가우스의 연속분수

복잡한 분석에서, Gauss의 지속 분율은 초기하함수에서 파생된 연속 분수의 특정 등급이다.그것은 수학에 알려진 최초의 지속적인 분석의 하나였으며, 그것은 몇 가지 중요한 기본적인 기능들뿐만 아니라 좀 더 복잡한 초월적 기능들을 나타내기 위해 사용될 수 있다.

역사

램버트는 1768년에 이 형태로 계속되는 분수의 몇 가지 예를 발표하였고, 오일러와 라그랑주 모두 유사한 구조를 조사하였으나,^[1] 1813년에 다음 절에서 설명한 대수학을 활용하여 이 지속 분수의 일반적인 형태를 추론한 사람은 칼 프리드리히 가우스였다.^[2]

비록 가우스는 이 계속되는 분수의 형태를 주었지만, 그는 그것의 융합 성질에 대한 증거를 제시하지 않았다.베른하르트 리만과^[3] L.W.토메는^[4] 부분적인 결과를 얻었지만, 이 지속적인 분수가 수렴되는 지역에 대한 마지막 단어는 1901년에야 에드워드 버르 반 블렉에 의해 주어졌다.^[5]

파생

$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{f\mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle }$… ${\displaystyle f_{0},f_{1},f_{2},\dots }$을(를) 분석 함수의 순서가 되도록 한다$$.

${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}\,z\,f_{i+1}:{n2}}:$

모든 > ${\displaystyle i>0}$에 대해 각 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 상수임$$.

그러면

${\displaystyle {\frac {f_{i-1}}{f_{i}}}=1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}},{\text{ and so }}{\frac {f_{i}}{f_{i-1}}}={\frac {1}{1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}}}}}$

설정 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}}$/ ${\displaystyle {\mathrm{f}}_{}}$ ${\displaystyle i{}_{}}$- 1,${\displaystyle g_{i}=f_{i}/f_{i-1}}}}$

${\displaystyle g_{i}={\frac {1}{1+k_{i}zg_{i+1}}},}$

그렇게

${\displaystyle g_{1}={\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+k_{1}zg_{2}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+k_{2}zg_{3}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+k_{3}zg_{4}}}}}}}=\cdots .\ }$

이 광고 infinitum을 반복하면 지속적인 부분 식이 생성된다.

${\displaystyle {\f_{1}:{f_{0}}={\pac {1}{1+{\pairac {k_{1}z}{1+{k_{2}z}{1+{1+{1}{1+{1+{1+}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

In Gauss's continued fraction, the functions ${\displaystyle f_{i}}$ are hypergeometric functions of the form ${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$, ${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$, and ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$, and the equations ${\displaystyle f_{i-1}-f_i=k_{i}z{f}_{i+}}$${\displaystyle 1_{}}$ ${\$}은$($는) 매개 변수가 정수 양에 따라 다른 함수 사이의 ID로 발생한다$$.이러한 정체성은 예를 들어 시리즈를 확장하고 계수를 비교하거나, 파생상품을 여러 가지 방법으로 취하여 생성된 방정식에서 제거함으로써 여러 가지 방법으로 증명될 수 있다.

시리즈₁ F

가장 간단한 경우는 다음과 같다.

${\displaystyle \,_{0}F_{1}{1}(a;z)=1+{a\,1!}z+{1}{a+1){1}{a+1(a+1)\2!}z^{1}{1}{a+1){a+1}(a+2)\!z^{3+}cd}\cdots.$

ID부터 시작

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(a-1;z)-\,_{0}F_{1}{1}(a;z)={\frac {z}{a-1}}}\,_{0}F_{1}(a+1;z),}$

우리가 가져도 좋다

${\displaystyle f_{i}={}_{0}F_{1}(a+i;z),\,k_{i}={\tfrac {1}{{1}{(a+i)(a+i-1)},},}$

부여

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {1}{a(a+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+1)(a+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+2)(a+3)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}$

, 또는

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}}{a\,_{0}F_{1}{1}(a;z)}}}}={\cfrac {1}{a+}{(a+1)+{\cfrac {z}{(a+2)+{\cfrac {z}{(a+3)+{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이 팽창은 두 수렴성 계열의 비율에 의해 정의된 용형 함수로 수렴된다(물론, a가 0도 아니고 음의 정수도 아니다).

