가우스 정수

수론에서, 가우스 정수는 실수와 허수 부분이 모두 정수인 복소수이다.가우스 정수는 복소수의 일반적인 덧셈과 곱셈을 통해 적분 도메인을 형성하며, 일반적으로 Z $[i]$ ^[1]로 작성된다.이 적분 영역은 2차 정수의 교환환의 특별한 경우이다.이것은 산술에 관한 전체 순서를 가지고 있지 않다.

복소평면의 격자점으로서의 가우스 정수

기본 정의

가우스 정수는 다음과 같은 집합입니다^[1].

\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\qquad {text{여기}i^{2}=-1}

즉, 가우스 정수는 그 실수와 허수 부분이 모두 정수인 복소수입니다.가우스 정수는 덧셈과 곱셈으로 닫히기 때문에 복소수 필드의 하위 고리인 교환환을 형성합니다.따라서 이는 통합 도메인입니다.

복소 평면 내에서 고려할 때, 가우스 정수는 2차원 정수 격자를 구성한다.

가우스 $정수$ a + $bi$ 의 켤레는 가우스 $정수$ a – $bi$ 입니다.

가우스 정수의 노름은 그것의 켤레와 곱이다.

N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.

따라서 가우스 정수의 노름은 복소수로서의 절대값의 제곱입니다.가우스 정수의 노름은 두 제곱의 합인 음이 아닌 정수입니다. $따라서$ 노름은 k $정수$ 를 갖는 $4k$ + 3 형식이 될 수 없습니다.

노름은 곱셈이다. 즉, 사람은^[2]

N(zw)=N(z)N(w),

모든 가우스 $정수$ 쌍 z, $w$ 에 대해.이는 직접 또는 복소수 계수의 곱셈 특성을 사용하여 나타낼 수 있습니다.

가우스 정수의 링 단위(즉, 곱셈 역이 가우스 정수이기도 한 가우스 정수)는 노름 1, –1, i 및 –^[3] $i$ 가 있는 가우스 $정수$ 입니다.

유클리드 분할

일부 가우스 정수에 대한 최대 거리 시각화

가우스 정수는 정수 및 다항식과 유사한 유클리드 나눗셈(나눗셈)을 가지고 있다.이것은 가우스 정수를 유클리드 영역으로 만들고, 가우스 정수가 정수 및 다항식과 함께 최대공약수를 계산하는 유클리드 알고리즘의 존재, 베주트의 항등식, 주요 이상 특성, 유클리드 법칙, 독특한 인수분해 정리, 그리고 키네와 같은 많은 중요한 특성들을 공유한다는 것을 암시한다.나머지 정리, 이 모든 것은 유클리드 나눗셈만을 사용하여 증명될 수 있다.

유클리드 나눗셈 알고리즘은 가우스 정수의 링에서 $배당$ a와 $제수$ b $0$ 0을 취하고, 다음과 같은 $몫$ q와 나머지 $r$ 을 생성한다.

(*displaystyle a=bq+r\context{and}}\context N(r)<N(b)>).}

실제로, 나머지를 작게 할 수도 있습니다.

({displaystyle a=bq+r}\text N(r)\leq {frac {N(b)}{2}).}

이 더 나은 불평등에도 불구하고, 지수와 나머지가 반드시 고유한 것은 아니지만, 사람들은 독특함을 보장하기 위해 선택을 개선할 수 있다.

이것을 증명하기 위해서 x복소수 지수를 고려하고 있는+iy).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00입니다.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}a/b. $-1 / 2 < x$ – $m 1$ 1/ $2$ 및 $-1 / 2 < y$ – $n 1$ 1/ $2$ 이므로 $,$ $N (x$ – $m$ + $i (y$ – n) $/$ 1/ $2$ 가 $되도록$ $,$ 일의의 $정수$ m $와$ n 이 존재합니다. $q$ $=$ m + $in$ 을 취하면 $다음$ 과 같다.

({displaystyle a=bq+r})

와 함께

r=bbigl (}x-m+i(y-n){\bigr}

그리고.

(\displaystyle N(r)\leq {frac {N(b)}{2}).}

고유성을 위해 세미 오픈 간격에서 x – $m$ $및$ y – $n$ 을 $선택$ 해야 합니다.이 유클리드 나눗셈의 정의는 복소수 $θ$ 에서 가장 가까운 가우스 정수까지의 거리가 최대^[4]2/ $2 이상임$ 을 언급함으로써 복소 평면(그림 참조)에서 기하학적으로 해석될 수 있다.

