카르탄-칼레데 알고리즘

Cartan–Karlhede algorithm

카르탄-칼레데 알고리즘은 리만 다지관을 완전히 분류하고 비교하는 절차다.같은 차원의 리만 다양체 두 개를 고려하면, 그들이 국소 등축성인지 항상 분명한 것은 아니다.[1]엘리 카탄은 자신의 외부 미적분학을 액자 이동 방법과 함께 사용하여 다지관을 비교하는 것이 항상 가능하다는 것을 보여주었다.칼 브란스는 이 방법을 더욱 발전시켰으며,[2] 1980년 안데르스 칼헤데[sv]에 의해 최초의 실제 구현이 제시되었다.[3]

알고리즘의 주요 전략은 리만 텐서의 공변량 파생상품을 취하는 것이다.Cartan은 최대 n(n+1)/2개의 차이점만으로 충분하다는 것을 보여주었다.리만 텐서와 하나의 다지관의 파생상품이 다른 다지관과 대수적으로 호환되는 경우, 두 다지관은 등축이다.따라서 카르탄-칼레데 알고리즘은 페트로프 분류의 일종의 일반화 역할을 한다.

잠재적으로 많은 수의 파생상품은 계산상으로는 금지될 수 있다.알고리즘은 초기 심볼 연산 엔진인 SHUM에서 구현되었지만, 연산 크기는 초기 컴퓨터 시스템이 다루기엔 너무 어려운 것으로 판명되었다.[4][5]대부분의 문제를 고려할 때, 실제로 요구되는 최대치보다 훨씬 적은 파생상품이 필요하며, 알고리즘은 현대의 컴퓨터에서 더 관리가 가능하다.반면에, 더 현대적인 소프트웨어에는 공개적으로 이용 가능한 버전이 없다.[6]

물리적 애플리케이션

카르탄-칼레데 알고리즘은 일반 상대성 이론에 중요한 응용 분야를 가지고 있다.그 이유 중 하나는 곡률 불변성의 단순한 개념이 리만 다양체를 구별할 뿐 아니라 스페이스타임을 구분하지 못하기 때문이다.이러한 행동의 차이는 궁극적으로 스페이스타임이 비 컴팩트 리 그룹인 로렌츠 그룹 SO+(1,3)의 하위 그룹인 동위원소 하위 그룹을 갖는 반면, 4차원 리만 다지관(즉, 확실한 메트릭 텐서)은 컴팩트 리 그룹 SO(4)의 하위 그룹인 동위원소 그룹을 갖는다는 사실에 기인한다.

4차원에서 칼헤데의 카르탄 프로그램 개선으로 리만 텐서(Riemann tensor)의 공변량 파생상품의 최대 개수가 7개로 줄어들었다.최악의 경우 3156개의 독립 텐서 구성요소가 필요하다.[7]7가지 공변량 파생상품이 모두 요구되는 알려진 시간적 여유가 있다.[8]그러나 특정 스페이스타임 모델의 경우, 종종 훨씬 적은 수의 모델로 충분하다.예를 들면, 지금 알려져 있다.

  • 두 개의 null 먼지 솔루션을 비교하려면 최대 1개의 분화가 필요하다.
  • 두 개의 Petrov D 진공 용액을 비교하려면 최대 두 개의 차이가 필요하다.
  • 두 가지 완벽한 유체 용액을 비교하려면 최대 세 가지 차이가 필요하다.[9]

참고 항목

외부 링크

참조

  1. ^ Olver, Peter J. (1995). Equivalents, Invariants, and Symmetry. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-47811-1.
  2. ^ Brans, Carl H. (1965), "Invariant Approach to the Geometry of Spaces in General Relativity", J. Math. Phys., 6: 94, Bibcode:1965JMP.....6...94B, doi:10.1063/1.1704268
  3. ^ Karlhede, A. (1980), "A review of the geometrical equivalence of metrics in general relativity", General Relativity and Gravitation, 12: 693, Bibcode:1980GReGr..12..693K, doi:10.1007/BF00771861
  4. ^ Åman, J. E.; Karlhede, A. (1980), "A computer-aided complete classification of geometries in general relativity. First results", Phys. Lett. A, 80: 229, Bibcode:1980PhLA...80..229A, doi:10.1016/0375-9601(80)90007-9
  5. ^ Åman, J. E., Manual for CLASSI: classification programs in general relativity, University of Stockholm Institute of Theoretical Physics
  6. ^ Pollney, D.; Skea, J. F.; d'Inverno, Ray (2000). "Classifying geometries in general relativity (three parts)". Class. Quantum Grav. 17: 643–663, 2267–2280, 2885–2902. Bibcode:2000CQGra..17..643P. doi:10.1088/0264-9381/17/3/306.
  7. ^ MacCallum, M. A. H.; Åman, J. E. (1986), "Algebraically independent nth derivatives of the Riemannian curvature spinor in a general spacetime", Classical and Quantum Gravity, 3: 1133, Bibcode:1986CQGra...3.1133M, doi:10.1088/0264-9381/3/6/013
  8. ^ Milson, Robert; Pelavas, Nicos (2008), "The type N Karlhede bound is sharp", Class. Quantum Grav., 25, arXiv:0710.0688, doi:10.1088/0264-9381/25/1/012001
  9. ^ Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Hertl, Eduard (2003). Exact Solutions to Einstein's Field Equations (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7.