바이어스, 주입 및 분사

	굴욕적인	비굴절의
주입성의	과민성의	주입식 전용의
비인격의 주입성의	허탈적	일반적

수학에서 주사, 거부, 반대는 논쟁(영역에서 입력된 표현)과 이미지(코도메인의 출력 표현)가 서로 연관되거나 매핑되는 방식으로 구별되는 기능의 종류다.

함수는 그것의 영역에서 그것의 코도메인의 요소들로 요소들을 매핑한다.${\displaystyle f}$ :${\displaystyle }$X → ${\displaystyle Y}${\$displaystyle$f\$colon$ X$\to$ Y$}$함수 지정:

• 코도메인의 각 요소가 도메인의 최대 한 요소에 의해 매핑되는 경우 함수는 주입형 또는 일대일이며, 도메인 맵의 구별되는 요소가 코도메인의 구별되는 요소에 매핑되는 경우 동등하게 기능한다.주사기능은 주사기능이라고도 한다.^[1]논리적으로:

$\displaystyle \f,x'\in X,f(x)=f(x')\implies x=x',}$

또는 동등하게(논리적 전치 사용)

$\displaystyle \forall x,x'\in X,x\neq x'\implies f(x)\neq f(x')}$^[2][3][4]

• 함수는 코도메인의 각 요소가 도메인의 최소 한 요소에 의해 매핑되는 경우, 또는 위에 있다.즉, 함수의 이미지와 코도메인이 동일하다.허탈함수는 추론이다.^[1]논리적으로:

${\displaystyle \forall y\in Y,\exists x\in X{\text{}}.}$^[2][3][4]

• 코도메인의 각 요소가 도메인의 정확히 한 요소에 의해 매핑되는 경우 함수는 비주사적이다(일대일 및 이상, 일대일 대응 또는 반전).즉, 그 기능은 주입적이면서도 허탈적이다.생체적 함수는 또한 생체적 함수로 불리기도 한다.^[1][2][3][4]즉, 주입과 허탈의 정의를 결합하면

${\displaystyle \forall y\in Y,\exists!x\in X{\text{{}y=f(x),}$

여기서 ${\displaystyle \exists !}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \exists!x}$은(는) "정확히 하나의 x가 존재함"을 의미한다$$.

• 어떤 경우에도(어떤 기능에 대해서도) 다음은 다음을 지탱한다.

${\displaystyle \forall x\in X,\exists !y\in Y{\text{}}}}}}Y=f(x).}$

주입 함수는 굴절(contomain의 모든 요소가 인수와 연관되어 있지 않을 수 있음)이 아니며, 굴절 함수는 주입될 필요가 없다(일부 이미지는 둘 이상의 인수와 연관되어 있을 수 있음).가능한 4가지 주입 형상과 돌출 형상의 조합은 인접한 다이어그램에 설명되어 있다.

주사

함수는 코도메인의 가능한 각 요소가 최대 하나의 인수에 의해 매핑되는 경우 주입식(일 대 일)이다.동등하게, 함수는 구별되는 인수를 구별되는 이미지에 매핑하는 경우 주입형이다.주입 기능은 주입이다.^[1]형식적 정의는 다음과 같다.

$함수{\displaystyle }$f :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}${\$displaystyle f\colon$ X$\to$ Y$}$에 대해 모두 x${\displaystyle }$, x , ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ X ${\displaystyle$ $,x'\in X}$, $f{\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ = ${\displaystyle {}^{}\prime .}$ ${\displaysty f(x)=f(x')$는 주입식이다$$.$\오른쪽 화살표 x=x'$$}$^[2][3][4]

다음은 주사제와 관련된 몇 가지 사실들이다.