주요 이상

가우스 정수의 $고리$ G는 유클리드 영역이기 때문에, $G$ 는 주요 이상 영역이며, 이것은 G의 $모든$ 이상이 주역임을 의미한다.구체적으로는 I의 $모든$ 원소의 합과 $R$ 의 원소에 의한 I의 $모든$ 곱이 $I$ 에 속하도록 $하는$ 링 $R$ 의 서브셋이다.이상은 주원칙이다. 만약 그것이 $단일$ 요소 g의 모든 배수로 구성된다면, 즉, 다음과 같은 형태를 가진다.

(\displaystyle\{gx\mid x\in G\})

이 경우, g에 $의해$ 이상형이 생성되거나 $g$ 가 이상형의 생성자라고 할 수 있다.

가우스 정수의 링에 있는 모든 $아이디얼$ I는 주원소이다. 왜냐하면 만약 I에서 $최소$ 노름의 0이 아닌 $원소$ g를 선택한다면, I의 $모든$ $요소$ x에 대해, 유클리드 분할 $x$ 의 $나머지$ g도 $I$ 에 속하고 g의 $그것$ 보다 작은 노름을 가진다. g의 $선택$ 때문에, 이 노름 0이다.즉, 1은 x = $qg$ 이고 $여기$ 서 q는 몫입니다.

$모든$ g에 대해 g에 $의해$ 생성된 이상도 g의 $모든$ 관계자에 의해 생성된다. 즉, $g,$ $gi, - g$ , –gi. 다른 어떤 요소도 동일한 이상을 생성하지 않는다.모든 이상 생성자가 동일한 규범을 가지듯이, 이상 생성자의 규범은 모든 이상 생성자의 규범이다.

경우에 따라서는 각 이상에 대해 제너레이터를 한 번 선택하는 것이 유용합니다.그것을 하기 위한 두 가지 고전적인 방법이 있는데, 둘 다 먼저 이상한 규범의 이상을 고려합니다. $g$ $= a$ + $bi$ 의 $노름 2$ a + $b$ 가² 홀수이면 $a$ 와 b 중 $하나$ 는 홀수이고 다른 하나는 짝수이다. $따라서$ g는 홀수이고 양의 실제 $부품$ a와 정확히 관련되어 있습니다.그의 원본 논문에서, 가우스는 2+ $2i$ 로 나누어진 나머지 부분이 1이 되도록 독특한 동료를 선택함으로써 또 다른 선택을 했다.실제로, $N(2$ + 2i)= $8$ 이므로, 나머지의 노름은 4보다 크지 않다.이 노름은 홀수이고 3은 가우스 정수의 노름이 아니기 때문에, 나머지의 노름은 1이다. 즉, 나머지는 단위이다.g에 이 단위의 역수를 $곱하면$ 2 + $2i로 나누면$ 1을 나머지로 하는 연관성을 찾을 수 있습니다.

$g$ 의 노름이 짝수이면 g = $2h k$ $또는$ g = $2h k (1+ i)$ 중 $하나$ 이며, $여기$ 서 k는 양의 $정수$ 이고 N $(h)$ 은 홀수이다.따라서, 홀수 노름의 원소에 대한 관계자의 선택에 적합한 $h$ 를 얻기 위해 $g$ 의 관계자를 선택한다.

가우스 소수

가우스 정수는 주요 이상 영역을 형성하기 때문에 고유한 인수분해 영역도 형성합니다.이는 가우스 정수가 프라임일 경우에만(즉, 프라임 아이디얼을 생성함) 축소할 수 없음을 의미합니다(즉, 두 개의 비단위 곱이 아님).

Z $[i]$ 의 소수 원소는 가우스 소수라고도 합니다.가우스 소수의 어소시에이트는 가우스 소수도 된다.가우스 소수의 공역도 가우스 소수입니다(이는 가우스 소수가 실제 축과 가상의 축에 대해 대칭임을 의미합니다).

양의 정수는 3 모듈로 4에 해당하는 소수인 경우에만 가우스 소수입니다(즉, n은 $음$ 이 아닌 $정수인$ $4n$ + 3으로 표기될 수 있습니다). (OEIS의 시퀀스 A002145)다른 소수들은 가우스 소수가 아니지만 각각 2개의 공역 가우스 소수의 곱이다.

가우스 $정수$ a + $bi$ 는 다음과 같은 경우에만 가우스 소수입니다.

a 중 $하나$ 는 0이고, 다른 하나는 $4n$ + $3$ 형식의 소수( $n$ 은 음이 아닌 정수)이다.
둘 다 0이 $아니고 2$ a + $b$ 는² 소수( $4n$ + 3 $형식$ 이 아님)입니다.

즉, 가우스 정수는 그 노름이 소수이거나 $단위(\pm 1,$ ±i)와 $4n$ + $3$ 형식의 소수 중 하나일 경우에만 가우스 소수이다.

따라서 가우스 정수의 $소수$ p를 인수분해하는 세 가지 경우가 있습니다.

