체인완전부분순서
Chain-complete partial order수학, 특히 순서 이론에서 부분 순서가 정해진 집합은 그 안에 있는 모든 체인이 최소 상한선을 가지고 있다면 연쇄 완성이다.증가하는 모든 요소 순서(계산 가능한 체인의 한 유형)가 최소 상한 값을 가질 때 Ω-완전하다. 동일한 개념이 체인의 다른 기본성으로 확장될 수 있다.[1]
예
모든 완전한 격자는 연쇄적으로 완전하다.완전한 격자와는 달리 체인 완성형 포셋은 비교적 흔하다.예를 들면 다음과 같다.
- 포함으로 정렬된 벡터 공간 V의 모든 선형 독립 하위 집합 집합.
- 제한에 의해 정렬된 집합의 모든 부분 함수 집합.
- 모든 부분 선택 기능 집합은 제한에 의해 정렬된 비어 있지 않은 집합의 집합에 대한 기능이다.
- 반지의 모든 주요 이상을 포함하는 세트.
- 일차 언어에 대한 모든 일관된 이론들의 집합.
특성.
포셋은 그것이 뾰족한 dcpo인 경우에만 연쇄적으로 완성된다.[1]그러나 이 등가성은 선택의 공리를 필요로 한다.
조른의 보조정리에는 포셋이 모든 사슬에 대한 상한선을 가지고 있다면, 그것은 최대 요소를 가지고 있다고 명시되어 있다.따라서 체인 완성형 포셋에 적용되지만, 상한은 있지만 최소 상한은 없는 체인을 허용한다는 점에서 더 일반적이다.
체인 완성형 포지션도 부르바키-에 복종한다.Witt 정리, f가 체인 전체 포셋에서 모든 x에 대해 f(x) ≥ x에 대해 f가 고정점을 갖는 속성으로 그 자체로 함수인 경우 f는 고정점을 갖는다는 것을 명시한 고정점 정리다.이 정리는 결국 조른의 보조마차가 선택의 공리의 결과라는 것을 증명하는 데 사용될 수 있다.[2][3]
부분적으로 주문한 세트의 Dedekind-MacNeille 완료와 유사하게, 부분 주문된 모든 세트는 최소 체인 완성 포셋으로 고유하게 확장될 수 있다.[1]
참고 항목
참조
- ^ a b c Markowsky, George (1976), "Chain-complete posets and directed sets with applications", Algebra Universalis, 6 (1): 53–68, doi:10.1007/bf02485815, MR 0398913, S2CID 16718857.
- ^ Bourbaki, Nicolas (1949), "Sur le théorème de Zorn", Archiv der Mathematik, 2 (6): 434–437 (1951), doi:10.1007/bf02036949, MR 0047739, S2CID 117826806.
- ^ Witt, Ernst (1951), "Beweisstudien zum Satz von M. Zorn", Mathematische Nachrichten, 4: 434–438, doi:10.1002/mana.3210040138, MR 0039776.