• A function ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ is injective if and only if ${\displaystyle X}$ is empty or ${\displaystyle f}$ is left-invertible; that is, there is a function ${\displaystyle g\colon f(X)\to X}$ such that ${\displaystyle g\circ f=}$ identity function on X.여기서 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle f(X)}$는 $f{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ f$}$의 $이미지$ 입니다$.$
• 모든 기능은 그것의 코도메인이 그것의 이미지로 제한될 때 굴절적이기 때문에, 모든 주입은 그것의 이미지에 대한 편견을 유도한다.더 정확히 말하면, ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $주입{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f\colon X\to Y}$은(는) 바이어싱으로 간주될 수 있으며$$, 그 다음에 다음과 같이 포함시킬 수 있다.Let ${\displaystyle f_{R}\colon X\rightarrow f(X)}$ be ${\displaystyle f}$ with codomain restricted to its image, and let ${\displaystyle i\colon f(X)\to X}$ be the inclusion map from ${\displaystyle f(X)}$ into ${\displaystyle Y}$. Then ${\display$$스타일 f=i\circule f_{R$ 아래의 거절에 대해 이중 인자화가 주어진다.
• 두 개의 주사제의 구성은 다시 주사법이지만 g${\displaystyle }g{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\circule f}$이(가) 주사법일$$ 경우$$, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$이(그림 참조)로만 결론을 내릴 수 있다.
• 모든 임베딩은 주입식이야

굴절

함수는 코도메인의 각 요소가 도메인의 적어도 하나의 요소에 의해 매핑된 경우 또는 위에 있다.즉, 코도메인의 각 요소에는 비어 있지 않은 프리이미지가 있다.동등하게, 함수의 이미지가 코도메인과 같을 경우 함수는 추상적이다.허탈함수는 추론이다.^[1]형식적 정의는 다음과 같다.

$함수{\displaystyle }$${\displaystyle }$f :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}${\$displaystyle$f\$colon$X\$to$ Y$}$은(는) 모든 y ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in$ $Y$$\}$에 $대해{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle f(x)=y$와 같은$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\in$ X$}$이(는)가 있다$.$$}$^[2][3][4]

다음은 거절과 관련된 몇 가지 사실들이다.

• A function ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ is surjective if and only if it is right-invertible, that is, if and only if there is a function ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ such that ${\displaystyle f\circ g=}$ identity function on ${\displaystyle Y}$. (This statement is equivalent to the axiom 선택적)
• 주어진 고정된 이미지에 매핑되는 모든 주장을 접음으로써, 모든 추론은 그것의 영역의 지수의 집합에서 그것의 코도메인으로의 편견을 유도한다.보다 정확히 말하면, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 이미지 요소의 f 아래에 있는 사전 $이미지$는 f ${\displaystyle f}$의 도메인에서 동등성 관계의 동등성 등급이며$,$ x와 y는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 따라 동일한 이미지와만 동일하다$.$ 이러한 동등성 중 하나의 모든 요소로서ce 클래스는 코도메인의 동일한 요소에 $대해$ f ${\displaystyle f}$에 의해 매핑되며, 이는 이 동등성 관계에 의해 설정된 몫(균등성 클래스의 집합)과 f ${\displaystyle f}$의 이미지(f {\$displaystyf$ f$}$이($f{\displaystyle }$ ${\$displaysty f}이$$ 서지컬러일 때 코드) 사이의 편차를 유도한다.더욱이 f는 f에서 몫 집합까지의 표준 투영과 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$의 몫 집합과 코도메인 사이의 편향의 구성이다$.$
• 두 번의 거절의 구성은 다시 ${\displaystyle \mathrm{추론}}$이지만, $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ f ${\displaystyle g\circule$ f$}$이(가) 추론적인 경우$$, $g{\displaystyle }${\$displaystyle g}$은(그림 참조)로만$$ 결론을 내릴 수 있다.

바이어싱

함수는 주입식 및 주입식 둘 다일 경우 비주사적이다.편향함수는 편향함수 또는 일대일 대응이라고도 한다.함수는 가능한 모든 이미지가 정확히 하나의 인수에 의해 매핑되는 경우에만 비주사적이다.^[1]이 동등한 조건은 공식적으로 다음과 같이 표현된다.

$함수{\displaystyle }$f :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}${\$displaystyle$ f$\colon$X\$to$ Y$}$는 모든 ${\displaystyle y}$ bi ${\displaystyle y\in$ Y$\}$에 $대해{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ) =${\displaystyle y}$ .${\displaystyle f(x)=y$와 같은$$ 고유한 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystystyle x\in$ X$}$가 있다$.$$}$^[2][3][4]

다음은 반대와 관련된 몇 가지 사실이다.