$만약$ p가 3 모듈로 4와 일치한다면, 그것은 가우스 소수이다. 대수적 수 이론의 언어로 $p$ 는 가우스 정수에서 불활성이라고 한다.
p가 1모듈로 4와 $일치$ 한다면, 그 켤레에 의한 가우스 소수의 곱이며, 둘 다 비연관 가우스 소수(단위에 의한 다른 것의 곱은 아니다)이다. p는 가우스 정수에서 분해된 소수라고 한다.예를 들어, 5 $= ($ 2 + $i)(2 - i$ ) 및 $13$ = (3+ $2i)(3$ - $2i)$ 입니다.
$p$ = $2$ 이면 2 = (1 $+ i$ )( $1 - i$ ) $= i$ ( $1$ - $i) 2$ 입니다. 즉, 2는 가우스 소수의 제곱을 단위로 곱한 것이며, 가우스 정수의 고유한 라미네이트 소수입니다.

고유 인수분해

모든 고유 인수분해 영역에 대해 모든 가우스 정수를 단위와 가우스 소수의 곱으로 인수분해할 수 있으며, 이 인수분해는 인자의 순서 및 그 관계 중 하나에 의한 소수 치환(단위 소인수의 대응 변화와 함께)까지 고유하다.

관련된 소수의 각 등가 등급에 대해 고정 가우스 소수를 선택하고, 이 선택된 소수만을 인수분해하면, 소인수 분해는 인자의 순서까지 고유하다.위에서 설명한 선택지를 통해 고유한 인수분해는 다음과 같은 형태를 취합니다.

({displaystyle u(1+i)^{e_{0}}{p_{1}}{e_{1}}\cdots {p_{k}^{e_{k}}})

$여기$ 서 u는 단위( $즉$ , $u 1 {$ 1, – $1$ , $i$ , –i}), $e$ 와₀ k는 음이 아닌 $정수 1,$ $e k,$ …, e는 양의 정수, $p 1,$ …, $p$ 는_k 선택된 연관성의 선택에 따라 구별되는 가우스 소수입니다.

p = $a k$ + $ib k$ , $홀수$ 및 $양수$ , b 짝수 중 $하나 k$ ,
또는 유클리드 나눗셈의 $나머지$ 를_k $2$ + 2i로 $나누면$ 1이 된다. (이것은^[5] 가우스의 원래 선택이다).

두 번째 선택의 장점은 선택된 연관성이 홀수 노름의 가우스 정수에 대한 곱에서 잘 동작한다는 것이다.한편, 실제 가우스 소수에 대해 선택된 어소시에이트는 음의 정수입니다.예를 들어, 231의 인수분해는 정수의 첫 번째 선택에서 3 × 7 × 11이고, 두 번째 선택에서는 (-1) × (-3) × (-7) × (-11)이다.

가우스 유리수

가우스 유리장은 가우스 정수 링의 분수장이다.그것은 실수와 허수 부분이 모두 유리인 복소수로 구성되어 있다.

가우스 정수의 링은 가우스 유리수의 정수의 적분 폐쇄입니다.

이것은 가우스 정수가 2차 정수이고, 가우스 유리수가 가우스 정수라는 것을 암시한다. 만약 그것이 방정식의 해라면, 그리고 오직 그것이다.

x^{2}+cx+d=0,

c $및$ d 정수를 $사용$ 합니다. $사실$ a + bi는 방정식의 해이다.

(\displaystyle x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2})

그리고 이 방정식은 $a$ 와 b가 둘 다 $정수인$ 경우에만 정수 계수를 갖습니다.

최대 공약수

임의의 고유 인수분해 영역에서 2개의 가우스 $정수$ a, $b$ 의 최대공약수(gcd)는 a $및$ $b$ 의 공약수인 가우스 $정수$ d로, a $및$ b의 $모든$ 공약수를 제수로 한다.즉, (여기서는 나눗셈 관계를 나타낸다),

$da$ $및$ $db$ 및
$c$ $a$ 와 $c$ b는 $c$ d를 $의미$ 합니다.

따라서 최대값은 링의 순서가 아닌 나눗셈 관계(정수의 경우 최대값의 두 가지 의미가 모두 일치함)를 상대적으로 의미합니다.

보다 엄밀히 말하면 $a$ 와 b의 $최대공약수$ 는 a와 $b$ 에 의해 $생성$ 된 이상 생성기이다(이 특성은 주요 이상 도메인에서는 유효하지만 일반적으로 고유한 인수분해 도메인에서는 유효하지 않다).

두 가우스 정수의 최대공약수는 고유하지 않지만 단위로 곱셈까지 정의됩니다.즉, $a$ 와 $b$ 의 최대공약수 $d$ 가 주어졌을 때 $a$ 와 $b$ 의 최대공약수는 d $, -d$ , id 및 $-id$ 입니다.

