혼합 이항 공정

혼합 이항 과정은 확률 이론에서 특별한 점 과정이다.그것들은 자연스럽게 포아송 공정의 경계 구간 제한에서 발생한다.

정의

Let ${\displaystyle P}$ be a probability distribution and let ${\displaystyle X_{i},X_{2},\dots }$ be i.i.d. random variables with distribution ${\displaystyle P}$. Let ${\displaystyle K}$ be a random variable taking a.s. (almost surely) values in ${\displaystyle \math$$bb{\displaystyle }$${N} =\{0,1,2,\dots$ $\backslash \}\}\}\}.$${\displaystyle }$K, ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle ,}$ … ${\displaystyle K,X_{1},X_{2},\dots }}}}$이(가) 독립적이라고 가정하고 ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ x$${\$displaystyle$$$\$delta$$_${x$}$에 Dirac 측정값을 표시하도록$$ 한다$.$

그런 다음 무작위 측정값 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$이(가) 다음과 같은 표현을 가진 경우 혼합 이항 공정이라고 부른다$$.

${\displaystyle \xi =\sum _{i=0}^{K}\delta _{X_{i}}}}$

이는 조건부로${\displaystyle }${${\displaystyle K}$= ${\displaystyle n}$} ${\$$displaystyle$ $\xi }$$${\$displaystyle$$\{$$K=$$n\}}}$에 $기초$한 이항 프로세스와 동일하다$.$^[1]

특성.

라플라스 변환

$K{\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K=n}$을(를) 조건으로$,$ 혼합 이항 프로세스는 Laplace 변환을 가진다.

${\daystyle {\mathcal {L}(f)=\왼쪽(\int \exp(-f)(x)\;P(\mathrm {d} x)\오른쪽)^{n}}}$

모든 양의 측정 가능한 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$에 대해$.$

경계 집합으로 제한

포인트 프로세스 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$ 및$$ 경계 측정 가능한 $세트{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$에 대해 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$에서 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$의 제한을 다음과$$ 같이 정의한다$$.

${\displaystyle {\xi }_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ (${\displaystyle \cdot }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle (B}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle \xi _{B}(\cdot )=\xi (B\cap \cdot$ $)\}.$

혼합 이항 공정은 $\xi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ $\xi$$}$이(가) P ${\displaystyle P}$ 및 $K$ ${\displaystyle K$$}$에 기초한 혼합 ${\displaystyle {이항}_{}}$ 공정이라는 점에서$$ 제한 하에서 안정적이다$.$

${\displaystyle P_{B}(\cdot )={\frac {P(B\cap \cdot )}{P(B)}}}}$

임의 변수 $K{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~${\$을$($를 참조하십시오.

또한 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$이(가) 포아송 공정 또는 혼합 포아송 공정인 경우, $\xi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$은 혼합 이항 공정이다$$.^[2]

예

포아송형 무작위 측정은 혼합 이항 공정의 예로서, 하위 공간에 대한 제한에 따라 닫히는 세 가지 무작위 계산 측정값의 집합이다.이 분포는 정규 비 음의 전력 시리즈 분포에서 이 속성을 소유하며 포아송 분포, 음의 이항 분포 및 이항 분포를 포함하는 유일한 분포다.포아송형(PT) 랜덤 측정에는 포아송 랜덤 측정, 음이항 랜덤 측정, 이항 랜덤 측정 등이 포함된다.^[3]

참조