시리즈₁ F

다음 사건은 다음과 같다.

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)=1+{\frac {a}{b\,1!}}z+{\frac {a(a+1)}{b(b+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}}z^{3}+\cdots }$

그 두 정체성은

${\displaystyle \,_{1}F_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)}{b-1}\,_{1}F(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \,_{1}F_{1}{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

교대로 사용되다

내버려두다

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{1}F_{1}{1}(a;b;z),}$

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z),}$

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+2;z),}$

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+3;z),}$

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+4;z),}$

등

This gives ${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$ where ${\displaystyle k_{1}={\tfrac {a-b}{b(b+1)}}$$,k_{2}={\tfrac {a+1}{(b+1){(b+1)}}},k_{3}={\tfrac {a-b-1}{(b+2$){($b+3)},k_{$4}={\$tfrac {a+2}{(b+3)}}}},$ 생산$,$ 생산 중.

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a-b}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

, 또는

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {(a-b)z}{(b+1)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a+2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

유사하게

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

, 또는

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}}={{\b+{b+}{\b+1}{{b+1)+{\bac{(a-b-1)z}{{(b+2)+{\b+1)}{(a-b-2}}:}}}}}}{{(b+4)+{{}ddd}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \mathrm{F}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( 0${\displaystyle }$; ${\displaystyle b;}$ z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle {}_{1}F_{$1}{1}($0;b;z)=1$ a를 0으로 설정하고 b + 1을 첫 번째 연속 분수에 b로 교체하면 다음과 같은 단순한 특수 사례가 발생한다.

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(1;b;z)={\cH00{1+{\b+}{-z}{b+1){{\b+}{{(b+1)}{{\cH00 {-bz}{(b+2)+{\probac {2z}{(b+1)+{-(b+1)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

시리즈₁ F

최종 사건은 다음과 같다.

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c\,1!}}z+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .\,}$

다시, 두 개의 정체성이 번갈아 사용된다.

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1,c+1;z),}$

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-c+1)az}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z).}$

이것들은 a와 b가 서로 교환된 것과 본질적으로 동일한 정체성이다.

내버려두다

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z),}$

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b+1,c+2;z),}$

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+1,c+3;z),}$

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+2;c+4;z),}$

등

This gives ${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$ where ${\displaystyle k_1=\frac{(a-c)b}{c(c+1)},k_2=\frac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)},k_3=\frac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)},k_4=\frac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c}}$${\displaystyle k_{1}={\tfrac {(a-c)b}{c(c+1)}},k_{2}={\tfrac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}},k_{3}={\tfrac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}},k_{4}={\tfrac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}}$, producing

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

, 또는

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{c{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{c+{\cfrac {(a-c)bz}{(c+1)+{\cfrac {(b-c-1)(a+1)z}{(c+2)+{\cfrac {(a-c-1)(b+1)z}{(c+3)+{\cfrac {(b-c-2)(a+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle 0}$, b${\displaystyle }$; ${\displaystyle c;}$ z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle {}_{2}F_{$1}{$1}(0,b;c;z)=1$ a를 0으로 설정하고 c + 1을 c로 교체하면 다음과 같은 지속적인 분수의 단순화된 특수 사례가 제공된다.

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(1,b;c;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{c+{\cfrac {(b-c)z}{(c+1)+{\cfrac {-c(b+1)z}{(c+2)+{\cfrac {2(b-c-1)z}{(c+3)+{\cfrac {-(c+1)(b+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

수렴 특성

이 절에서 하나 이상의 파라미터가 음의 정수인 경우는 제외된다. 이러한 경우 초기하계 영상 시리즈가 정의되지 않았거나 다항식이기 때문에 연속 분수가 종료되기 때문이다.다른 사소한 예외도 제외된다.

