반자프 전력 지수

Banzhaf power index
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울프램 시범사업에서 본 반자프 전력지표 컴퓨터 모델

Banzhaf 전력 지수, 존 F의 이름을 따서 명명되었다. 반자프 3세(Banzhaf III는 원래 1946년 리오넬 펜로즈에 의해 발명되었으며 때로는 펜로즈-반자프 지수(James Samuel Coleman의 이름을 따서 Banzhaf-Coleman 지수라고도 함)는 투표권이 유권자 또는 주주 간에 반드시 동등하게 나뉘지 않은 투표 결과를 변경할 확률에 의해 정의된 권력 지수다.

반자프 지수를 이용해 유권자의 힘을 계산하려면 당선된 연합을 모두 나열한 다음 비판적인 유권자를 세어 보십시오. 비판적인 유권자는 찬성표를 반대표로 바꾸면 그 조치가 실패하게 되는 유권자다. 유권자의 힘은 그가 투표할 수 있는 모든 부동표 중 일부분으로 측정된다. 전력 지수를 계산하기 위한 알고리즘이 있다. 예를 들어 동적 프로그래밍 기법, 열거 방법 및 몬테카를로 방법 등이 있다.[1]

예

투표 게임

단순투표게임

Philip D의 게임 이론과 전략에서 가져온 간단한 투표 게임. 스트라핀:[2]

[6; 4, 3, 2, 1]

괄호 안의 숫자는 어떤 조치가 통과되려면 6표가 필요하며, 투표자 A는 B 3표, C 2표, D 1표 등 4표를 던질 수 있다는 것을 의미한다. 부동층이 밑줄 친 승리 그룹은 다음과 같다.

AB, AC, ABC, ABD, ACD, BCD, ABCD

스윙 투표는 총 12표이므로 밴자프 지수에 의해 권력은 다음과 같이 나뉜다.

A = 5/12, B = 3/12, C = 3/12, D = 1/12

미국 선거인단

미국 선거인단을 고려해 보십시오. 각 주는 다음 주보다 어느 정도 힘이 있다. 총 538명의 선거인단이 있다. 과반수는 270표다. Banzhaf 권력 지수는 단일 국가가 얼마나 투표권을 행사할 수 있는지를 수학적 표현일 것이다. 55명의 선거인단이 배정된 캘리포니아 같은 주는 3명의 선거인단을 보유한 몬타나 같은 주보다 투표권을 행사할 가능성이 더 높다.

미국이 공화당원(R)과 민주당원(D) 사이에서 대통령 선거를 치르고 있다고 가정하자. 단순성을 위해 캘리포니아(55명), 텍사스(38명), 뉴욕(29명) 등 3개 주만 참가한다고 가정해 보자.

선거의 가능한 결과는 다음과 같다.

캘리포니아(55) 텍사스(38) 뉴욕(29) R표 D표 투표권을 행사할 수 있는 주들
R R R 122 0 없는
R R D 93 29 캘리포니아 (D가 84–38), 텍사스 (D가 67–55로 승리)
R D R 84 38 캘리포니아(D가 93–29), 뉴욕(D가 67–55로 승리)
R D D 55 67 텍사스(R이 93–29), 뉴욕(R이 84–38)
D R R 67 55 텍사스(D가 93–29), 뉴욕(D가 84–38)
D R D 38 84 캘리포니아(R이 93–29), 뉴욕(R이 67–55로 승리)
D D R 29 93 캘리포니아(R이 84–38), 텍사스(R이 67–55로 승리)
D D D 0 122 없는

주의 Banzhaf 권력 지수는 그 주가 선거를 흔들 수 있는 가능한 결과의 비율이다. 이 예에서, 세 상태 모두 4/12 또는 1/3의 동일한 지수를 가진다.

그러나 16명의 선거인단에 불과한 뉴욕이 조지아로 대체될 경우 상황은 급변한다.

캘리포니아(55) 텍사스(38) 조지아 (16) R표 D표 투표권을 행사할 수 있는 주들
R R R 109 0 캘리포니아(R이 109-0으로 승리함)
R R D 93 16 캘리포니아 (R이 93-16으로 이길 것)
R D R 71 38 캘리포니아 (R이 71–38로 승리)
R D D 55 54 캘리포니아 (R이 55-54로 승리)
D R R 54 55 캘리포니아 (D가 55-54로 승리)
D R D 38 71 캘리포니아 (D가 71–38로 이길 것)
D D R 16 93 캘리포니아 (D가 93–16으로 우승)
D D D 0 109 캘리포니아 (D가 109-0으로 이길 것)

이 예에서, Banzhaf 지수는 캘리포니아 1과 다른 주들에게 0을 주는데, 캘리포니아만 절반 이상의 표를 가지고 있기 때문이다.