두 가우스 $정수$ $a$ 와 b의 최대공약수를 계산하는 방법은 여러 가지가 있습니다. $a$ 와 b의 $주요$ 인수분해를 알 때,

{\displaystyle a=i^{k}\m}{p_{m}^{\nu_{m}},\display b=i^{n}\m}{p_{m}^{\m}},

$소수 m$ p가 쌍으로 연결되지 않고 $지수 m$ μ가 연관되지 않을 때, 가장 큰 공통 약수는 다음과 같다.

_{m}{p_{m}}^{\displayda _{m}}

와 함께

(\displaystyle \displaystyle _{m}=\min(\nu _{m},\mu _{m}).}

불행하게도 단순한 경우를 제외하고, 소인수 분해는 계산하기 어렵고, 유클리드 알고리즘은 훨씬 더 쉽고 빠른 계산으로 이어진다.이 알고리즘은 입력 $(a,$ $b)$ 을 ( $b, r$ )로 치환하는 것으로 구성되어 있습니다. $여기$ 서 r은 $a$ 의 유클리드 나눗셈의 나머지 부분이고, 0이 될 때까지 이 연산을 반복합니다( $d, 0).$ 각 단계에서 두 번째 가우스 정수의 노름이 감소하기 때문에 이 프로세스는 종료됩니다.(각 단계에서) $b$ 와 r $= a$ – $bq$ 의 $제수$ 가 a 및 $b$ 와 같기 때문에 $최대$ 공약수인 d는 최대 공약수이다.

이 계산 방법은 항상 작동하지만, 유클리드 나눗셈이 더 복잡하기 때문에 정수만큼 간단하지 않다.따라서 손으로 쓴 계산에는 세 번째 방법이 선호된다.이는 $a$ 와 $b$ 의 최대공약수의 $노름 N ($ d)이 $N ($ $a),$ $N ($ $b),$ $N (a$ + b)의 공약수임을 나타내는 것으로 구성된다.이 세 정수 중 $최대공약수$ D가 몇 개의 인자를 가지고 있는 경우, 공약수 D의 노름 $나눗셈$ 을 가진 모든 가우스 정수를 쉽게 테스트할 수 있습니다.

예를 들어 a = $5$ + $3i$ 이고 b $= 2$ ~ $8i이면$ $N (a)$ = $34$ , $N (b)$ = $68$ , $N (a$ + $b)$ = $74$ 이다.3개의 규범 중 최대공약수는 2이므로 $a$ 와 $b$ 의 최대공약수는 1 또는 2를 노름으로 한다.노름 2의 가우스 정수가 1 + $i$ 에 관련지어지고, 1 + $i$ 가 $a$ 와 b를 $나누면$ , 최대 공약수는 1 + $i$ 가 됩니다.

$만약$ b가 $그것$ 의 켤레 b $= 2$ + $8i$ 로 대체된다면, 세 개의 규범 중 가장 큰 공수는 $a$ 의 노름인 34이다. 따라서 사람들은 가장 큰 공수는 $a$ , 즉, $b$ 라고 추측할 수 있다.실제로는 $1$ 은 2 + $8i$ = ( $5$ + $3i)(1$ + $i)$ 입니다.

합치 및 잔차

계수라고 불리는 가우스 $정수 0$ z가 주어졌을 때, 두 가우스 $정수 1$ z, $z$ 는₂ 합동 $모듈$ 로₀ z이며, 차이가 z의 $배수 0$ , 즉 z - $z 2$ = $qz$ 와₀ $같은 1$ 가우스 $정수$ q가 존재하는 경우이다.즉, 두 가우스 정수의 차이가 z에 $의해 0$ 생성된 이상에 속한다면 두 가우스 정수는 합동 모듈로 $z$ 이다₀.이것은 z $µz 2 (mod 0$ z $)$ 로 $표시$ 됩니다₁.

합치 $모듈$ 로₀ z는 가우스 정수의 분할을 합치 클래스 또는 잔차 클래스라고 하는 등가 클래스로 정의하는 등가 관계(합치 관계라고도 함)입니다.잔류 클래스 세트는 보통 Z $[i]/ zZ 0 [i]$ $또는$ Z $[i]/⟨ z 0 ⟩$ 또는 $단순히$ Z $[i]/ z$ 로₀ $표시$ 됩니다.

가우스 $정수$ a의 잔여 클래스는 다음과 같습니다.

(\displaystyle\bar{a}):=\left\{z\in \mathbf {Z} [i]\mid z\equiv apmpmod {z_{0}}\right\}

$a$ 와 일치하는 모든 가우스 정수의 비율입니다.따라서 a $µ$ b $(mod 0$ z $)$ 인 $경우$ 에만 a = b가 $된다$ .

