베스 수

수학에서, 특히 집합 이론에서 베스 번호는 무한 추기경 숫자의 특정한 순서인데, 관례적으로 $\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$ $\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$ $\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$ $\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$ , $\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$ $\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$ , $\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$ 3 $\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$ , $\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$ … {\ $displaystyle \beth _{0}, \$ $beth$ $_{1$ }, $\beth$ \{2 $}, \3}, 여기$ 서 $\dots$ $\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$ $}$ 는 $\beth$ 번째 히브리 문자다 $\beth$ . 베스 번호는 알레프 숫자( $\aleph _{0},\ \aleph _{1},\ \dots$ $\aleph _{0},\ \aleph _{1},\ \dots$ $\aleph _{0},\ \aleph _{1},\ \dots$ $\aleph _{0},\ \aleph _{1},\ \dots$ , $\aleph _{0},\ \aleph _{1},\ \dots$ … ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\dots })$ 와 관련이 있지만, 일반화된 연속체 가설이 사실이 아닌 한 $\beth$ ${\displaysty \aleph }$ 에 의해 색인화되지 않은 숫자들이 있다 $\beth$

정의

베스 수는 초지순 재귀에 의해 정의된다.

$\beth _{0}=\aleph _{0}$
$\beth _{\beth _{\beth _{\beth },$
$\displaystyle \beth _{\beth }=\sup\{\beth _{\beth }\beth }\property \beth <\buff$

여기서 $\alpha$ ${\displaystyle \alpha \$ alphada }은 $\alpha$ (는) 서수형이고 and $\dada$ 은(는) 한계 서수형이다 $\lambda$ .^[1]

추기경 $ℶ$ $\beth _{0}=\aleph _{0}$ $\beth _{0}=|\mathbb {N} |$ = $\beth _{0}=|\mathbb {N} |$ $\beth _{0}=\aleph _{0}$ 0 ${\$ $\$ $beth _$ ${$ $0}=\aleph _{$ $0}}}$ 은(는 $\mathbb {N}$ ) 자연수 $\beth _{0}=|\mathbb {N} |$ $N$ {\ $displaystyle$ \ $mathbbps$ { $}}$ 과(는 $)$ 와 같이 계산적으로 무한대의 카디널리티다 $\beth _{0}=\aleph _{0}$ $\beth _{0}=|\mathbb {N} |$

$\alpha$ $\alpha$ 을(를) 서수로 $\alpha$ $A_{\alpha }$ , $A_{\alpha }$ α $A_{\alpha }$ {\ $displaystyle A_{\alpha }}$ 을(를) 카디널리티 $\beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|$ = $\beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|$ $\beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|$ $displaystyle \beth _{\alpha }}}}$ 을(를)로 한 집합으로 $A_{\alpha }$ 한다 $\beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|$ 그런 다음 $,$

${\mathcal {P}}(A_{\alpha })$ ${\mathcal {P}}(A_{\alpha })$ ) ${\mathcal {P}(A_{\\alpha })$ 은 ${\mathcal {P}}(A_{\alpha })$ (는) $A_{\alpha }$ A α {\ $displaystyle$ $A_{\$ alpha $A_{\alpha }$ }}}}}} $A_{\alpha }$ 의 $전원$ 세트를 $의미$ 한다.
세트 $2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)$ $2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)$ α $2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)$ P $2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)$ $2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)$ 2 ) {\ $displaystyle$ 2 $^{A_{\alpha }}}}\subset {\mathcal{P}(A_{\alpha }}\times$ 2)는 $2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)$ $A_{\alpha }$ ${\$ 에서 {0,1}까지의 $A_{\alpha }$ 모든 함수 집합을 의미한다 $2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)$ .
추기경 $2^{\beth _{\alpha }}$ $2^{\beth _{\alpha }}$ ${\$ 은 $2^{\beth _{\alpha }}$ (는) 추기경 지수의 결과물이며,
$\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}= 2^{A_{\alpha }} = {\mathcal {P}}(A_{\alpha })$ is the cardinality of the power set of $A_{\alpha }$ .^[2]

이 정의에 비추어 볼 때

{\displaystyle \beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\beth \beth _\beth \

각각 의 주요성분이다.

\mathbb {N} ,\ {\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),\ {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),\ {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\ \dots .