카르텔 게임

5개 기업(A, B, C, D, E)이 독점 조성을 위한 협약을 체결한다. 시장 규모는 독점적으로 연간 5400만 대(예: 석유 배럴)이다. 이들 업체의 최대 생산능력은 A = 44, B = 32, C = 20, D = 8, E = 연간 400만대다. 따라서 독점에 필요한 5400만 단위를 제공할 수 있는 연합군이 있고, 그 수를 제공할 수 없는 연합군이 있다. 각 충분한 연합에는 필요한 조합원(연정이 필요한 생산을 제공하기 위해)과 불필요한 조합원(아래 표 참조)이 있을 수 있다. 이러한 불필요한 구성원 중 한 명이 충분한 연합을 벗어나더라도 연합은 필요한 생산을 제공할 수 있다. 그러나 필요한 의원 한 명이 떠나면 충분한 연정은 불충분해진다. 연합회 회원들에게 분배될 독점 수익은 연간 1억 달러다.

충분한 연합 ABCDE, ABCD, ABCD, ABCD, ABD, ABD, AB, ACD, ACD, ACE, BCD, BCD, BCD, BCE, ADE, AB, ACD.
불충분한 연합 CDE, BDE, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE, A, B, C, D, E

펜로스-반자프 지수를 샤플리 가치 계산에 적용할 수 있는데, 샤플리 가치 계산은 해당 플레이어가 필요한 충분한 연합 수에 비례하여 게임 내 각 플레이어의 이익 분배를 위한 근거를 제공한다. 16개의 충분한 연합 중 10개는 A선수가 필요하며, 6개는 B선수가 필요하며, 6개는 C선수가 필요하며, 2개는 D선수가 필요하며, 2개는 E선수가 필요하다. 따라서 A는 전체 사례의 38.5%(26 = 10 + 6 + 2 + 2 + 2이므로 10/26 = 0.385), B는 23.1%, C는 23.1%, D는 7.7%, E는 7.7%(기업별 Banzhaf 지수)에 필요하다. 샤플리 가치 기준에 따른 1억 개의 독점 이익 분배는 그러한 비율을 따라야 한다.

역사

오늘날 반자프 전력 지수로 알려진 것은 원래 리오넬 펜로즈에 의해 1946년에[3] 도입되어 대부분 잊혀졌다.[4] 그것은 존 F에 의해 재창조되었다. 1965년 반자프 3세였지만 1971년[6] 제임스 새뮤얼 콜먼에 의해 다시 한번 재창조되어야만 주류 문학의 일부가 되었다.[5]

반자프는 나소 카운티 이사회의 투표 제도가 불공평하다는 것을 객관적으로 증명하고 싶었다. 게임 이론과 전략에서 제시된 바와 같이, 다음과 같이 표가 할당되었다.[2]

  • 헴프스테드 #1: 9
  • 헴프스테드 #2: 9
  • 북헴프스테드: 7
  • 오이스터 베이: 3
  • 글렌 코브: 1
  • 롱비치: 1

이는 총 30표인데, 대책 통과를 위해서는 단순 과반인 16표가 필요했다.[a]

반자프의 표기법에서 [헴프스테드 #1, 헴프스테드 #2, 노스헴프스테드, 오이스터베이, 글렌코브, 롱비치]는 [16; 9, 9, 7, 3, 1, 1]에서 A-F이다.

승리한 연합은 32개, 부동표는 48개다.

AB AC BC ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF BCD BCE BCF ABCD ABCE ABCF ABDE ABDF ABEF ACDE ACDF ACEF BCDE BCDF BCEF ABCDE ABCDF ABCEF ABDEF ACDEF BCDEF ABCDEF

Banzhaf 지수는 다음과 같은 값을 제공한다.