덧셈과 곱셈은 합동성과 양립할 수 있다.즉, a $µ 1$ b $(mod 0$ z $)$ 및 $a 2 µ 2$ b $(mod 0$ z)는 a + $a 2 µ 1$ b + $b 2 (mod 0$ z $)$ $및 12$ aa $µ 12$ bb $(mod 0$ z $)$ 를 $의미$ 합니다₁₁.이를 통해 잔여 클래스에 대해 잘 정의된 운영(대표자의 선택과 무관함)이 정의됩니다.

(\displaystyle {a}}+{\bar {b}):=오버라인 {a+b}\cdot {a}\cdot {b}:={ab}을(를) 오버라인으로 바꿉니다.}

이러한 연산을 통해 잔차 클래스는 $가우스 0$ 정수의 몫환인 가우스 링을 형성합니다. 이는 전통적으로 잔차 클래스 링 $모듈$ 로₀ z라고도 합니다(자세한 내용은 몫환 참조).

예

$계수$ 1 + $i$ 에는 0 = { $0,$ ± $2, \pm$ 4, $\dots,\pm1 \pm i,\pm3$ ± $i,\dots}($ 1 + $i$ 의 $모든$ 배수) 및 $1$ = ${\pm1, \pm3, \pm5$ , $\dots,$ ± $i,$ ± $2$ ± i $,$ …}의 두 가지 잔여 클래스가 있으며, $이$ 는 복합 평면에서 체커보드 패턴을 형성한다.따라서 이 두 클래스는 2개의 요소를 가진 링을 형성합니다.이것은 실제로는 2개의 요소를 가진 고유(이형사상까지) 필드이며, 따라서 정수 모듈로 2로 식별될 수 있습니다.이 두 가지 클래스는 정수를 짝수 정수와 홀수 정수로 분할하는 일반화로 간주할 수 있습니다.따라서 짝수 및 홀수 가우스 정수를 말할 수 있습니다(가우스는 짝수 정수를 짝수, 즉 2와 반짝수로 나눌 수 있습니다).
계수 2는 0, $1$ , $i$ , $1$ + $i$ 의 4가지 잔류 클래스가 있다.이들은 4개의 원소로 이루어진 고리를 형성하며, $여기$ 서 x = – $x$ 는 $x$ 마다 발생합니다.따라서 이 고리는 4개의 원소를 가진 또 다른 고리인 정수 모듈로 4의 고리와는 동형이 아닙니다.1은 1 + $i 2$ = $0$ 이므로, 이 고리는 4개의 원소가 있는 유한장이 아니며, 정수 모듈로 2의 고리의 두 복사본의 직접적인 곱도 아니다.
$계수$ 2 + $2i$ = ( $i$ $- 31$ )의 경우, 8개의 잔류 클래스가 있습니다. $즉$ , 0, ± $1$ , ± $i, 1$ ± $i,$ 2의 잔류 클래스는 4개 중 짝수 가우스 정수만 포함하고 4개는 홀수 가우스 정수만 포함합니다.

잔여 클래스 설명

계수 0

z

= 3

+

2i

의

제곱 00

Q(연두색 배경)에 최소 잔류물(파란색 점)이 있는 모든 13개 잔류물 등급.z =

2

-

4i µ

-i

(mod 0

z

)

인 잔류물 클래스는 노란색/마이너스 점으로 강조 표시됩니다.

$계수 0$ z가 주어졌을 때, 위에서 설명한 것과 같이 고유한 몫과 나머지를 가진 나눗셈을 사용할 경우, 잔차 클래스의 모든 원소는 유클리드 나눗셈에 $대해 0$ 같은 나머지를 가진다.따라서 잔차 클래스를 열거하는 것은 가능한 잔차를 열거하는 것과 같다.이것은 다음과 같은 방법으로 기하학적으로 수행될 수 있습니다.

복잡한 평면에서는 정사각형이 두 개의 선으로 구분되는 정사각형 격자를 고려할 수 있다.

디스플레이 스타일V_{s}&=\left\{\left.z_{0}\left(s-{\tfrac {1}{2}}+ix\오른쪽)\right\vert x\in\mathbf {R}\right\quad {and}\\\\\\\H_{t}&=\left\{\left.z_{0}\left(x+i\left(t-{\tfrac {1}{2}}\오른쪽)\right\vert x\in \mathbf {R}\right\},\end{aligned}}}})

s 및 $t$ 정수(그림의 파란색 선)를 $사용$ 합니다.평면을 반오픈 정사각형으로 나눕니다( $여기$ 서 $m$ 과 n은 정수임).

