코시 문제

수학의 Cauchy 문제는 도메인의 초외면에 주어진 특정 조건을 만족시키는 부분 미분 방정식의 해답을 요구한다.^[1] Cauchy 문제는 초기 값 문제 또는 경계 값 문제일 수 있다(이 경우 Cauchy 경계 조건도 참조). 그것은 아우구스틴루이 코치의 이름을 따서 지어졌다.

형식명세서

편미분 방정식 Rn+1에 정의된 그리고 매끄러운 다양체 S⊂ Rn+1 차원 n(S는 코시 표면이라고 불린다)의 코시 문제 독립 변수와 관련하여, x1,…, 상대방과 함께 미분 방정식의 알 수 없는 기능 u1,…, 너 N{\displaystyle u_{1},\dots},u_{N}을 찾기로 구성되어 있다.)n${\displaystyle {}_{}}$충족되는$$^[2] ${\displaystyle t,x_{1},\display,x_{n}$

조건에 따라, $일부{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle =}$t 0 {\$displaystyle t$=t_{$0$

여기서 $\varphi {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$( k${\displaystyle {}_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \phi _{i}^{{$i}{{i}}}($k)}(x_{1},\dots,x_{n})$는 표면 $S{\displaystyle }$ ${\displaysty S}($문제의 Cauchy 데이터로 총칭)에 정의된 함수를 부여한다$$. 순서 0의 파생상품은 함수 자체가 특정됨을 의미한다.

카우치-코왈레프스키 정리

The Cauchy–Kowalevski theorem states that If all the functions ${\displaystyle F_{i}}$ are analytic in some neighborhood of the point ${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,\phi _{j,k_{0},k_{1},\dots ,k_{n}}^{0},\dots )}$, and if all the functions ${\displaystyle \phi _{j}^{(k)}}$ are analytic in some neighborhood of the point ${\displaystyle (x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$, then the Cauchy problem has a unique analytic solution in some neighborhood of the point ${\displaystyle (t^0,x_1^{}}$${\displaystyle {}_0^{}}$, ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$x ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\filences,x_{n}^{0$

참고 항목

• 코시 경계 조건
• 카우치 지평선

참조

외부 링크

• 수학월드의 코치 문제.