브리안콘 정리

기하학에서 브리안콘의 정리는 원뿔 부분을 중심으로 육각형을 둘렀을 때 그 주요 대각선(정점 반대쪽을 연결하는 대각선)이 단일 지점에서 만난다는 것을 명시하는 정리다.찰스 줄리앙 브리안콘(1783–1864)의 이름을 따서 지은 것이다.

형식명세서

P ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 3 ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 3 P ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 5 ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 6 ${\$1}P_${2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}}}}}}}}$을 원뿔 섹션의 6개의 접선 라인으로 형성되도록$$ 한다.Then lines ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{4}}},\;{\overline {P_{2}P_{5}}},\;{\overline {P_{3}P_{6}}}}$ (extended diagonals each connecting opposite vertices) intersect at a single point ${\displaystyle B}$, the Brianchon point.^{[1]: p. 218 [2]}

파스칼의 정리와의 연결

이 정리의 극 역수적이고 투영적인 이중은 파스칼의 정리를 준다.

퇴보

파스칼의 정리에 대해서는 브리안콘의 정리에 대해서도 퇴행성이 존재한다: 이웃한 접선 두 개를 일치시키자.그들의 교차점은 원뿔의 지점이 된다.다이어그램에서 세 쌍의 인접한 접선이 일치한다.이 절차로 삼각형의 인엘립에 대한 진술이 나온다.From a projective point of view the two triangles ${\displaystyle P_{1}P_{3}P_{5}}$ and ${\displaystyle P_{2}P_{4}P_{6}}$ lie perspectively with center ${\displaystyle B}$. That means there exists a central collineation, which maps the one onto the other triangle.그러나 특별한 경우에 한해서만 이 콜라인은 아핀 스케일링이다.예를 들어, Steiner inellipse의 경우, 여기서 Brianchon 지점은 중심점이다.

아핀 평면에서

브리안콘의 정리는 아핀면과 실제 투영면 모두에서 사실이다.그러나, 어핀 평면에서 그것의 진술은 어떤 의미에서는 투영 평면에서보다 덜 유익하고 더 복잡하다.예를 들어 포물선에 대한 다섯 개의 접선을 생각해 보십시오.이것들은 여섯 번째 면이 무한의 선인 육각형의 면으로 간주될 수 있지만, 아핀 평면에 무한에는 선이 없다.두 경우, (존재하지 않는) 꼭지점에서 반대쪽 꼭지점까지의 선은 5개의 접선 선 중 하나에 평행한 선일 것이다.그러므로 그러한 상황에서 부속 평면에 대해서만 기술된 브리안콘의 정리는 다르게 명시되어야 할 것이다.

브리안콘의 정리의 투영적 이중은 부속면에는 예외가 있지만 투영면에는 예외가 없다.

증명

브리안콘의 정리는 급진적인 축이나 상호주의 사상으로 증명할 수 있다.

참고 항목

• 칠원 정리
• 파스칼의 정리

참조