\displaystyle Q_{mn}=\left\{(s+it)z_{0}\left\vert s\in \left[m-{\tfrac {1}{2}}, m+{\right}, t\in \left[n-{\tfrac {2}, n-{\tfrac}{1}{}}, {right}, tfright}, tfright}, tfrac}, {}, {\fright}, {\fright}, tfrac}, tfright}, tfrac}\right\}.}

$Q$ 의_mn 정의에서 발생하는 반열림 구간은 모든 복소수가 정확히 하나의 정사각형에 속하도록 선택되었습니다. 즉, $정사각형 mn$ Q가 복소 평면의 파티션을 형성합니다.있다

Q_{mn}=(m+in)z_{0}+Q_{00}=\left\{(m+in)z_{0}+z\mid z\in Q_{00}\right\}.

이는 모든 가우스 정수가 Q의 $고유$ 한₀₀ 가우스 정수(그림의 녹색 정사각형)와 일치하며, $나머지 0 0$ 부분은 z로 나눗셈한다는 것을 의미합니다.즉, 모든 잔여 클래스는 Q에 $정확히 00$ 하나의 요소를 포함합니다.

$Q 00$ (또는 그 경계)의 가우스 정수는 노름이 동일한 잔류 등급의 다른 가우스 정수의 노름보다 크지 않기 때문에 때때로 최소 잔류물이라고 불린다(가우스 정수를 절대적으로 최소 잔류물이라고 부른다).

기하학적 고려를 $통해 0$ 가우스 $정수$ $z$ = a + bi의 잔차 클래스 모듈 수가 $노름$ N $(z 0) = a 2$ + $b$ 와² 같다는 것을 추론할 수 있다. (증거에 대해서는 아래 참조; 정수의 경우 잔차 클래스 모듈 $n$ 의 수는 $절대값$ n이다.)

증명

$Q mn$ = ( $m$ + $in) z 0$ + $Q 00$ 관계는 $모든 mn$ Q가 Q에서 가우스 정수로 변환되어 $얻어지는 00$ 것을 의미합니다.이는 $모든 mn$ Q가 동일한 $면적$ N = $N (z 0)$ 을 가지며 동일한 $수의 g$ 가우스 정수를 포함함을 의미합니다.

$일반적$ 으로 영역 A를 가진 임의의 정사각형에서 그리드 포인트(여기서는 가우스 정수)의 수는 A + $δ (δA)$ 입니다(표기는 빅 세타 참조).k × $k$ $제곱 mn$ Q로 $구성$ 된 큰 정사각형을 고려한다면 $kN 2$ + $O (k \sqrt$ N $)$ 격자 점을 포함한다. $k$ 로² 나눗셈한 후 $kn 2$ = kN + $Ω (knN$ $),$ 따라서 $n g$ $= N$ + $Ω ($ kθN/ $k)$ 을 $따른다 2 g$ .k가 무한대로 기울 때 $한계$ 를 취하면 n = $N$ = $N (z 0)$ 이 $됩니다 g$ .

잔여 클래스 필드

가우스 $정수 0$ z의 잔여 클래스 링 모듈로는 z $z_{0}$ })이 $z_{0}$ 가우스 소수인 경우에만 필드가 $z_{0}$ .

$z$ 가₀ 분해된 소수이거나 라미네이트된 $소수$ 1 + $i$ (즉, $노름$ N $(z 0)$ 이 소수이고, 2 또는 1 모듈로 4에 해당하는 소수이면, 잔차 클래스 필드는 소수( $즉,$ $N 0 ($ z))를 가집니다.따라서 이는 정수 모듈 N $(z 0)$ 의 장과 동형이다.

한편, $z$ 가₀ 불활성 소수일 경우( $즉, N 0$ ( $z 2$ ) = p는 3 모듈로 4와 합동인 소수 제곱), 잔차 클래스 장은 p 요소를 $가지며 2$ , 이는 p 요소(정수 $모듈$ 로 p)를 갖는 소수장의 2도(동형사상까지)의 확장이다.

원시잔차군 및 오일러의 전체함수

정수의 모듈리에 대한 많은 정리(및 그 증명)는 계수의 절대값을 노름으로 대체하면 가우스 정수의 모듈리에 직접 전송될 수 있다.이것은 특히 원시 잔차 클래스 군(정수 $모듈$ 로 n의 곱셈 군이라고도 함)과 오일러의 전체 함수에 대해 유지된다. $계수$ z의 원시 잔류 등급 그룹은 $z$ 에 공역하는 모든 잔류 $등급$ a를 포함하는 잔류 등급의 서브셋으로 정의된다. 즉, ( $a,z$ ) = 1. 이 시스템은 분명히 승수 그룹을 구축한다.원소의 수는 $θ ($ z)로 표시되어야 한다( $정수$ n에 대한 오일러의 전체 $함수 θ ($ n)와 유사함).