케이스 ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ ${}_{$$0}$$F_$${$$1$}F_$$${$1$}F_{$1}{1}:{1}{1$}:{$1}의 ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}},$ ${\displaystyle {시리즈}_{}}$는 어디에서나 수렴되므로 왼쪽의 분율은 용형함수다.오른쪽의 지속적인 분수는 이 함수의 극을 포함하지 않는 닫히고 경계된 집합에서 균일하게 수렴된다.^[6]

케이스 ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 경우$,$ 시리즈의 수렴 반경은 1이고 왼손의 분율은 이 원 내의 용형함수다.오른쪽의 계속되는 분수는 이 원 안의 모든 곳에 있는 함수로 수렴될 것이다.

원 바깥에서, 계속 분수는 +1에서 무한대가 제거된 지점까지 양의 실제 축이 있는 복잡한 평면에 대한 함수의 분석적 연속성을 나타낸다.대부분의 경우 +1은 분기점이고 +1에서 양의 무한대로의 선은 이 기능을 위한 분기점이다.계속되는 분수는 이 영역의 메로모르픽 함수로 수렴되며, 폴을 포함하지 않는 이 영역의 닫히고 경계된 하위 집합에 균일하게 수렴된다.^[7]

적용들

시리즈₁ F

우리는 가지고 있다.

${\displaystyle \cosh(z)=\,_{0}F_{1}{1}({\tfrac {1}{1}2}}:{\tfrac {z^{2}}:}),}$

${\displaystyle \sinh(z)=z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}}),}$

그렇게

${\displaystyle \tanh(z)={\frac {z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}{\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}}={\cfrac {z/2}{{\tfrac {1}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {3}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {5}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {7}{2}}+{}\ddots }}}}}}}}={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac{z^{2}}:{5+{\beca{z^{2}}:{7+{}}\ddots }}}}}}}}.}$

이 특별한 팽창은 램버트의 지속적인 분수로 알려져 있으며 1768년으로 거슬러 올라간다.^[8]

그것은 쉽게 따라온다.

${\displaystyle \tan(z)={\j}{1-{\j^{2}}:{3-{\j^{z^{2}}:{5-{\j^{{7-{}}}}}}}}}}.}$

tanh의 확장은ⁿ e가 모든 정수 n에 대해 비이성적이라는 것을 증명하는 데 사용될 수 있다(아마도 e가 초월적이라는 것을 증명하기에 충분하지 않다).황갈색의 팽창은 bert이 비이성적이라는 것을 증명하기 위해 램버트와 레전드르 둘 다에 의해 이용되었다.

Besel $함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle J_{}}$ {$${\$displaystyle J_{\nu }}$은(는) 쓸 수 있다$$.

${\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {1}{{1}{1}:{\frac{1}:{\nu }}}{{\tfrac {1}}}{{{nu +1}}}}{0}F_{nu +1;-{z^{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그것으로부터.

${\displaystyle {\frac {J_{\nu }(z)}{J_{\nu -1}(z)}}={\cfrac {z}{2\nu -{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +1)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +2)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +3)-{}\ddots }}}}}}}}.}$

이 공식들은 또한 모든 복잡한 z에도 유효하다.

시리즈₁ F

$e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle z^{}}$= ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$1 ;${\displaystyle 1;}$ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle$e^{$z}={}_{1$$}F_{1$}($1;1;z$ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle e{}^{}}$ ${\displaystyle z^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle z^{}}$ ${\$

${\displaystyle e^{z}={\putac {1}{1+{\putac {-z}{1+{1+{\putac {-z}{3+{\putac {2z}{4+{5+{}{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

${\displaystyle e^{z}=1+{\buffac {-z}{1+{\buffac {-z}{3+{\buffac {-2z}{4+{2z}{2z}{5+{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

어떤 조작으로, 이것은 e의 단순하고 지속적인 분수표현을 증명하는데 사용될 수 있다.