• A function ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ is bijective if and only if it is invertible, that is, there is a function ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ such that ${\displaystyle g\circ f=}$ identity function on X and ${\displaystyle f\circ g=}$ identity function on ${\displaystyle Y$$\}\}.$ 각 이미지를 고유한 프리이미지에 매핑하는 기능이다.
• 두 번의 거절의 구성은 다시 한 번 ${\displaystyle \mathrm{편향}}$이지만, $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ f ${\displaystyle$ g$\circuff$ f$}$이(가) 편향된 경우, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(오른쪽 그림 참조) 주입과 추론에 대한$$ $위{\displaystyle }$ 의견 참조만 결론을 내릴 수 있다.
• 집합에서 그 자체로의 반대는 구성상의 그룹을 형성하는데, 대칭집단이라고 불린다.

카디널리티

한 사람이 두 세트가 "원소 수가 같다"는 것이 무엇을 의미하는지 정의하고 싶다고 가정해보자.한 가지 방법은 한 세트의 모든 요소를 다른 세트의 요소와 쌍을 이룰 수 있는 경우에만 각 요소가 정확히 한 요소와 쌍을 이루도록 두 세트가 "원소 수가 같다"고 말하는 것이다.따라서 두 세트를 정의하여 "원소 수가 같다"고 할 수 있다. 즉, 이들 사이에 편차가 있는 경우.이 경우 두 세트는 카디널리티가 동일하다고 한다.

$마찬가지$로 X ${\displaystyle$ $X$$}$에서 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $Y$$}$까지의 주입이 있는 경우$,$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$ $세트$에서 "요소 수보다 작거나 같은 수의"를 설정했다고 말할 수 있다$.$ $또한{\displaystyle }$ X ${\$$displaystyle$ X$}$ 세트에서 "$$$요소{\displaystyle }$ 수보다 적은 수의"라고 말할 수 있다.$Ystyle Y$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$까지 주사가 있지만 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$과 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$ 사이에 주사가 없는 경우$.$

예

각 함수의 영역과 코도메인을 지정하는 것이 중요한데, 이것들을 변경함으로써 동일해 보이는 함수는 서로 다른 특성을 가질 수 있기 때문이다.

주입성 및 과부하성(비주사성)

비어 있지 않은 모든 집합 X에 대한 ID 함수 ID_X, 즉 $R{\displaystyle \mathbf{}}$→ ${\displaystyle R}$ :${\displaystyle }$x${\displaystyle }$↦ ${\displaystyle x}$ .${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R}$ :x$\mapsto x.}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto x^{2}}$, and thus also its inverse ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto {\sqrt {x}}.$$}$

The exponential function ${\displaystyle \exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}}$ (that is, the exponential function with its codomain restricted to its image), and thus also its inverse the natural logarithm ${\displaystyle \ln \c$$olon \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}.$$}$

주입성 및 비주사성

지수함수 ${\displaystyle \exp }$:${\displaystyle R\mathbf{}}$ → ${\displaystyle R\mathbf{}}$: ${\displaystyle x{}^{}}$ e${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \matrmatrm {e} ^{x}.$$}$

비주사적 및 허탈적

${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x.}$

${\displaystyle \mathbf {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x).}$

비주사적 및 비주사적

${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \sin(x).}$

특성.

• 모든 함수 f에 대해 도메인의 부분 집합 X와 코도메인의 부분 집합 Y, X ⊂ f⁻¹(x) 및 f(Y⁻¹) ⊂ Y. f가 주입형이면 X = f⁻¹(f(X), f가 굴절형이면 f(f⁻¹)(Y) = Y.
• 모든 함수 h : X → Y에 대해, surjection H : X → h(X) : x → h(x) 및 injection I : h(X) → Y : y → y를 정의할 수 있다.$그{\displaystyle }$ 뒤에${\displaystyle }$h = ${\displaystyle I}${$$H {\$displaystyle h=I$\circle $H$ 이 분해는 이소모르피즘에 버금가는 독특한 것이다.

범주론

집합의 범주에서 주사, 거부, 이항은 각각 단동형, 경동형, 이항형성에 정확히 대응한다.^[5]

역사

주입식-굴절-굴절적-굴절적 용어(명사와 형용사 모두)는 프랑스 부르바키 집단이 널리 채택되기 전에 원래부터 만들어 낸 말이다.^[6]

참고 항목

• 수평선 시험
• 주입 모듈
• 순열

참조

외부 링크

• 수학의 일부 단어의 초기 사용: 주입, 투약 및 투약에는 주입의 역사와 관련 용어가 있다.