비알 추측

비알 추측이란 수 이론상 다음과 같은 추측이다.

만약

${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}}$

여기서 A, B, C, x, y, z는 x, y, z ≥ 3, A, B, C의 0이 아닌 정수로, 그 다음, A, B, C는 공통 소수 인자를 갖는다.

동등하게,

식 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$+ ${\displaystyle B^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle z^{}}$ ${\$는 0이 아닌 정수에 해법이 없으며, x, y, z ≥ 3인 경우 쌍방향 복사 정수 A, B, C에 해법이 없다$$.

이 추측은 1993년 은행가 겸 아마추어 수학자인 앤드류 빌이 페르마의 마지막 정리 일반화를 조사하면서 공식화한 것이다.^[1][2]1997년 이후, Beal은 이 추측에 대한 동료들의 검토된 증거 또는 백범 사례에 대해 상금을 제공했다.^[3]그 상금의 가치는 몇 배나 증가했고 현재 100만 달러다.^[4]

일부 출판물에서는 이러한 추측을 일반화된 페르마 방정식,^[5] 마울딘 추측,^[6] 티즈데만-자기에 추측이라고 부르기도 했다.^[7][8][9]

관련 사례

예를 들어 솔루션 ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ +${\displaystyle {}^{}}6{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 3$^{3}+6^{3$}$}}=3^{5}$는 공통인자가 ${\displaystyle {3인\mathrm{}}^{}}$ 기준이고$$, 솔루션 7 $3{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {7\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {14}^{}}$ ${\displaystyle {3인\mathrm{}}^{}}$ 기준$({$은 공통인자가 7인 기준이며, ${\displaystyle {2n}^{}}$+ ${\displaystyle {2n}^{}}$= ${\displaystyle {2n}^{}}$=$$1인 ${\displaystyle {\mathrm{디스플레이}}^{}}$ $스타일 2^{n}+{n}={n}={n+1$}+1$}}$인 기준점이 있다$$.실제로 이 방정식은 위의 세 가지 예에 대한 일반화를 포함하여 기초가 공통 인자를 공유하는 해법이 무한히 많다.

${\displaystyle 3^{3n}+[2^{n}]^{3}=3^{3n+2},\cHB\n\geq 1;}$

${\displaystyle [b(a^{n}-b^{n})}^{k}]^{n}+(a^{n}-b^{n})^{kn+1}=[a^{n}-b^{n}}]^{k}]^{n},\cHB \b,\cHB b\geq 1,\cHB n\geq 3;}$

그리고

${\displaystyle [a^{n}+b^{n}}^{k}]^{n}+[b(a^{n}+b^{n})}^{k}]^{n}=(a^{n}+b^{n})^{n1}^{kn+1},\i1\i1\i1\i1\i1\b\geq 1,\i1\i1\n\geq 3.}$

또한 각 솔루션(복사선 기준 포함 또는 제외)에 대해 동일한 지수 집합과 증가하는 비복사선 기준 집합을 가진 솔루션이 무한히 많다.즉, 해결을 위해

${\displaystyle A_{1}^{x}+B_{1}}^{y}=C_{1}^{z}}}}$

우리는 추가로 가지고 있다.

${\displaystyle A_{n}^{x}+B_{n}^{y}=C_{n}^{z};}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

어디에

${\displaystyle A_{n}=(A_{n-1}^{yz+1})(B_{n-1}^{yz})(C_{n-1}^{yz})}$

${\displaystyle B_{n}=(A_{n-1}^{xz})(B_{n-1}^{xz+1})(C_{n-1}^{xz})}$

${\displaystyle C_{n}=(A_{n-1}^{xy})(B_{n-1}^{xy})(C_{n-1}^{xy+1})$

Beal 추측에 대한 해결책에는 반드시 3개의 용어가 포함되며, 이 모든 용어는 3개의 힘이 있는 숫자, 즉 모든 주요 인자의 지수가 최소 3개인 숫자다.3권력을 합친 그러한 합계는 무한히 많은 것으로 알려져 있지만,^[10] 그러한 합계는 드물다.가장 작은 두 가지 예는 다음과 같다.

