${\displaystyle (}E{\displaystyle }$) ${\displaystyle \theta(E)}$과 같은 고정 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$을(를) 선택하십시오. Define a class function ${\displaystyle F}$ such that, for any element ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle F(D)=D}$ if ${\displaystyle \theta (D)}$ holds and ${\displaystyle F(D)=E}$ if ${\displaystyle \theta (D)}$ is false. $그런{\displaystyle }$ 다음 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ 아래의$$ A ${\displaystyle A}$ 이미지$,$ 즉 $B{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle :=}${ ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$}${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cap }${ ${\displaystyle x}$ :${\displaystyle \theta }$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle )\}}$ ${\displaystystyle B=F"$$A:=\{F(x):x\in A\}=A\cap \{x:\theta(x)\}}}$이$($가) 존재하며, 정확히 분리 공리에 필요한$$ 세트 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이다.

이 결과는 ZFC를 하나의 무한 공리 스키마로 공리화할 수 있음을 보여준다. 적어도 하나 이상의 그러한 무한 스키마가 필요하기 때문에(ZFC는 정밀하게 공리가능하지 않다), 이것은 교체의 공리 스키마가 원할 경우 ZFC의 유일한 무한 공리 스키마로 설 수 있음을 보여준다. 분리라는 공리 스키마는 독립적이지 않기 때문에, 제르멜로-프란켈 공리의 동시대의 진술에서 생략되기도 한다.

그러나 역사적 고려사항 때문에 ZFC의 단편적 용도와 세트 이론의 대안적 공리화와의 비교를 위해서는 분리가 여전히 중요하다. 대체 공리를 포함하지 않는 집합 이론의 공식은 해당 모형이 충분히 풍부한 집합 집합을 포함하도록 하기 위해 분리 공리의 어떤 형태를 포함할 가능성이 높다. 세트 이론 모델 연구에서는 폰 노이만의 계층 구조에서$$ 모델 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\$과 같이 대체 없이 ZFC 모델을 고려하는 것이 유용할 때도 있다.

위의 증거는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 비어 있지 않으면 요소를 포함해야 한다고 가정할 때 제외된 중간 법칙을 사용한다(직관론적 논리에서는 요소가 들어 있지 않으면 집합이 비어 있고, "비어 있다"는 것이 이것의 공식적인 부정이며, 이는 "소자를 포함하고 있다"보다 약하다). 분리라는 공리는 직관적인 집합 이론에 포함되어 있다.

역사

대체의 공리 스키마는 에른스트 제르멜로가 1908년에 발표한 세트 이론(Z)의 공리화에는 포함되지 않았다. 그것에 대한 약간의 비공식적인 근사치가 칸토어의 미발표 작품에도 존재했고, 다시 미리마노프(1917년)에 비공식적으로 등장했다.^[1]

1922년 아브라함 프라운켈에 의해 출판된 이 책은 현대 세트 이론 제르멜로-프라엔켈 세트 이론(ZFC)을 만드는 것이다. 이 공리는 토랄프 스콜렘이 같은 해 말(1923년 출판)에 독자적으로 발견해 발표했다. 제르멜로 자신은 프라운켈의 공리를 1930년에 발표한 그의 개정된 제도에 편입시켰는데, 이 공리는 또한 새로운 공리 폰 노이만의 건국 공리로도 포함되었다.^[2] 스콜렘은 오늘날 우리가 사용하는 공리 목록의 첫 번째 주문 버전이지만,^[3] 그는 보통 각각의 개별 공리가 저멜로나 프라운켈에 의해 더 일찍 개발되었기 때문에 신용을 얻지 못한다. "제르멜로-프라엔켈 세트 이론"이라는 문구는 1928년 폰 노이만이 인쇄할 때 처음 사용되었다.^[4]

제르멜로와 프라엔켈은 1921년에 크게 대응했다; 교체의 공리는 이 교환의 주요 주제였다.^[3] 프라엔켈은 1921년 3월쯤 제르멜로와 교신하기 시작했다. 그러나 1921년 5월 6일자 이전의 그의 편지는 분실되었다. 제르멜로는 1921년 5월 9일자 프라엔켈에 대한 회신에서 자신의 체계에 공백이 있음을 처음 인정했다. 1921년 7월 10일 프라운켈은 자신의 공리를 임의의 교체를 허용하는 것으로 기술한 논문(1922년 발간)을 완성하여 출판을 신청하였다. "M이 세트고 M의 각 요소가 [세트 또는 요소]로 대체되면, M은 다시 세트로 변한다"(Ebbinghaus의 부모 완성 및 번역). 프라엔켈의 1922년 출판물은 제르멜로에게 도움이 되는 논쟁에 감사했다. 이 출판물에 앞서 프라운켈은 1921년 9월 22일 제나에서 열린 독일수학협회 회의에서 새로운 공리를 공개적으로 발표했다. 제르멜로는 이 회의에 참석했다. 프레이넨켈의 강연 이후 열린 토론에서 그는 대체의 공리를 일반적인 용어로 받아들였지만, 그 정도에 대해서는 유보적인 태도를 보였다.^[3]

소랄프 스콜렘은 헬싱키에서 열린 제5차 스칸디나비아 수학자대회에서 1922년 7월 6일 한 강연에서 제르멜로 체계의 격차(프라엔켈이 발견한 것과 같은 격차)를 발견한 사실을 공개하고, 1923년 이 의회의 의사록이 발표되었다. 스콜렘은 1차 결정 가능한 대체 방안으로 결의안을 제시했다. "영국은 도메인 B의 특정 쌍(a, b)을 위한 확실한 명제가 될 수 있다. 더 나아가, 모든 a에 대해 U가 하나 이상 존재한다고 가정하면 U가 진실이다. 그 다음, 세트_a M의 원소에 대한 범위로서, b는_b 세트 M의 모든 원소에 대한 범위로서." 같은 해에 프라운켈은 스콜렘의 논문에 대한 리뷰를 썼는데, 프라운켈은 스콜렘의 고려사항이 자신의 것과 일치한다고 간단히 진술했다.^[3]

제르멜로 자신은 스콜렘이 대체의 공리 스키마를 공식화한 것을 결코 받아들이지 않았다.^[3] 어느 순간 그는 스콜렘의 접근을 "빈곤층의 설정 이론"이라고 불렀다. 제르멜로는 큰 추기경들을 허용하는 제도를 구상했다.^[5] 그는 또한 스콜렘의 1차 공리화에서 비롯된 세트 이론의 헤아릴 수 있는 모델들의 철학적 함의에 강하게 반대했다.^[4] 하인츠-디터 에빙하우스(Heinz-Dieter Ebbinghaus)의 제르멜로 전기에 따르면, 스콜렘의 접근에 대한 제르멜로의 반대가 세트 이론과 논리 전개에 대한 제르멜로의 영향력의 종말을 알 수 있었다.^[3]

참조

• Ebbinghaus, Heinz-Dieter (2007), Ernst Zermelo: An Approach to His Life and Work, Springer Science & Business Media, ISBN 978-3-540-49553-6.
• Halmos, Paul R. (1974) [1960], Naive Set Theory, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6.
• Jech, Thomas (2003), Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded, Springer, ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, Elsevier, ISBN 0-444-86839-9.