오일러의 힘의 합계 추측

오일러의 추측은 페르마의 마지막 정리(Last Organism)와 관련된 수학에서 반증된 추측이다.1769년 레온하르트 오일러에 의해 제안되었다.그것은 1보다 큰 모든 $정수$ n과 $k$ 에 대해, 양의 정수의 $n$ 많은 k번째 힘의 합이 그 자체로 k번째 $힘$ 이라면 $n$ 은 k:보다 크거나 같다고 명시한다.

k1 + k2 + ...

+

kn

=

b k

⇒

n

≥ k

이 추측은 페르마의 마지막 정리를 일반화하려는 시도를 나타내며, 특별한 경우 $n$ = $2$ : $k1$ + $a2$ = $b k$ , 그 $다음$ 2 $k$ k이다.

사례 $k$ = $3$ (3권력에 대한 페르마의 마지막 정리에서 따온)에 대한 추측이 들어 있기는 하지만, $그것$ 은k = $4$ 와k = $5$ 에 대한 반증이었다.추측이 실패했는지 아니면 어떤 값 $k$ ≥ $6$ 을 지탱하고 있는지 알 수 없다.

배경

오일러는 4강 합계가 포함된 59⁴ + 158⁴ = 133⁴ + 134의⁴ 동등성을 알고 있었다. 그러나 방정식의 한쪽 면에는 항이 격리되어 있지 않기 때문에 이것은 백범례가 아니다.그는 또한 플라톤의 숫자³ 3 + 4³ + 5 = 6³³ 또는 택시 번호 1729에서와 같이 네 개의 큐브 문제에 대한 완전한 해결책을 제공했다.^[1]^[2]방정식의 일반적인 해법

x_{1}^{3}+x_{2}}^{3}=x_{3}^{3}+x_{4}^{3}

이다

x_{1}=1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2}),\cHB x_{2}=(a+3b)(a^{2}+3b^{2}-1}-1

x_{3}=(a+3b)-(a^{2}+3b^{2}^{2},\cHB_{4}=(a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b)}}

여기서 $a$ 와 $b$ 는 정수다.

백작샘플

오일러의 추측은 1966년 L. J. 랜더와 T. R. 파킨이 CDC 6600에 대한 직접 컴퓨터 검색을 통해 $k$ = $5$ 에 대한 백례를 찾아냈을 때 반증되었다.^[3]이것은 단 두 문장으로 구성된 논문에서 발표되었다.^[3]총 3개의 원시(즉, 총합이 모두 공통 인자를 가지고 있지 않은 경우) 대계수(countrexample:

275

+

845

+

1105

+

1335

=

1445

(Lander & Parkin, 1966)

(-220) 5

+

50275

+

62375

+

140685

=

141325

(Scher & Seidl, 1996),

555

+

31835

+

289695

+

852825

=

853595

(F례, 2004)

1988년 노암 엘키스는 $k$ = $4$ 케이스에 대해 무한히 많은 수의 백샘플을 구성하는 방법을 발표하였다.^[4]그의 가장 작은 샘플은

26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734

.

엘키스의 해결책의 특별한 경우는 아이덴티티로^[5]^[6] 축소할 수 있다.

(85 v 2 + 484 v - 313) 4 + (68 v 2 - 586 v + 10) 4 + (2 u) 4 = (357 v 2 - 204 v + 363) 4

어디에

u 2 = 22030 + 28849 v - 56158 v 2 + 36941 v 3 - 31790 v 4

.

v1에서 합리적인 점과 이것은 타원 곡선)−.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-pars.Er-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}31/467.이 최초의 이성적인 관점에서, 사람들은 다른 사람들의 무한한 컬렉션을 계산할 수 있다. $v$ 를₁ 아이덴티티로 대체하고 공통인자를 제거하면 위에 인용한 수치적 예가 된다.

1988년에 로저 프례는 가능한 가장 작은 백범 샘플을 발견했다.

958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814

Elkies가 제안한 기법을 사용한 직접 컴퓨터 검색에 $의한$ k = $4$ 의 경우.이 솔루션은 변수 값이 100만 미만인 유일한 솔루션이다.^[7]

일반화

플라톤의 숫자에 대한 하나의 해석, 3 3 + 4³ + 5³ = 6³

1967년 L. J. 랜더, T. R. 파킨, 존 셀프리지 등은 만약 그렇다면 이렇게 추측했다^[8].

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}

=

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}

=

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}

=

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}

{\

\sum

_{i=1}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}b_{j}^{j

}^{k

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}

$여기$ 서, $b i j$ $b$ 는 1 $i$ i $n$ $n$ 과 1 $j$ j $m$ m, 그 다음 $m$ + n ≥ $k$ 에 대한 양의 정수다.특별한 $경우$ m = $1$ 에서는 다음과 같이 추측한다.

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}}}

(위의 조건에 따라) 그 다음 $n -$ k - $1$ 이다.

그 특별한 경우는 완벽한 힘의 분열을 소수의 권력자에게 주는 문제로 묘사될 수 있다. $k$ = 4, $5, 7, 8$ 및 $n$ = $k$ 또는 $k$ - $1$ 의 경우 알려진 해결책이 많다.이들 중 일부는 아래에 열거되어 있다.2002년 현재 최종 기간이 $k=6$ ≤ $k=6$ $k=6$ = 6 $k=6$ 에 대한 해결책은 없다.^[9]

자세한 내용은 OEIS: A347773을 참조하십시오.

