장벽 함수

제약된 최적화, 수학 분야에서 장벽 함수는 점의 값이 최적화 문제의 실현 가능한 영역의 경계에 접근함에 따라 무한대로 증가하는 연속 함수다.^[1]^[2]그러한 기능은 다루기 쉬운 객관적 기능에서 불평등 제약을 벌칙 용어로 대체하기 위해 사용된다.

장애물 함수의 가장 일반적인 두 가지 유형은 역 장애물 함수와 로그 장애물이다.로그 장벽 기능에 대한 관심 재개는 원시 이중 내부 포인트 방식과의 연결에 의해 동기 부여되었다.

동기

다음과 같은 제한된 최적화 문제를 고려하십시오.

f (x)

를 최소화하다

x

≤

b

의 대상

여기서 $b$ 는 일정하다.불평등 제약을 없애고자 한다면, 그 문제는 다음과 같이 다시 형성될 수 있다.

f (x)

+

c (x

) 최소화

,

여기서

c (x)

=

x

>

b

일 경우

\infty

이고, 그렇지 않을 경우 0이다.

이 문제는 첫 번째 문제와 같다.불평등을 없애지만, 벌칙함수 $c$ , 즉 객관적 $함수$ f $(x)+ c (x)$ 가 불연속적이어서 이를 해결하기 위해 미적분학을 사용하지 못하게 하는 문제를 소개한다.

이제 장애물 함수는 $x$ 가 $위$ 에서 b에 접근함에 따라 무한대의 경향이 있는 연속적인 $근사치$ g 대 $c$ 이다.그러한 기능을 사용하여 새로운 최적화 문제를 공식화한다, viz.

f (x)

+

μg (x)

최소화

여기서 $μ$ > $0$ 은 자유 매개변수다.이 문제는 원래와 동일하지는 않지만, $μ$ 가 0에 가까워질수록 더 나은 근사치가 된다.^[3]

로그 장벽 함수

로그 장벽 함수의 경우 $,$ $x<b$ < $g(x,b)$ $x<b$ $-\log(b-x)$ > $g(x,b)$ $-\log(b-x)$ $)$ 에서 $\infty$ x < b < $x<b$ 및 $x<b$ $\infty$ ${\displaystyle$ - $\log($ $b-x$ $)}$ 로 $-\log(b-x)$ 정의된다 $g(x,b)$ .더 높은 차원의 정의는 아래를 참조하십시오.이는 기본적으로 $\log(t)$ $\log(t)$ ( $\log(t)$ ) ${\$ $displaystyle$ $\log(t)}$ 이 $(가)$ 0을(를) 경향이 $t$ 있기 때문에 음의 무한성을 보이는 경향이 $\log(t)$ 있다는 사실에 의존한다.

이는 이러한 극한에서 벗어나 기능에 미치는 영향이 상대적으로 낮은 $반면$ x $x$ 의 극단값( $이$ 경우 b $b$ 보다 낮은 값) $x$ $b$ 을 선호하도록 최적화하는 기능에 구배를 도입한다.

로그 장벽 함수는 최적화하는 함수에 따라 계산상 비용이 덜 드는 역 장벽 함수보다 선호될 수 있다.

상위 치수

각 차원이 독립적이면 더 높은 차원으로 확장하는 것은 간단하다. $b_{i}$ 변수 $x_{i}$ $b_{i}$ {\ $displaystyle$ $b_$ ${i$ $}$ 보다 엄격히 낮게 제한되어야 하는 $x_{i}$ 각 변수에 대해 $-\log(b_{i}-x_{i})$ 로그 $-\log(b_{i}-x_{i})$ ( $-\log(b_{i}-x_{i})$ i $-\log(b_{i}-x_{i})$ - $-\log(b_{i}-x_{i})$ i $){\displaystyle -\log(b_{i}-x_{i}}}}}$ 을(를) 추가하십시오 $-\log(b_{i}-x_{i})$

형식 정의

$\mathbf {a} _{i}^{T}x\leq b_{i},i=1,\ldots ,m$ $\mathbf {a} _{i}^{T}x\leq b_{i},i=1,\ldots ,m$ $\mathbf {c} ^{T}x$ $\mathbf {a} _{i}^{T}x\leq b_{i},i=1,\ldots ,m$ $\mathbf {a} _{i}^{T}x\leq b_{i},i=1,\ldots ,m$ , $\mathbf {a} _{i}^{T}x\leq b_{i},i=1,\ldots ,m$ = 1 $\mathbf {a} _{i}^{T}x\leq b_{i},i=1,\ldots ,m$ , $\mathbf {a} _{i}^{T}x\leq b_{i},i=1,\ldots ,m$ m ${\displaystyle \mathbf$ ${c} ^{T}$ ${a} _{i}^{T}x\leq b_{i=1,\ldots ,m}$ 의 영향을 $\mathbf {c} ^{T}x$ 최소화하십시오.

엄격히 가능하다고 가정하십시오: $\{\mathbf {x} |Ax<b\}\neq \emptyset$ { $\{\mathbf {x} |Ax<b\}\neq \emptyset$ x $\{\mathbf {x} |Ax<b\}\neq \emptyset$ < $\{\mathbf {x} |Ax<b\}\neq \emptyset$ $\{\mathbf {x} |Ax<b\}\neq \emptyset$ ≠ $\{\mathbf {x} |Ax<b\}\neq \emptyset$ $\{\mathbf {x} Ax<b\}\neq \emptyset }$

Define logarithmic barrier $\Phi (x)={\begin{cases}\sum _{i=1}^{m}-\log(b_{i}-a_{i}^{T}x)&{\text{for }}Ax<b\\+\infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}$

참고 항목

참조

^ Nesterov, Yurii (2018). Lectures on Convex Optimization (2 ed.). Cham, Switzerland: Springer. p. 56. ISBN 978-3-319-91577-7.
^ Nocedal, Jorge; Wright, Stephen (2006). Numerical Optimization (2 ed.). New York, NY: Springer. p. 566. ISBN 0-387-30303-0.
^ Vanderbei, Robert J. (2001). Linear Programming: Foundations and Extensions. Kluwer. pp. 277–279.

외부 링크

제14강: UCLA의 리벤 반덴베헤 교수의 장벽법

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[1] Nesterov, Yurii (2018). Lectures on Convex Optimization (2 ed.). Cham, Switzerland: Springer. p. 56. ISBN 978-3-319-91577-7.

[2] Nocedal, Jorge; Wright, Stephen (2006). Numerical Optimization (2 ed.). New York, NY: Springer. p. 566. ISBN 0-387-30303-0.

[3] Vanderbei, Robert J. (2001). Linear Programming: Foundations and Extensions. Kluwer. pp. 277–279.

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