브릴루인 및 랜지빈 함수

브릴루인과 란제빈 함수는 통계역학에서 이상화된 파라마그네틱 물질을 연구할 때 나타나는 특수함수의 한 쌍이다.

브릴루인 함수

브릴루인 함수는^[1][2] 다음 방정식으로 정의되는 특수함수다.

${\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2}{2}J}\coth \왼쪽({\frac {2J+1}{2}{2}J}}x\오른쪽)-{\frac {1}{2J}\coth \왼쪽({\frac {1}{2)J}}x\오른쪽)}$

함수는 $대개{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$이(가) 실제 $변수$이고 J ${\displaystyle J}$이(가) 양의 정수 또는 반정수인 맥락에서 적용된다(아래 참조). 이 경우 함수는 -1부터 -1까지 다양하여 $x{\displaystyle }$→ +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$로 +1에 근접하며$,$ x → +$∞$로 +$1$에 $근접$하고${\displaystyle }$x${\displaystyle }$→ $- ∞$로 -1에 접근한다$.$

이 함수는 이상적인 파라자석의 자기화 계산에서 발생하는 것으로 가장 잘 알려져 있다.특히 적용된 자기장 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 대한 자기화 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 종속성과 물질의 미세한 자기모멘트의 총 각운동량 양자수 J를 설명한다.자기화는 다음과 같은 방법으로 이루어진다.^[1]

${\displaystyle M=ng\mu _{\rm {B}}JB_{J}(x)}$

, where

• ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$은(는) 단위 볼륨당 원자의 수입니다.
• ${\displaystyle g}$$[\displaystyle g]$ g-moves,
• ${\displaystyle {\mu B\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 보어 자석,
• ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$는 열 에너지 $k{\displaystyle {}_{}}$ B ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}$에 대한 외부장 자기 모멘트의 Zeman 에너지의 비율이다.$T}$^[1]:

${\displaystyle x=J{\frac {g\mu_{\rm{B}{k_{\rm {B}}}T}}$

• ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 볼츠만 상수와 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$온도$$ 입니다.

Tesla에 제공된$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ 유닛의 SI $시스템$에서${\displaystyle }$B = ${\displaystyle {}_{}}$ 0 H$$${\$$displaystyle$ B$=\mu_{0$$}$H$\}$를 의미하며, 여기서 H {\$displaystyle H}$은 A/m에서 주어진 보조 자기장이고 ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\${0}은 진공 투과$$ 같다$.$

이 법률의 파생어를 보려면 "표시"를 클릭하십시오.

이상적인 파라자석의 자성을 기술하는 이 법칙의 유래는 다음과 같다.[1]z를 자기장의 방향이 되게 하라.각 자기모멘트 각운동량의 z 성분(방사선 양자수)은 2J+1의 가능한 값 중 하나를 차지할 수 있다 -J,-J+1, ...,+J. 이들 각각은 외부장 B로 인해 다른 에너지를 갖는다: 양자수 m과 관련된 에너지는 ${\displaystyle E_{m}=-mg\mu_{\rm{B}B=-k_{\rm}Txm/J}$ (여기서 g는 g-요인이고, μ는B 보어 마그네톤이며, x는 위의 텍스트에 정의된 것과 같다.)이들 각각의 상대 확률은 볼츠만 인자에 의해 주어진다. ${\displaystyle P(m)=e^{-E_{m}/(k_{\rm {B}T)}/Z=e^{xm/J}/Z}$ 여기서 Z(파티션 함수)는 확률의 합이 통일인 정규화 상수다.Z를 계산하면 다음과 같은 결과가 나온다. ${\displaystyle P}$( m${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$/ J${\displaystyle {}^{}}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle \sum \underset{m{}^{}}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{{\prime }^{}}}}$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$- ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{J}}}$ J ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}^{}}$/ ${\displaystyle J^{}}$) ${\$ 모두 말해 방위 양자수 m의 기대값은 다음과 같다. ${\displaystyle \langle m\rangle =(-J)\times P(-J)+\cdots +J\times P(J)=\left(\sum _{m=-J}^{J}me^{xm/J}\right)/\left(\sum _{m=-J}^{J}e^{xm/J}\right)}$. 분모는 기하계열이고 분자는 산술-기하계열의 일종이기 때문에 시리즈를 명시적으로 요약할 수 있다.어느 정도의 대수학 끝에 결과는 다음과 같다. ${\displaystyle \langle m\angle =JB_{J}(x)}$ 단위 볼륨당 N개의 자기 모멘트가 있는 경우, 자기화 밀도는 ${\displaystyle M}$= ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mu B\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\mu B}⟨}$ = ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle {\mu B\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle J_{}}$(${\displaystyle }$x ) ${\displaystyle$ M$=ng\mu _{\rm {B}}\langle$ m$\angle =ngJ\m _{\rm {B}B_{J}(x$