${\displaystyle {\displaysty}271^{3}+2^{3}}\ 3^{5}\ 73^{3}=919^{3}&=776{,}151{,}559\\3^{4}\ 29^{3}\ 89^{3}+7^{3}\ 11^{3}\ 167^{3}=2^{7}\ 5^{4}\ 353^{3}&=3{,}518{,}958{,}160{,}000\\\end{aligned}}}$

비알의 추측을 구별하는 것은 세 가지 용어 각각을 하나의 힘으로서 표현할 수 있도록 요구한다는 점이다.

다른 추측과의 관계

페르마의 마지막 정리에서는 ${\displaystyle {An}^{}}$+ ${\displaystyle B^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle C^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ A$^{n}+B^{n}=C^{n}}}}$는 양의 정수 A, B, C에 대해 n > 2에 대한 해법이 없다는$$ 것을 확인했다.만약 어떤 해결책이 페르마의 마지막 정리에 존재했다면, 그렇다면, 모든 공통 요소를 나누어서, A, B, C coprime을 가진 해결책도 존재할 것이다.따라서, 페르마의 마지막 정리는 x = y = z로 제한된 베알 추측의 특별한 경우로 볼 수 있다.

그Fermat–Catalan 추측은 Ax+B는 y=Cz{\displaystyle A^{)}+B^{y}=C^{z}}은 오직 유한하게 많은 해결책을 A, B, C긍정적의 정수를 비범한 주요한 요소 x, y, 쉽게 긍정적 정수를 충족시키면 1x+1y+1z<>1.{\displaystyle{\frac{1}{)}}+{\frac{1}{y}}+{년.fra$c {1}{z}<1.}$ 비알의 추측을 "모든 페르마트-카탈란 추측 해결책이 2를 지수로 사용할 것"으로 재작성할 수 있다.

abc의 추측은 Beal의 추측에 최소한 많은 백배들이 있다는 것을 암시할 것이다.

부분 결과

n이 지수인 아래 사례에서는 n의 배수량도 입증되는데, kn번째 힘도 n번째 힘이기 때문이다.제2의 힘을 수반하는 해결책이 아래에 암시되어 있는 경우, 그것들은 구체적으로 페르마트-카탈란 추측#알려진 해결책에서 찾을 수 있다.(2, 3, n) 또는 (2, n, 3) 형식의 모든 사례에는 아래 카탈로니아 솔루션이라고 하는 솔루션³ 2 + 1 = 3이ⁿ² 있다.