  • 헴프스테드 #1 = 16/48
  • 헴프스테드 #2 = 16/48
  • 북쪽 헴프스테드 = 16/48
  • 굴 베이 = 0/48
  • 글렌 코브 = 0/48
  • 롱비치 = 0/48

반자프는 인구의 16%에게 0%의 권한을 주는 투표 약정은 불공평하다고 주장했다.[b]

오늘날,[when?] Banzhaf 권력 지수는 대안 Shapley-와 함께 투표권을 측정하는 용인된 방법이다.슈빅 전력 지수. 두 조치 모두 유럽연합(EU) 이사회의 표결 분석에 적용됐다.[7]

그러나 반자프의 분석은 표를 코인플립처럼 취급한다는 비판을 받아왔고, 반자프가 사용하는 무작위 투표모델보다는 투표의 실증모델이 다른 결과를 가져온다.[8]

참고 항목

메모들

  1. ^ 반자프는 나소 카운티에서의 투표가 실제로 어떻게 작용했는지 이해하지 못했다. 당초 24표가 헴프스테드에 배분돼 총 36표가 나왔다. 그 후, 헴프스테드는 각 감독자에 대해 18 또는 9의 절반으로 제한되었다. 탈락한 6명의 표결은 부결되었고, 법안 통과에 필요한 과반수는 19표에 머물렀다.
  2. ^ 많은 소식통들은 반자프가 소송을 제기했다고 주장한다. 원래 나소 카운티 소송인 프랭클린 대 맨더빌 57 미스코.2d 1072(1968년)에서 뉴욕 법원은 헴프스테드의 유권자들이 동등한 보호를 거부당했다고 판결했는데, 그 이유는 이 마을이 인구의 과반수를 차지했지만, 가중 투표의 과반수를 차지하지 못했기 때문이다. 가중 투표는 나소 카운티에서 향후 25년간 소송이 제기될 것이며, 그 후 삭제될 것이다.

참조

각주

  1. ^ 마츠이 & 마쓰이 2000.
  2. ^ a b 스트라핀 1993.
  3. ^ 펜로즈 1946.
  4. ^ 펠센탈 & 마하버 1998, 페이지 5.
  5. ^ 반자프 1965년
  6. ^ 콜먼 1971년
  7. ^ 바렐라 & 프라도 도밍게즈 2012.
  8. ^ Gelman & Katz 2002.

참고 문헌 목록

  • Banzhaf, John F. (1965). "Weighted Voting Doesn't Work: A Mathematical Analysis". Rutgers Law Review. 19 (2): 317–343. ISSN 0036-0465.
  • Coleman, James S. (1971). "Control of Collectives and the Power of a Collectivity to Act". In Lieberman, Bernhardt (ed.). Social Choice. New York: Gordon and Breach. pp. 192–225.
  • Felsenthal, Dan S.; Machover, Moshé (1998). The Measurement of Voting Power Theory and Practice, Problems and Paradoxes. Cheltenham, England: Edward Elgar.
  • Felsenthal, Dan S.; Machover, Moshé (2004). "A Priori Voting Power: What is it All About?" (PDF). Political Studies Review. 2 (1): 1–23. doi:10.1111/j.1478-9299.2004.00001.x. ISSN 1478-9302.
  • Gelman, Andrew; Katz, Jonathan; Tuerlinckx, Francis (2002). "The Mathematics and Statistics of Voting Power". Statistical Science. 17 (4): 420–435. doi:10.1214/ss/1049993201. ISSN 0883-4237.
  • Lehrer, Ehud (1988). "An Axiomatization of the Banzhaf Value" (PDF). International Journal of Game Theory. 17 (2): 89–99. CiteSeerX 10.1.1.362.9991. doi:10.1007/BF01254541. ISSN 0020-7276. Retrieved 30 August 2017.
  • Matsui, Tomomi; Matsui, Yasuko (2000). "A Survey of Algorithms for Calculating Power Indices of Weighted Majority Games" (PDF). Journal of the Operations Research Society of Japan. 43 (1): 71–86. doi:10.15807/jorsj.43.71. ISSN 0453-4514. Retrieved 30 August 2017.
  • Penrose, Lionel (1946). "The Elementary Statistics of Majority Voting". Journal of the Royal Statistical Society. 109 (1): 53–57. doi:10.2307/2981392. ISSN 0964-1998. JSTOR 2981392.
  • Straffin, Philip D. (1993). Game Theory and Strategy. New Mathematical Library. Vol. 36. Washington: Mathematical Association of America.
  • Varela, Diego; Prado-Dominguez, Javier (2012). "Negotiating the Lisbon Treaty: Redistribution, Efficiency and Power Indices". Czech Economic Review. 6 (2): 107–124. ISSN 1802-4696. Retrieved 30 August 2017.

외부 링크