타카스는^[3] 브릴루인 함수의 역에 대해 다음과 같은 근사를 제안했다.

${\displaystyle B_{J}(x)^{-1}={\frac {axJ^{2}}:{1-bx^{2}}:$

여기서 상수 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$은(는) 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle a={\frac {0.5(1+2J)(1-0.055)}{{(J-0.27)2J}}+{\frac{0.1}{J^{2}}$

$b=0.8}$

란제빈 함수

고전적 한계에서 모멘트는 현장에서 연속적으로 정렬할 수 있으며 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$은(는) 모든 값(${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle J\to \inft })$을 가정할 수 있다$$.브릴루인 함수는 폴 랑게빈 함수의 이름을 따서 랑게빈 함수로 단순화된다.

${\displaystyle L(x)=\cot(x)-{\frac {1}{x}}}$

x의 작은 값의 경우 Langevin 함수는 Taylor 시리즈를 잘라 대략적으로 추정할 수 있다.

${\displaystyle L(x)={\tfrac {1}{3}x-{45}x^{1}{45}+{945}x^{5}-{1}{4725}x^{7}+\dots }}}}}$

보다 잘 행동한 대안적인 근사치는 램버트의 지속적인 tanh(x):

${\displaystyle L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}:{5+{\tfrac {x^{2}}:{7+{x^{9+\ldots }}}}}}}}}}}}$

충분히 작은 x의 경우, 두 근사치 모두 실제 분석 표현식의 직접 평가보다 수치적으로 나은데, 이는 후자가 ${\displaystyle \cot }$ oth (${\displaystyle \mathrm{x}}$ )${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle x}$ $(\displaystyle \coth(x)\ 약 1/x$의 $x{\displaystyle }$≈ ${\displaystyle 0}$에 $대해$ 치명적인 취소를 겪기 때문이다.

역 Langevin 함수 L⁻¹(x)는 열린 간격(-1, 1)에 정의된다.x의 작은 값의 경우, Taylor 시리즈를^[4] 잘라 대략적으로 추정할 수 있다.

${\displaystyle L^{1}-1}(x)=3x+{5}{5}x^{3}+{\tfrac {297}{175}x^{5}+{1539}{875}}x^{7}+\tfrac {875}+\dots }}}}}$

그리고 파데 근친상간으로

${\displaystyle L^{1}(x)=3x{3x{35-12x^{2}}:{35-33x^{2}}+O(x^{7})}$

이 함수는 폐쇄형식이 없기 때문에 x의 임의 값에 대해 유효한 근사치를 갖는 것이 유용하다(-1, 1) 전체 범위에서 유효한 하나의 대중 근사치가 A에 의해 간행되었다.코언:^[5]

${\displaystyle L^{-1}(x)\약간 x{{\frac {3-x^{2}}:{1-x^{2}}.}$

이는 x = ±0.8 부근의 최대 상대 오차가 4.9%이다.R이 제공한 공식을 사용하면 더 높은 정확도를 얻을 수 있다.지드나크:^[6]

${\displaystyle L^{-1}(x)\대략 x{{3.0-2.6x+0.7x^{2}}:(1-x)(1+0.1x)},}$

x x x x 0에 대해 유효하다.이 근사치에 대한 최대 상대 오차는 x = 0.85 근처에서 1.5%이다.M. 크뢰거가 제공한 공식을 사용하면 훨씬 더 큰 정확도를 얻을 수 있다.^[7]

${\displaystyle L^{-1}(x)\대략 {\frac {3x-x({2}+x^{4}-2x^{6}/5}{1-x^{2}}:$

이 근사치의 최대 상대 오차는 0.28% 미만이다.더 정확한 근사치는 R에 의해 보고되었다.페트로시언:^[8]

${\displaystyle L^{1}(x)\약 3x+{\frac{x^{5}{5}}}\sin \left({\frac {7x}{2}}\오른쪽)+{\x^{1-x},}$

x x x x 0에 대해 유효하다.위의 공식에 대한 최대 상대 오차는 0.18%^[8] 미만이다.