가우스 소수의 경우 $θ (p) = p$ - $1$ 및 임의의 복합 가우스 정수의 경우 바로 뒤따른다.

z=i^{k}\display _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}

오일러의 곱 공식은 다음과 같이 도출될 수 있다.

{{displaystyle \phi (z)=\displays _{m,\nu _{m}}{\nu _{m}}{{m}}{\bigr}{2}\left(1-{\frac {1}}{{2}}\right)=z{2}\bigl ^2\p_m}_m}

여기서 곱은 모든 소수 $p m$ ( $θ$ > $0 m$ ) 위에 구축됩니다.또한 오일러의 중요한 정리는 직접 전달될 수 있다.

(a, z)

=

1인

모든

a에 대해 µ

1(mod

z

)

을^ϕ(z) 유지합니다.

이력

가우스 정수의 고리는 카를 프리드리히 가우스에 의해 4차 상호주의에 관한 그의 두 번째 논문(1832년)^[6]에서 소개되었다.2차 상호성의 정리는 (그가 1796년에 처음으로 증명하는데 성공하였다) $합동성 2$ x $µ$ q ( $mod$ p $)$ 와 x $µ$ p (mod q $)$ 의² 용해성을 관련짓는다.마찬가지로 입방체 상호성은 x $µq (mod$ p $)$ 의³ $용해성$ 과 $x µp$ (modq)의³ 용해성과 관련지어지며, 2차(또는 4차) $상호성$ 은 x $µq ($ mod $p 4$ )와 x $µp$ (mod $q 4$ $)$ 의 관계이다.가우스는 2차 상호성의 법칙과 그 보충이 일반 정수보다 "전체 복소수"에 대한 진술로 더 쉽게 표현되고 증명된다는 것을 발견했다.

각주에서 그는 아이젠슈타인 정수가 입방정수에서 결과를 진술하고 증명하는 자연영역이며 정수의 유사한 확장이 높은 상호법칙을 연구하는 데 적합한 영역임을 나타낸다.

이 논문은 가우스 정수를 소개하고 그것들이 독특한 인수분해 영역임을 증명했을 뿐만 아니라, 현재 대수적 수 이론에서 표준이 되고 있는 노름, 단위, 일차, 그리고 연관이라는 용어를 소개했다.

해결되지 않은 문제

복소 평면에서 작은 가우스 소수의 분포

해결되지 않은 문제의 대부분은 평면에서의 가우스 소수의 분포와 관련이 있다.

가우스의 원 문제는 가우스 정수를 다루지 않고 원점을 중심으로 한 주어진 반지름의 원 안에 있는 격자 점의 수를 요구한다.이는 주어진 값보다 작은 노름으로 가우스 정수의 수를 결정하는 것과 같습니다.

가우스 소수에 대한 추측과 해결되지 않은 문제도 있다.그 중 두 가지는 다음과 같습니다.

실수축과 허수축은 가우스 소수점 3, 7, 11, 19, ...의 무한 집합을 가지고 있습니다.그 밖에 가우스 소수가 무한히 많은 선이 있습니까?특히, 1 + ^[7] $ki 형태$ 의 가우스 소수가 무한히 많습니까?
가우스 소수를 디딤돌로 사용하여 균등하게 경계가 있는 스텝을 밟아 무한대로 걸어갈 수 있는가?이것은 가우스 해자 문제로 알려져 있는데, 1962년에 바질 고든에 의해 제기되었고 여전히 해결되지 않은 ^[8]^[9]채로 남아있다.

「」를 참조해 주세요.

대수적 정수
사이클로토믹장
아이젠슈타인 정수
아이젠슈타인 소수
후르비츠 사분원
두 제곱합에 대한 페르마의 정리의 증명
2차 상호성의 증명
이차 정수
갈로아 확장의 소수 이상 분할은 가우스 정수의 소수 이상 구조를 설명한다.
가우스 정수 분해표

메모들

^ ^a ^b 프롤리 (1976년, 페이지 286년)
^ 프롤리 (1976년, 페이지 289년)
^ 프롤리 (1976년, 페이지 288년)
^ 프레일리 (1976년, 페이지 287년)
^ 가우스(1831, 페이지 546) harvts 오류: 대상 없음: CITREFGauss1831(도움말)
^ 클라이너(1998)
^ 리벤보임, 치III.4.D 제6장2장 6절IV(Hardy & Littlewood의 추측 E 및 F)
^ Gethner, Ellen; Wagon, Stan; Wick, Brian (1998). "A stroll through the Gaussian primes". The American Mathematical Monthly. 105 (4): 327–337. doi:10.2307/2589708. JSTOR 2589708. MR 1614871. Zbl 0946.11002.
^ Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. pp. 55–57. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