따라서 두 번째 베스 번호 $\beth _{1}$ 1 ${\$ }가 $\beth _{1}$ c ${\$ {\ $mathfak{c$ 와 같도록 하고, 연속체의 카디널리티(실수 집합의 카디널리티),^[2] 세 번째 베스 번호 $\beth _{2}$ ${\$ \ $bet_{$ 2}}은 연속체의 $\beth _{2}$ 동력 집합의 카디널리티이다.

칸토르의 정리 때문에, 앞의 순서에 있는 각각의 집합은 그 앞의 정리보다 카디널리티가 엄격히 더 크다. 무한 한계 서수인 λ의 경우, 해당 베스 번호는 λ보다 엄격히 작은 모든 서수의 베스 숫자의 우월성으로 정의된다.

\displaystyle \beth _{\putda }=\sup\{\beth _{\beth }:\property \beth <\putda \}

폰 노이만 우주 $V_{\omega +\alpha }$ $V_{\omega +\alpha }$ + $V_{\omega +\alpha }$ ${\$ 은(는) $\beth _{\alpha }$ {\ $displaystyle \beth _$ {\alpha $}}}}$ 을 $V_{\omega +\alpha }$ (를) 가지고 있음을 보여줄 수도 있다 $\beth _{\alpha }$

알레프 수와의 관계

선택의 공리를 가정할 때, 무한한 추기경은 선형적으로 배열된다. 두 추기경은 비교할 수 없다. 따라서 정의상 $\aleph _{0}$ $\aleph _{0}$ ${\$ 과 $\aleph _{0}$ $\aleph _{1}$ $\aleph _{1}$ ${\$ 사이에 무한 추기경이 없기 때문에 다음과 같다 $\aleph _{1}$

\beth _{1}\geq \aleph _{1}.

이 인수를 반복하면(트랜스파이널 유도 참조) 모든 서수 $\alpha$ {α $α$ $\beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }$ α α $α$ α α α α α α $\beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }$ α \α $\displaystyle \alph _{\alpha$ $\alpha$ $}} \$ $displaysty \alpha$ }}이 $\beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }$ 발생한다 $\alpha$

연속 가설은 다음과 같다.

\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}.}

일반화된 연속체 가설은 이렇게 정의된 베스 수의 순서가 모든 서수 $\alpha$ = $\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }$ = $\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }$ ${\$ $\alpha }$ 에 $\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }$ 대한 알레프 수의 순서와 동일하다고 말한다 $\alpha$

특정 추기경

베스 너브

이 값은 $\aleph _{0}$ $\aleph _{0}$ {\ $displaystyle \aleph _{$ 0} $\aleph _{0}$ 또는 aleph null로 정의되므로 카디널리티 $\beth _{0}$ 0 $\beth _{0}$ {\ $displaystyle \beth _$ {0 $}$ 이 포함된 세트는 다음을 포함한다 $\beth _{0}$ .

자연수 N
이성적 숫자 Q
대수적 수
계산 가능한 숫자와 계산 가능한 집합
유한한 정수의 집합
유한한 여러 개의 정수 집합
한정된 정수 배열의 집합

베스원

카디널리티 $\beth _{1}$ $\beth _{1}$ ${\$ }가 포함된 세트 $\beth _{1}$ :

초월수
불합리한 수
실수 R
콤플렉스 숫자 C
부정할 수 없는 실수.
유클리드 공간 Rⁿ
자연수의 검정력 집합(자연수의 모든 부분 집합)
정수의 순서 집합(즉, 모든 함수 N → Z, 흔히^N Z로 표시됨)
실수의 순서 집합, R^N
R에서 R까지의 모든 실제 분석 기능의 집합
R에서 R까지의 모든 연속 기능의 집합
유한 부분 집합의 실수
C에서 C까지의 모든 분석함수의 집합(홀로모르픽 함수)

벳투

$\beth _{2}$ ${\$ beth 2)도 2^c(c의 힘에 대해 2).

카디널리티 $\beth _{2}$ $\beth _{2}$ ${\$ }가 포함된 세트 $\beth _{2}$ :

실제 번호 집합의 전원 집합이므로, 실제 라인의 하위 집합 수 또는 실제 번호 집합의 수입니다.
자연수 집합의 동력 집합의 동력 집합
R에서 R(R^R)까지의 모든 기능의 집합
R에서^m R까지의ⁿ 모든 기능의 집합
자연수 집합에서 그 자체로 모든 함수의 집합이 갖는 힘 집합이므로 자연수 집합의 순서 집합의 수입니다.
R, Q, N의 스톤-체크 콤팩트화
R의ⁿ 결정론적 프랙탈 집합

베스 오메가

${\$ omega $}}($ ()는 헤아릴 수 없는 가장 작은 강한 한계 추기경이다.