R이 제공한 새로운 근사치.지드낙은 ^[9]복잡성에 대한 가장 근접한 것으로 알려져 있다. 11:

${\displaystyle L^{1}(x)\cHB {x(3-1.00651x^{2}-0.962251x^{4}+1.47353x^{6}-0.48953x^{8}}{{1-x(1+1.01524x)},}}},},},},},}$

x x x x 0에 대해 유효하다.최대 상대 오차는 0.076%^[9] 미만이다.

역랜지빈 함수에 대한 근사치의 현재 최첨단 도표는 아래 그림을 나타낸다.합리적/파데 근사치에게 유효하다.^[7][9]

R이 최근 발표한 논문.지디낙은 역 랑게빈 함수에 대한 최적의 근사값을 제공한다.^[10]아래 표는 정확한 증상 없는 행동과 함께 결과를 보고한다.^[7][9][10]

제약조건으로 계산된 서로 다른 최적의 합리적 근사치에 대한 상대적 오류 비교(^[10]부록 8 표 1)

복잡성	최적 근사치	최대 상대 오류 [%]
3	${\displaystyle R_{2,1}(y)={\frac {-2y^{2}+3y}{1-y}}}}$	13
4	${\displaystyle R_{3,1}(y)={\frac {0.88y^{3}-2.88y^{2}+3y}{1-y}}}}$	0.95
5	${\displaystyle R_{3,2}(y)={\frac {1.1571y^{3}-3.353y^{2}+3y}{(1-y){1-0.1962y)}}}$	0.56
6	${\displaystyle R_{5,1}(y)={\frac {0.756y^{5}-1.383y^{4}+1.573y^{3}-2.9463y^{2}+3y}{1-y}}}}}}}$	0.16
7	${\displaystyle R_{3,4}(y)={\frac {2.14234y^{3}-4.22785y^{2}+3y}{{2}+3y}{{3}-0.71716y^{3}-0.41103y^{2}-0.395y+1\오른쪽)}}}$	0.082

또한 최근에는 스플라인 보간법에 기초한 효율적인 근거리 기계 정밀 근사치가 베니테스와 몬탄스에 의해 제안되었고,^[11] 여기서 매트랩 코드도 스플라인 기반 근사치를 생성하고 이전에 제안된 근사치를 모든 기능 영역에서 비교하기 위해 제공된다.

고온한계

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ x$\ll$ 1${\displaystyle \},}$ 즉$$ ${\displaystyle {\mu B}_{}}$ B/${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle \mu _{\rm {B}B_{\rm {B}}$일 때$T}$은(는) 작으며, 자기화의 표현은 퀴리의 법칙에 의해 대략적으로 추정할 수 있다.

${\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}}$

여기서 $C{\displaystyle }$= N ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{J\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{(\mathrm{J}}{}}$+ 1${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{{\mu B\mathrm{}}_{}^{}}{}}$ B 2 ${\displaystyle \frac{3_{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{k\mathrm{}}_{}}{}}$ B $(\$ C$={\ng^{2}J(J+1)\mu _{\rm{B}^{3k_{\rm{B}}}}}}}}}}}$은 상수다$$.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle J\sqrt{}}$(${\displaystyle \sqrt{J}}$+ ${\displaystyle \sqrt{1}}$) ${\$이(가) 보어 자석의 유효 수임을$$ 알 수 있다.

하이필드 한계

$x{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle x\to \infit }$이$($가) 되면 브릴루인 기능은 1로 간다.자성은 적용된 장과 완전히 정렬된 자기 모멘트로 포화된다.

${\displaystyle M=ng\mu _{\rm {B}}J}$

참조