레퍼런스

C. F. 가우스 (1831) "Theoria residuorum biquadraticorum. 코멘트 세쿤다." 통신. Soc. Reg. Sci. 괴팅겐 7: 89-148; 베르케, 게오르크 올름스 베를라그, 힐데스하임, 1973, 93-148페이지.이 문서의 독일어 번역본은 inH에서 온라인으로 구할 수 있습니다.매서(ed.) : 카를 프리드리히 가우스의 산술적 운터수춘겐 위베르 회어 산술적.스프링거, 1889년 베를린, 534쪽.
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Kleiner, Israel (1998). "From Numbers to Rings: The Early History of Ring Theory". Elem. Math. 53 (1): 18–35. doi:10.1007/s000170050029. Zbl 0908.16001.
Ribenboim, Paulo (1996). The New Book of Prime Number Records (3rd ed.). New York: Springer. ISBN 0-387-94457-5. Zbl 0856.11001.
Henry G. Baker (1993). "Complex Gaussian Integers for "Gaussian Graphics"". ACM SIGPLAN Notices. 28 (11): 22–27. doi:10.1145/165564.165571. S2CID 8083226.

외부 링크

문제해결에 있어서 2차 확장과 가우스 정수에 관한 IMO 요약문
키스 콘래드, 가우스 정수.

[Fraleigh_1976_286-1] 프롤리 (1976년, 페이지 286년)

[2] 프롤리 (1976년, 페이지 289년)

[3] 프롤리 (1976년, 페이지 288년)

[4] 프레일리 (1976년, 페이지 287년)

[5] 가우스(1831, 페이지 546) harvts 오류: 대상 없음: CITREFGauss1831(도움말)

[6] 클라이너(1998)

[7] 리벤보임, 치III.4.D 제6장2장 6절IV(Hardy & Littlewood의 추측 E 및 F)

[8] Gethner, Ellen; Wagon, Stan; Wick, Brian (1998). "A stroll through the Gaussian primes". The American Mathematical Monthly. 105 (4): 327–337. doi:10.2307/2589708. JSTOR 2589708. MR 1614871. Zbl 0946.11002.

[9] Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. pp. 55–57. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

v t 소수 클래스
공식에 의한	페르마 ( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센 $(2 p$ - 1) $더블 2 p -1$ 메르센(2 - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로스( $k \cdot2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 초기( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스어 ( $4n$ + $1$ ) 피어폰트( $2 m \cdot3 n +1$ ) 쿼탄( $x 4$ + $y 4$ ) 솔리나(2 ± $2 m$ ± $1 n$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) 우돌( $n \cdot2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3$ - $y 3)/(x$ - $y$ ) 레이랜드 ( $x y$ + $y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) 윌리엄스(( $b-1)\cdotb-1 n$ ) 밀스( $A 3 n)$
정수순서별	피보나치 루카스 펠 뉴먼 생크스 윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
속성별	비페리히(페어) 벽-태양-태양 볼스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 규칙적인. 강한. 스턴 슈퍼싱귤러(엘리전트 곡선) 초대칭(문신 이론) 좋아요. 잘 하는 군요 힉스 고공역성
베이스 의존	회문 에미르프 유닛 $(10 n$ - $1)/9$ 치환 가능 원형 잘라낼 수 있다 최소의 연약한 원시 전체 파충류 독특한 행복해 자신 스마란다슈웰린 스트로보그라마틱 이면체 테트라디크
패턴	트윈 ( $p, p$ + $2$ ) 쌍방향 체인( $n \pm 1$ , $2n \pm 1$ , $4n \pm 1$ , $\dots)$ 삼중항( $p, p$ + 2 $또는$ p + $4,$ p + $6$ ) 4중항( $p, p$ + 2 $, p$ + $6,$ p + $8$ ) k태플 사촌 ( $p, p$ + $4$ ) 섹시 ( $p, p$ + $6$ ) 첸 Sophie Germain / Safe ( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p \pm 1$ , $4p \pm 3$ , $8p$ $\pm 7$ , $...)$ 산술 수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0, 1, 2, 3$ , $...)$ 밸런스( $연속$ p - $n,$ $p, p$ + $n$ )
크기별	메가(1,000,000자리 이상) 알려진 최대 크기
복소수	아이젠슈타인 소수 가우스 프라임
합성수	의사 시간 카탈로니아어 타원형 오일러 오일러-야코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머-루카스 강한. 카마이클 수 거의 프라임 세미프라임 인터프라임 유해.
관련 토픽	개연소수 산업용 프라임 부정한 소수 소수 공식 프라임 갭
처음 60개의 소수점	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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