크립케-플라텍 집합론

ˈkr ɪ프키 ˈpl ɑːt ɛk/로 발음되는 크립케-플라텍 집합론(KP)은 사울 크립케와 리처드 플라텍이 개발한 공리적 집합론입니다. 이 이론은 대략 ZFC의 예측 부분으로 생각할 수 있으며 이에 비해 상당히 약합니다.

공리

공식에서 δ 공식은 모든 양화자가 경계를 이루는 하나입니다. 이는 모든 정량화가 ${\displaystyle \mathrm{형식}}$ ∀ u ∈ $v$${\displaystyle \$forall u\in v} 또는 ∃ u ∈ v. {\displaystyle \exists u\in v.}임을 의미합니다(레비 계층 참조).

• 확장성의 공리: 두 집합은 요소가 동일한 경우에만 동일합니다.
• 귀납법의 공리: 모든 집합 x에 대하여 φ(y)가 x의 모든 원소 y에 대하여 성립한다는 가정이 φ(x)가 성립한다는 가정을 수반한다면, φ(x)는 모든 집합 x에 대하여 성립합니다.
• 빈 집합의 공리: 구성원이 없는 집합이 있습니다. 빈 집합이라고 하며 {}으로 표시됩니다.
• 짝짓기의 공리: 만약 x, y가 집합이라면, x와 y를 유일한 원소로 포함하는 집합 {x, y}도 마찬가지입니다.
• 결합의 공리: 임의의 집합 x에 대하여, y의 원소가 정확히 x의 원소인 집합 y가 존재합니다.
• δ-분리의 공리: 임의의 집합과 임의의 δ 공식 φ(x)가 주어졌을 때, φ(x)가 성립하는 원소 x를 정확히 포함하는 원래 집합의 부분 집합이 있습니다. (이것은 공리 스키마입니다.)
• δ 집합의 공리: 임의의 δ 공식 φ (x, y)가 주어졌을 때, 만약 모든 집합 x에 대하여 φ (x, y)가 성립하는 집합 y가 존재한다면, 모든 집합 x에 대하여 φ (x, y)가 성립하는 집합 Y가 존재합니다.

모든 저자가 아닌 일부 저자는 다음을 포함합니다.

• 무한의 공리

무한대의 KP는 KP ω으로 표시됩니다. 이러한 공리는 KP, 일반화된 재귀 이론 및 허용 순서 이론 사이의 밀접한 연관성으로 이어집니다. KP는 어떤 공리도 바꾸지 않고 배제된 중간의 법칙을 떨어트림으로써 건설적인 집합 이론으로 연구될 수 있습니다.

빈집합

무한대의 공리에서와 같이 집합 $c${\$displaystyle c}$가 존재한다고 가정하면 빈 집합의 공리는 부분 집합 $\{{\displaystyle x}$∈ ${\displaystyle c}$ ∣ $x$ ≠} ${\displaystyle$ \{x\in c\mid x\n과 같으므로 중복됩니다.$eq x$ 나아가 담론의 세계에서 구성원의 존재, 즉 $∃$x(x$=$x), 는 1차 논리의 특정 공식에 내포되어 있으며, 이 경우 빈 집합의 공리는 δ-분리의 공리를 따르므로 중복됩니다.

제르멜로-프랑켈 집합론과의 비교

언급한 바와 같이, 위의 것들은 멱집합 공리, 선택, 그리고 때로는 무한대를 제외하기 때문에 ZFC보다 약합니다. 또한 여기서 분리 및 수집의 공리는 ZFC의 해당 공리보다 약합니다. 왜냐하면 이들에 사용된 공식 φ는 제한된 수량자로만 제한되기 때문입니다.

KP의 맥락에서 귀납의 공리는 일반적인 규칙성의 공리보다 더 강하며, 이는 집합의 여집합(해당 집합에 없는 모든 집합의 클래스)에 귀납을 적용하는 것과 같습니다.

관련 정의

• 집합 $A$ ${\displaystyle A\,}$가 추이적이고 ⟨$A$인 경우 {\$displaystyle \langle$A,\in \langle }는 Kripke-Platek 집합 이론의 모델입니다.
• $L$이 허용 집합이면 $순서수$ α {\$displaystyle \$alpha_{${\displaystyle \alpha }$}}를 허용 순서수라고 합니다$$$.$
• L은 δ 집합의 공리가 없는 KP 집합론의 표준 모형이라면 수정 가능 집합이라고 합니다.

정리

허용 집합

순서형 α는 α가 극한 순서형이고 γ에서 α로 σ(L) 매핑이 있는 γ < α가 존재하지 않는 경우에만 허용되는 순서형입니다. 만약 M이 KP의 표준 모형이라면, M의 순서 집합은 허용되는 순서형입니다.