• 사례 x = y = z ≥ 3 (따라서 사례 gcd(x, y, z) ≥ 3)은 페르마의 마지막 정리로서 1994년 앤드류 와일스에 의해 해결책이 없는 것으로 증명되었다.^[11]
• 사례(x, y, z) = (2, 3, 7)와 그 모든 순열은 비카탈란 용액 4개만 가지고 있다는 것이 증명되었는데, 그 중 빌의 추측과 모순되는 것은 하나도 없었다.셰퍼와 마이클 스톨은 2005년에 결혼했다.^[12]
• 사례(x, y, z) = (2, 3, 8)와 그 모든 순열은 2003년 닐스 브루인에 의해 베알 추측과 모순되지 않는 비 카탈란 용액 하나만 있는 것으로 증명되었다.^[13]
• 사례(x, y, z) = (2, 3, 9)와 그 모든 순열은 2003년 닐스 브루인이 베알 추측과 모순되지 않는 비 카탈란 용액 하나만 가지고 있는 것으로 알려져 있다.^[14][15][9]
• 사례(x, y, z) = (2, 3, 10)와 그 모든 순열은 2009년 데이비드 브라운에 의해 카탈루냐 해법만 있는 것으로 증명되었다.^[16]
• 케이스(x, y, z) = (2, 3, 11)와 그 모든 순열은 프리타스, 나스크르슈키, 스톨에 의해 카탈로니아 용액만 있는 것으로 증명되었다.^[17]
• 케이스(x, y, z) = (2, 3, 15)와 그 모든 순열은 2013년 사미르 식섹과 마이클 스톨에 의해 증명되었다.^[18]
• 케이스(x, y, z) = (2, 4, 4)와 그 모든 순열은 1640년대 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)와 1738년 오일러의 결합 작업으로 해결책이 없다는 것이 증명되었다.(여기 및 다른 증거 참조)
• 사례(x, y, z) = (2, 4, 5)와 그 모든 순열은 2003년 닐스 브루인이 베알 추측과 모순되지 않는 비 카탈란 용액 하나만 가지고 있는 것으로 알려져 있다.^[14]
• 사례(x, y, z) = (2, 4, n)와 그 모든 순열은 2009년 마이클 베넷, 조던 엘렌버그, 네이단 응에 의해 n ≥ 6에 대해 증명되었다.^[19]
• 케이스(x, y, z) = (2, 6, n)와 그 모든 순열은 2011년 마이클 베넷과 이민 첸에 의해 n ≥ 3에 대해, 그리고 2014년 베넷, 첸, 다멘, 야즈다니에 의해 증명되었다.^[20][5]
• 사례(x, y, z) = (2, 2n, 3)와 그 모든 순열은 bennett, Chen, Dahmen, Yazdani에 의해 n이 비카탈란 용액이 없는 프라임일 때 n = 7을 제외한 3 ≤ n ≤ 10⁷ 및 다양한 모듈로 합성에 대해 입증되었다.^[21][5]
• 사례(x, y, z) = (2, 2n, 9), (2, 2n, 10), (2, 2n, 15)와 그 모든 순열은 2014년 베넷, 첸, 다흐멘, 야즈다니에 의해 n 2 2에 대해 증명되었다.^[5]
• 사례(x, y, z) = (3, 3, n)와 그 모든 순열은 3 ≤ n ≤ 10에⁹ 대해 입증되었으며 n이 prime일 때 다양한 모듈로 합치된다.^[15]
• 케이스(x, y, z) = (3, 4, 5)와 그 모든 순열은 2011년 식섹과 스톨에 의해 증명되었다.^[22]
• 케이스(x, y, z) = (3, 5, 5)와 그 모든 순열은 1998년 비욘 푸넨에 의해 증명되었다.^[23]
• 케이스(x, y, z) = (3, 6, n)와 그 모든 순열은 2014년 베넷, 첸, 다흐멘, 야즈다니에 의해 n ≥ 3에 대해 증명되었다.^[5]
• 케이스(x, y, z) = (2n, 3, 4)와 그 모든 순열은 2014년 베넷, 첸, 다흐멘, 야즈다니에 의해 n ≥ 2에 대해 증명되었다.^[5]
• 케이스 (5, 5, 7), (5, 5, 19), (7, 7, 5), 그리고 그 모든 순열은 샌더 R에 의해 증명되었다.2013년 다멘과 사미르 식섹.^[24]
• 사례(x, y, z) = (n, n, n, 2)와 그 모든 순열은 오일러와 푸넨의 작업에 이어 1995년에 다몬과 메렐에 의해 n ≥ 4에 대해 증명되었다.^[25][23]
• 사례(x, y, z) = (n, n, 3)와 그 모든 순열은 에두아르 루카스, 비욘 푸넨, 다르몬과 메렐에 의해 n ≥ 3에 대해 증명되었다.^[25]
• 사례(x, y, z) = (2n, 2n, 5)와 그 모든 순열은 2006년 베넷에 의해 n ≥ 2에 대해 증명되었다.^[26]
• 케이스(x, y, z) = (2l, 2m, n)와 그 모든 순열은 Anni와 식섹에 의해 l, m 5 5 primes와 n = 3, 5, 7, 11에 대해 증명되었다.^[27]
• 케이스(x, y, z) = (2l, 2m, 13)와 모든 순열은 빌레이, 첸, 뎀벨레, 디울레페, 프리타스에 의해 l, m ≥ 5 primes에 대해 증명되었다.^[28]
• 케이스(x, y, z) = (3l, 3m, n)는 Kraus의 작업에서 l, m 2 2 및 n 3 3에 대해 직접이다.^[29]
• 다르몬-그란빌 정리는 모든 지수(x, y, z)의 특정 선택에 대해 (A, B, C)를 위한 복사 용액이 가장 미세하게 많다는 것을 보여주기 위해 팔팅스의 정리를 사용한다.^{[30][7]: p. 64}
• 사례 A = 1 또는 B = 1의 불가능성은 2002년 Preda Mihcuilescu에 의해 입증된 카탈란의 추측에 의해 암시된다. (통지 C는 1이 될 수 없거나, A와 B 중 하나는 0이어야 하며, 이는 허용되지 않는다.)
• 1950년대 L. Jesmanowicz는 이 방정식에 대한 잠재적인 해결책, 즉 A, B, C도 피타고라스의 삼중수소를 형성하는 것을 고려했다.J. 조제피악은 비알 방정식을 충족시킬 수 없는 원시 피타고라스 삼쌍이 무한히 있다는 것을 증명했다.더 많은 결과가 나온 것은 고차오 때문이다.^[31]
• 구글의 피터 노르빅 리서치 이사는 비알의 추측에 대해 일련의 수치 검색을 실시했다고 보고했다.그는 결과 중 x, y, z ≤ 7과 A, B, C 각각 25만 개, x, y, z ≤ 100 개, A, B, C 각각 10,000 개씩을 가질 수 있는 솔루션은 모두 제외했다.^[32]
• 만약 A,B가 홀수이고 x,y가 짝수라면, Beal의 추측에는 백범례가 없다.^[33]
• Beal의 추측의 타당성을 가정하면, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle m^{}}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y^{}}$ =${\displaystyle {}^{}{z}^{}}$ r ${\$ 식에 x, y, z의 공통 구분자에 대한 상한선이 존재한다$.$^[34]
• 사례(x, y, z) = (n, 2n-1, n)가 입증되었다^{[citation needed]}.

