초기가치문제

다변량 미적분학에서 초기값 문제^[a](ivp)는 도메인의 특정 지점에서 알 수 없는 함수의 값을 지정하는 초기 조건과 함께 일반적인 미분 방정식이다. 물리학이나 다른 과학에서 시스템을 모델링하는 것은 종종 초기 가치 문제를 해결하는 것과 같다. 그러한 맥락에서, 차등 초기값은 문제의 초기 조건이 주어진 시간에 시스템이 어떻게 진화하는지 명시하는 방정식이다.

정의

초기값 문제는 미분방정식이다.

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$ with ${\displaystyle f\colon \Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ where ${\displaystyle \Omega }$ is an open set of ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$$$,

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 영역의 점과 함께

${\displaystyle(t_{0},y_{0}}\Oomega ,}$

초기 조건이라고 불렸다.

초기값 문제에 대한 해결책은 미분방정식의 해결책이며 만족하는$$ $함수{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$이다.

${\displaystyle y(t_{0}=y_{0}.}$

In higher dimensions, the differential equation is replaced with a family of equations ${\displaystyle y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc )}$, and ${\displaystyle y(t)}$ is viewed as the vector ${\displaystyle ($$y_{1}(t),\dotsc ,y_{n}(t$ 가장 일반적으로 공간의 위치와 관련됨. 보다 일반적으로, 알려지지 않은 함수 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y$}$는 바나흐 공간이나 분포 공간과 같은 무한 치수 공간에 대한 값을 취할 수 있다$$.

초기가치 문제는 예를 들어, $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$t${\displaystyle }$) , y${\displaystyle {}^{}}$ ( ${\displaystyle t}$ ) , y ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle y'=f(t)=f(t,y(t$), y'(t$)}$과 같은 방식으로 파생상품을 취급함으로써 더 높은 순서로 확장된다$.$

해결책의 존재와 고유성

피카르-린델뢰프 정리는 f가 t와₀ y를₀ 포함하는 영역에서 연속적이고 변수 y에 대한 립스키츠 조건을 만족하는 경우 t를₀ 포함하는 어떤 간격에 대해 고유한 해결책을 보장한다. 이 정리의 증명은 문제를 등가 적분 방정식으로 개편함으로써 진행된다. 적분은 하나의 기능을 다른 함수에 매핑하는 연산자로 간주할 수 있으며, 따라서 용액이 연산자의 고정점이다. 바나흐 고정점 정리는 초기값 문제의 해결책인 고유한 고정점이 존재함을 보여주기 위해 실행된다.

피카르-린델뢰프 정리에 대한 더 오래된 증거는 적분 방정식의 해법, 즉 초기 가치 문제의 해법으로 수렴되는 일련의 함수를 구성한다. 이러한 구조를 "피카드의 방법" 또는 "연속적인 근사치 방법"이라고 부르기도 한다. 이 버전은 본질적으로 바나흐 고정 포인트 정리의 특별한 경우다.

오카무라 히로시는 초기 가치 문제의 해결이 독특하기 위해 필요하고 충분한 조건을 얻었다. 이 조건은 시스템의 랴푸노프 함수의 존재와 관계가 있다.

어떤 상황에서는 기능 f가 클래스¹ C나 심지어 립스치츠가 아니기 때문에 고유한 해결책의 국소적 존재를 보장하는 통상적인 결과는 적용되지 않는다. 그러나 Peano 존재의 정리는 단지 지속적인 f에 대해서도 해법이 시간 내에 국지적으로 존재하도록 보장된다는 것을 증명한다; 문제는 고유성의 보장이 없다는 것이다. 그 결과는 Coddington & Levinson(1955, Organis 1.3) 또는 Robinson(2001, Organis 2.6)에서 찾을 수 있다. 더욱 일반적인 결과는 일부 불연속 함수의 존재를 증명하는 카라테오도리 존재 정리 f이다.

예

간단한 $예$로는 y ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle t}$) =${\displaystyle 0}$.${\displaystyle \mathrm{85}}$y ( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ y$'(t)=0.85y(t)}$과${\displaystyle }$y (${\displaystyle 0}$) = ${\displaystyle 19}${\$displaystyle$y$(0)=19}$을(를) 푸는 것이다$.$ $우리$는 이 두 방정식을 만족시키는$$ y${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle y(t)}$의 공식을 찾으려고 한다.

$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$이(가) 왼쪽에 오도록$$ 방정식을 다시 정렬하십시오.

${\displaystyle {\frac {y'(t)}{y(t)}}=0.85}$

$이제{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$에 대해 양쪽을 통합하십시오($$이것은 알 수 없는 $상수{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$를 도입함).$$

${\displaystyle \int{\frac {y'(t)}{y(t)}\,dt=\int 0.85\,dt}$

${\displaystyle \ln y(t) =0.85t+B}$

양쪽에서 지수를 사용하여 로그 제거

${\displaystyle y(t) =e^{B}e^{0.85t}}$

$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$을(를) 새로운 알 수 없는 상수로 하고$$$,$${\displaystyle }C{\displaystyle }$= ± ${\displaystyle e^{}}$ B$${\$displaystyle$ C$=\pm$ e$^{B}$ 따라서

${\displaystyle y(t)=Ce^{0.85t}$

이제 $우리$는 C$${\$displaystyle C}$ 값을 찾아야 한다$.$ 시작에 $주어진$ y${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 19}$ ${\displaystyle y}$을(를) 사용하고 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ t$}$에는 0을$$, y ${\displaystyle y}$에는 19를 대체한다.

${\displaystyle 19=Ce^{0.85\cdot 0}}$

$(\displaystyle C=19}$

$이것$은 y${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ e ${\displaystyle {0\mathrm{.}\mathrm{85}}^{}}$ t ${\$y($t)=19e^{0.85t}}$의 최종 용액을 제공한다$.$

두 번째 예

의 해결책

${\displaystyle y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}$

라는 것을 알 수 있다

${\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1.\,}$

과연

${\displaystyle {\regated}y'+3y&={\tfrac {d}{d}}{dt}+2t+1)+3(2e^{-3t}+1)+3(2e^{-3t+1)\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+3)+(6e^{-3)+3)+3)\&=6t+5\end{정렬}}}$

메모들

참고 항목

• 경계값 문제
• 집적 상수
• 적분 곡선

참조