${\displaystyle e=2+{\properac {1}{1+{\properac {1}{1+{\properac {1}{1}{1+{4+{}}}}}}}}}}:{1+{\properac {1}{1}{4+{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

에러 함수 erf (z)는 다음을 통해 제공됨

${\displaystyle \epname {erf}(z)={\frac {2}{\\sqrt{\pi }}\int_{0}^{z}e^{-t^{2}}\\,dt,}$

또한 Kummer의 초지하 함수의 관점에서 계산될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {erf}(z)={\frac {2z}{\\sqrt{\}e^{-z^{2}}\,_{1}F_{1}{1}(1;{\script {\frac}{3}};z^{2}).}$

Gauss의 지속적인 분수를 적용함으로써, 모든 복잡한 숫자 z에 유효한 유용한 확장을 얻을 수 있다.^[9]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{{\frac {3}{2}}+{\cfrac {z^{2}}{{\frac {5}{2}}-{\cfrac {{\frac {3}{2}}z^{2}}{{\frac {7}{2}}+{\cfrac {2z^{2}}{{\frac {9}{2}}-{\cfrac {{\frac {5}{2}}z^{2}}{{\frac {11}{2}}+{\cfrac {3z^{2}}{{\frac {13}{2}}-{\cfrac {{\frac {7}{2}}z^{2}}{{\frac {15}{2}}+-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

프레스넬 통합, 도슨 함수 및 불완전한 감마 함수에 대해 지속적인 분율 확장을 도출하기 위해 유사한 주장을 할 수 있다.인수의 단순한 버전은 지수함수의 유용한 연속적인 두 가지 분율 확장을 산출한다.^[10]

시리즈₁ F

보낸 사람

${\displaystyle (1-z)^{-b}={}_{1}F_{0}(b;z)=\,_{2}F_{1}(1,b;1;z),}$

${\displaystyle (1-z)^{-b}={\1+{\bz}{1+{\b-1)z}{2+{{2+{\b+1}z}{3+{3+{2(b-2}})z}{4+{}{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

0의 근방에 있는 아크탄 z의 테일러 시리즈 확장이란 것은 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle \arctan z=zF({\scriptstyle {\frac {1}{1}:{1},1;{\scriptstyle {\frac}{3}}};-z^{2}).}$

이 정체성에 가우스의 지속적인 분수를 적용하여 확장을 발생시킬 수 있다.

${\displaystyle \arctan z={\compan z}{1+{\probac{(1z)^{2}}:{3+{\probac {(2z)^{5+{7+{\probac{3z)^{{7+{9+}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

절단된 복잡한 평면의 역 접선 함수의 주 분기로 수렴되며, 컷은 상상의 축을 따라 i에서 무한의 점, -i에서 무한의 점까지 확장된다.^[11]

이 특히 지속되는 분수는 z = 1일 때 상당히 빠르게 수렴되며, 9번째 수렴에 의해 소수점 places/4에서 7자리까지 값이 주어진다.해당 시리즈

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\pm \cdots }$

훨씬 더 천천히 수렴하며, 100만 개 이상의 항이 있어야 소수점 7자리 정확도를 얻을 수 있다.^[12]

이 인수의 변형은 자연 로그, 아크신 함수 및 일반화된 이항렬에 대한 지속적인 분율 확장을 생성하는 데 사용될 수 있다.

메모들

참조

• Jones, William B.; Thron, W. J. (1980). Continued Fractions: Theory and Applications. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. pp. 198–214. ISBN 0-201-13510-8.
• Wall, H. S. (1973). Analytic Theory of Continued Fractions. Chelsea Publishing Company. pp. 335–361. ISBN 0-8284-0207-8.
  (이것은 D가 원래 발행한 책을 재인쇄한 것이다. 반 노스트랜드 컴퍼니, 1948년.)
• Weisstein, Eric W. "Gauss's Continued Fraction". MathWorld.