상

공개된 증빙서류나 백범본의 경우, 은행가 앤드류 비알은 처음에 1997년에 5천 달러의 상금을 제시하여 10년 동안 5만 달러로 올렸으나,^[3] 그 이후로는 100만 달러로 상향 조정해 왔다.^[4]

Beal 추측이 풀릴 때까지 미국수학협회(AMS)는 신탁으로 100만 달러의 상금을 보유하고 있다.^[35]AMS 사장이 임명하는 벌상위원회(Beal Prize Committee, BPC)가 주관한다.^[36]

변형

counterexamples $7{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {13\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 7$^{3}+13^{2}=2^{9}}$ 및$$ ${\displaystyle {1m}^{}}$+ 2 ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 1$^{m}+2^{3$}}$}}=3^{2}}:$ 지수 중 하나를 2로 허용하면 추측이 거짓이 된다는 것을 보여준다$$.페르마-카탈란 추측은 그러한 경우를 다루는 공공연한 추측이다(이 추측의 조건은 왕복선의 합계가 1보다 적다는 것이다).지수 중 하나라도 2가 되도록 허용하면 미세하게 많은 해법만 있을 수 있다($사례{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {1m}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$ = ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 1$^{m}+2^{3$).$}=3^{2}}$).

만약 A, B, C가 공통적인 주요 인자를 가질 수 있다면, 추측이 사실이 아니다; 고전적인 counterexample은 2 ${\displaystyle {10}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {10}^{}}$= 2 ${\displaystyle {11}^{}}$ ${\$ 2$^{10}+2^{10}=2^{11$

x, y, z(A, B, C 대신)가 공통적인 주요 인자를 가져야 한다고 주장하는 추측의 변형은 사실이 아니다.counterexample은 ${\displaystyle {27}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {162}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$= 9 ${\displaystyle 7^{}}$이고${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 27^{4}+162^{3}=9^{7}}$이며, 이 경우 4, 3, 7은 공통적인 프라임 요인이 없다.(사실 유효성이 있는 지수의 최대 공통 프라임 계수는 2이다. 2보다 큰 공통 계수는 페르마의 마지막 정리에 대한 counterrexample일 것이다.)

그 추측은 가우스 정수의 더 큰 영역에 대해서는 타당하지 않다.프레드 W는 50달러의 상금이 1인 1표본에 주어졌다.헬렌리우스는 제공${\displaystyle }$( -${\displaystyle 2}$ +${\displaystyle {}^{}i}$ )${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$ +${\displaystyle }$( - 2${\displaystyle }$-${\displaystyle {}^{}i}$ )${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle 1{}^{}}$+ i ) ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$^[37]

참고 항목

• 오일러의 힘의 합계 추측
• 자코비-매든 방정식
• 프루엣-타리-에스코트 문제
• 택시캅 수
• 피타고라스 4배
• 힘의 합계, 관련 추측과 이론의 목록
• 분산 컴퓨팅
• BOINC

참조

외부 링크

• 벌상 사무소 페이지
• Bealconjecture.com
• Math.unt.edu
• 플래닛매트릭스의 비알 추측.
• Mathoverflow.net 정리의 명칭과 유래 날짜에 대한 논의