일반화

서수 α와 추기경 α에 대해 보다 일반적인 기호 $\beth _{\alpha }(\kappa )$ $\beth _{\alpha }(\kappa )$ $\beth _{\alpha }(\kappa )$ 이 $\beth _{\alpha }(\kappa )$ 가) 가끔 사용된다. 이 값은 다음과 같이 정의된다.

\beth _{0}(\kappa )=\kappa ,

\beth _{\beth _{\beth _{\beth _{\beth }},

\beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}

(

\beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}

)

\beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}

) =

\beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}

\beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}

\beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}

(

\beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}

) :

\beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}

<

\beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}

\beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}

{\displaystyle \beth

_{\bethda

}(\kappa )=\suppeta }{\beth _{\reason }}:\\

<a $\beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}$ \}}

da \}}.

그렇게

\displaystyle \beth _{\beth _}=\beth _{\beth }(\aleph _{0}).}

제르멜로-프렌켈 집합론(ZF)에서는 모든 추기경 κ과 μ에 대해 다음과 같은 서수 α가 있다.

\displaystyle \kappa \leq \beth _{\beth }(\mu).}

그리고 ZF에서는 모든 추기경 κ과 서수 α와 β에 대해 다음과 같이 한다.

\displaystyle \beth _{\beth _{\beth }}(\cappa )=\beth _{\beth +\beth }(\cappa).}

결과적으로, ZF에는 어떤 추기경 κ과 μ에 대해서도 선택의 공리가 있든 없든 간에 동등한 요소가 없다.

\displaystyle \beth _{\beth _{\beth _{\beth }(\mu )}

충분히 큰 모든 서수 β에 대한 홀드. 즉, 모든 서수 β α에 대해 동등성이 유지되는 서수 α가 있다.

이는 또한 (선택의 공리가 있든 없든) 요요소가 순수한 세트(변환적 폐쇄가 없는 세트)와 동일한 세트를 형성할 경우(선택의 공리가 있든 없든)와 함께 제로멜로-프렌켈 세트 이론에서도 적용된다. 만약 선택의 공리가 유지된다면, 모든 요소 집합은 순수한 집합과 동일하다.

보렐 결정성

보렐 결정성은 계수 가능한 지수의 모든 베스의 존재에 의해 암시된다.^[4]

참고 항목

참조

^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (3rd Millennium ed, rev. and expanded. Corrected 4th printing 2006 ed.). Springer. p. 55. ISBN 978-3-540-44085-7.
^ ^a ^b "beth numbers". planetmath.org. Retrieved 2020-09-05.
^ "A Generalization of the Hausdorff Dimension Theorem for Deterministic Fractals". mdpi.com. Retrieved 2021-07-04.
^ Leinster, Tom (23 July 2021). "Borel Determinacy Does Not Require Replacement". The n-Category Café. The University of Texas at Austin. Retrieved 25 August 2021.

참고 문헌 목록

T. E. Forster, Set Theory with a Universal set: Untyped Universe, 옥스포드 대학 출판부, 1995 — 베스 번호는 5페이지에 정의되어 있다.
Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Models and Ultraproducts: An Introduction (reprint of 1974 ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-44979-3. 베스 번호는 6페이지와 204-205페이지를 참조하십시오.
Roitman, Judith (2011). Introduction to Modern Set Theory. Virginia Commonwealth University. ISBN 978-0-9824062-4-3. 베스 번호는 109페이지를 참조하십시오.

[1] Jech, Thomas (2002). Set Theory (3rd Millennium ed, rev. and expanded. Corrected 4th printing 2006 ed.). Springer. p. 55. ISBN 978-3-540-44085-7.

[:1-2] "beth numbers". planetmath.org. Retrieved 2020-09-05.

[:3-3] "A Generalization of the Hausdorff Dimension Theorem for Deterministic Fractals". mdpi.com. Retrieved 2021-07-04.

[4] Leinster, Tom (23 July 2021). "Borel Determinacy Does Not Require Replacement". The n-Category Café. The University of Texas at Austin. Retrieved 25 August 2021.

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