이항 공정

이항 과정은 확률 이론에서 특별한 점 과정이다.

정의

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$을(를) 확률 분포로 하고 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$을(를) 고정 자연수로 한다.Let ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ be i.i.d. random variables with distribution ${\displaystyle P}$, so ${\displaystyle X_{i}\sim P}$ for all ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$.

그러면 n과 P에 기초한 이항 공정이 랜덤 측정이다.

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i},}$

여기서 i( )={, i , 그렇지 . $displaystyle \delta _{X_{i}(A)}={\begin{case}1,&\text{{{{{}}={\ipext${},\$in,\x_{i}\in,\notherwise}.$$\end{case}}}$

특성.

이름

이항 공정의 이름은 모든 측정 가능한 집합 $A$에 대해 임의 변수 ${\displaystyle \xi }$($$A )${\displaystyle \xi (A)}$이(가$)$ 매개 $변수{\displaystyle }$ P${\displaystyle }$( ${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle P(A)}$ 및$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystystyle n$이항 분포를 따른다는$$ 사실에서 유래되었다.

${\displaystyle \xi(A)\sim \operatorname {Bin}(n,P(A))}$

라플라스 변환기

이항 공정의 Laplace 변환은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal{L}_{P,n}(f)=\왼쪽[\int \exp(-f(x)]\mathrm {P}(dx)\right]^{n}}}}$

모든 양의 측정 가능한 함수에 $대해{\displaystyle }$ f ${\displaystyle$ f$\}.$

강도 측정

$강도{\displaystyle }$ 측정값 E ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$ξ {\$displaystyle \operatorname {E} \xi$ }은$($는) 이항 프로세스$display$ {\displaystyle $\xi }$에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle \operatorname {E} \xi =nP.}$

일반화

이항 공정의 일반화는 혼합 이항 공정이다.이러한 점 공정에서 점 수는 이항 공정과 같이 결정론적이지는 않지만 랜덤 $변수{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$에 의해 결정된다$.$ 따라서 $K{\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K=n}$에 조건화된 혼합 이항 공정은$$ n ${\displaystyle n}$ 및$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystystyle P}$에 기초한 이항 공정이다$.$

문학

• Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Switzerland: Springer. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.