데카르트 제품이 존재합니다.

정리: A와 B가 집합이면 A의 원소 a와 B의 원소 b의 모든 순서쌍(a, b)으로 이루어진 집합 A×B가 존재합니다.

증명:

{a}라고 쓰여진 부재 a를 갖는 단일 톤 집합은 확장성의 공리에 의해 순서 없는 쌍 {a, a}와 같습니다.

단일 톤, 집합 {a, b}, 그리고 순서 쌍

${\displaystyle(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}}$

모두 짝을 이루어 존재합니다. p가 쌍(a, b)을 나타내는 가능한${\displaystyle }$δ${\displaystyle \mathrm{-공식}}$ψ (a, b, p)${\displaystyle$ \psi (a, b, p)}는 장문으로 주어집니다.

${\displaystyle \exists r\in p\,{\big(}a\in r\,\land \,\forall x\in r\,(x=a){\big )}}$

${\displaystyle \land \,\ existss\in p\,{\big(}a\in s\,\land \,b\in s\,\land \,\for x=a\,\lor \,x=b){\big)}}$

${\displaystyle \land \,\forall t\in p\,{\big(}a\in t\,\land \,\forall x\in t\,(x=a){\big)}\,\lor \,{\big(}a\in t\land b\,(x=a\,\lor \,x=b){\big(big))}}$

다음은 두 단계의 집합 모음과 분리를 통한 제한이 뒤따릅니다. 또한 모든 결과는 set builder 표기법을 사용하여 표현됩니다.

먼저, $b${\$displaystyle$ b$}$가 $주어지고$ A$${\$displaystyle$A}에 대해 수집하면$,$ $A{\displaystyle }$×${\displaystyle }${ b${\displaystyle \}}$ =${\displaystyle \{(a,}$ $)$ ∣ A ∈} {\displaystyle A\times \{b\} =\{(a, b)\mid a\in A\}의 수집에 의해 존재합니다.

δ 공식

${\displaystyle \는 A\,\psi (a,b,p)}에 존재합니다.$

$A{\displaystyle }$×${\displaystyle }${${\displaystyle b\}}$ ${\displaystyle A\times \{b\}$ 자체만$$ 분리하여 존재한다고 부여합니다.

$이$ 쌍${\displaystyle }A{\displaystyle }$× {b} {\displaystyle $P$${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle A\times \{b\}}$에 대해 P ${\$displaystyle P}가 표시되어야 한다면$,$ 이를 특징으로 하는 δ 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \forall a\in A\,\exists p\in P\,\psi (a,b,p)\,\land \,\forall p\in P\,\exists a\in A\,\psi (a,b,p)\,.}$

$A$ ${\displaystyle A}$가 주어지고 $B$ ${\displaystyle B}$에 대해 수집하면$,$ {${\displaystyle A}$× ${\displaystyle \{b\}}$ ∣ $b$∈ B} {\$displaystyle$\{$A\times \{b$\}\mid b\in B\}의 일부 초집합이 수집에 의해 존재합니다.

마지막 ${\displaystyle \mathrm{공식}}$ $앞에$∈$b$∃ $B$ {\displaystyle \in B}를 놓으면 집합 {A × {b} ∣ b ∈ B} {\displaystyle \{A\times \{b\}\mid b\in B\} 자체가 분리되어 존재합니다.

마지막으로 원하는

${\displaystyle A\times B:=\bigcup \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$

조합별로 존재합니다. Q.E.D.

메탈로직

KP ω의 일관성 강도는 Bachmann-Howard 서수에 의해 제공됩니다. KP는 모스토프스키 붕괴 보조정리와 같은 집합론에서 몇 가지 일반적인 정리를 증명하지 못합니다.

참고 항목

• 구성 가능한 우주
• 허용 서수
• 유전적으로 셀 수 있는 집합
• 요소가 있는 크립케-플라크 집합론

참고문헌

서지학

• Devlin, Keith J. (1984). Constructibility. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-13258-9.
• Gostanian, Richard (1980). "Constructible Models of Subsystems of ZF". Journal of Symbolic Logic. Association for Symbolic Logic. 45 (2): 237. doi:10.2307/2273185. JSTOR 2273185.
• Kripke, S. (1964), "Transfinite recursion on admissible ordinals", Journal of Symbolic Logic, 29: 161–162, doi:10.2307/2271646, JSTOR 2271646
• Platek, Richard Alan (1966), Foundations of recursion theory, Thesis (Ph.D.)–Stanford University, MR 2615453