$k = 3$

3³ + 4³ + 5³ = 6³(플라토 번호 216)

라마누잔 공식의 a = 1, b = 0인 경우다.

{\displaystyle (3a^{2}+5ab-5b^{2})^{3}+(4a^{2}-4ab+6b^{2}^{3}^{3}^{3}}^{3}}^{3}=(6a^{2}-4ab+4b^{2}}}}}}^{3}}}}}}}}}}}.

^[10]

세 큐브의 합으로 큐브는 또한 다음과 같이 파라미터화할 수 있다.

a^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}=b^{3}^{3}^{3}{3}+a^{3}(a^{3}-2b^{3})^{3}+b^{3}{3}}}}}{3}}{3}}}}}:{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

또는 로서

a^{3}(a^{3}+2b^{3}^{3})^{3}^{3}^{3}^{3}{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}{3}(a^{3}+b^{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}^{3}}}}}}}}}}}}}}}^{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

^[10]

숫자 2 100 000은³ 9개의 다른 방법으로 세 큐브의 합으로 표현할 수 있다.^[10]

$k = 4$

958004

+

2175194

+

4145604

=

4224814

(R).1988년)^[4]

304

+

1204

+

2724

+

3154

=

3534

(R. Norrie, 1911)^[8]

이것은 R에 의한 문제에 대한 가장 작은 해결책이다.노리.

$k = 5$

275

+

845

+

1105

+

1335

=

1445

(Lander & Parkin, 1966)^[11]^[12]^[13]

195

+

435

+

465

+

475

+

675

=

725

(Lander, Parkin, Selfridge, 최소값,^[8] 1967)

215

+

235

+

375

+

795

+

845

=

945

(Lander, Parkin, Selfridge, 두 번째로 작은,^[8] 1967)

75

+

435

+

575

+

805

+

1005

=

1075

(Sastry, 1934, 세 번째 최소값)^[8]

$k = 7$

1277

+

2587

+

2667

+

4137

+

4307

+

4397

+

5257

=

5687

(M. Dodrill, 1999)^[14]

$k = 8$

908

+

2238

+

4788

+

5248

+

7488

+

10888

+

11908

+

13248

=

14098

(S. Chase, 2000)^[15]

참고 항목

참조

^ Dunham, William, ed. (2007). The Genius of Euler: Reflections on His Life and Work. The MAA. p. 220. ISBN 978-0-88385-558-4.
^ Titus, III, Piezas (2005). "Euler's Extended Conjecture".
^ ^a ^b Lander, L. J.; Parkin, T. R. (1966). "Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers". Bull. Amer. Math. Soc. 72 (6): 1079. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3.
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외부 링크

티토 피에자스 3세, 대수적 정체성 모음집
Jaroslaw Wroblewski, Equal Sums of Like Powerski
에드 페그 주니어, 수학 게임, 파워 합계
James Waldby, A Table of Fifth Powers (2009)
R. 게르비츠, J.C.Meyrignac, U. Beckert, 분산 Boinc 프로젝트에서 발견된 a,b,c,d,e,f,g <250000에 대한 디오판타인 방정식의⁶ 모든 솔루션 a + b⁶⁶ = c + d⁶⁶ + e + f⁶ + g⁶
EulerNet: 최소 동종 전력 계산
Weisstein, Eric W. "Euler's Sum of Powers Conjecture". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Euler Quartic Conjecture". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Diophantine Equation--4th Powers". MathWorld.
도서관에서 오일러의 추측.thinkquest.org
수학에서의 오일러의 추측에 대한 간단한 설명은 여러분에게 좋다!

[1] Dunham, William, ed. (2007). The Genius of Euler: Reflections on His Life and Work. The MAA. p. 220. ISBN 978-0-88385-558-4.

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[5] "Elkies' a⁴+b⁴+c⁴ = d⁴".

[6] Piezas III, Tito (2010). "Sums of Three Fourth Powers (Part 1)". A Collection of Algebraic Identities. Retrieved April 11, 2022.

[7] Frye, Roger E. (1988), "Finding 95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴ on the Connection Machine", Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications, pp. 106–116, doi:10.1109/SUPERC.1988.74138, S2CID 58501120

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[9] 조반니 레스타와 장 샤를스 메이리낙(2002)이다.디오판틴 방정식의 최소 해결책 a $a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}$ + $a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}$ $a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}$ + $a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}$ $a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}$ + $a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}$ $a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}$ = x $a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}$ + $a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}$ $a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}$ ${\$ a $^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6$ }+d^{6 $}+e^{$ 6}+e^{ $6$ }{6] $}}=x^{6}+y^{6$ 연산수학, v. 72, 페이지 1054(자세한 작업 섹션 참조)

[Weisstein-10] "MathWorld : Diophantine Equation--3rd Powers".

[mathologer-11] Burkard Polster (March 24, 2018). "Euler's and Fermat's last theorems, the Simpsons and CDC6600". YouTube (video). Archived from the original on 2021-12-11. Retrieved 2018-03-24.

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v t 레온하르트 오일러
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