부분 함수

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수학에서 집합 X에서 집합 Y로의 부분 함수 f는 X의 부분 집합 S에서 Y까지의 함수이다.부분 집합 S, 즉 함수로 보는 f의 영역을 f의 정의 영역이라고 한다.S가 X와 같은 경우, 즉 X의 모든 요소에 f가 정의되어 있으면 f는 합계라고 합니다.

보다 엄밀히 말하면, 부분 함수는 첫 번째 집합의 모든 요소를 두 번째 집합의 최대 한 요소에 연관짓는 두 개의 집합 위의 이진 관계입니다. 따라서 이것은 기능적 이진 관계입니다.첫 번째 세트의 모든 요소를 두 번째 세트의 한 요소에 정확히 연관지을 필요가 없음으로써 (합계) 함수의 개념을 일반화한다.

부분 함수는 정의의 정확한 영역을 알 수 없거나 지정하기 어려울 때 종종 사용됩니다.예를 들어, 두 함수의 몫은 정의 영역이 분모의 0을 포함할 수 없는 부분 함수인 미적분학의 경우이다.이러한 이유로, 미적분학에서, 그리고 더 일반적으로 수학 해석학에서, 부분 함수는 일반적으로 단순히 함수라고 불린다.계산 가능성 이론에서, 일반 재귀 함수는 정수에서 정수로 가는 부분 함수이다. 많은 재귀 함수의 경우 실제로 전체인지 아닌지를 결정하는 알고리즘은 존재할 수 없다.

기능에 화살표 표기법을 사용하는 경우 X$(\displaystyle$ X$)$에서$$Y(\$displaystyle$Y)까지의$$ 부분 $함수{\displaystyle }$f(\$displaystyle$ f$)$는 f${\displaystyle :}$ ${\displaystyle Xy}$Y$,$ {$displaystyle$ f$:$${\displaystyle X}$$\rightharpounup Y$$,}$ $f$${\displaystyle :}$ X $y{\displaystyle }$ Y, {$displaystyle$f: $X$Y, \ $row}$ 로 쓰이기도 합니다.$X$$\hook$ rightarrow $Y$. } 단, 일반적인 규칙은 없으며 주입 함수에는 후자의 표기가 ^{[citation needed]}더 일반적으로 사용됩니다.

구체적으로는 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$$y$ Y$$,${\displaystyle }$\ $displaystyle$$f$ :$X$ \ $rightharpounup Y$,$$} 및 임의의 $x{\displaystyle }$X$$에 $대해 다음$ 중 하나가 있습니다.

• ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ ) $=$ ${\displaystyle yy}$Y {\$displaystyle$ f$(x$)=$y\in$Y}($$Y의 단일 요소) 또는
• ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$) {$displaystyle$ f$(x)}$는 정의되지 않았습니다.

예를 들어 f$\displaystyle$f가$$ 정수로 제한된 제곱근 함수인 $경우{\displaystyle }$

${\displaystyle f}$: ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle \to N\mathbb{}}$, {\$style$ f$:\mathbb {Z}$ \$to \mathbb {N} ,}$는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle }$${\displaystyle {f\mathrm{}}^{}}$${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ) ${\displaystyle =}$ ($m$ 2 ${\displaystyle {}^{}n}$ ,$${ $displaystyle$$$m$^{2$} $= n$ , } $m$${\displaystyle n\mathbb{}}$N , ${\displaystyle nz\mathbb{}}$Z$$, \ $displaystyle$m \ $in$\ $mathbb${$N$} ,$n$ \ $in$\$mathbb${ $Z }$ , n \ in \ mathbbb { Z } , n , n , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$)$${$displaystyle$ f$(n)}$는$$n {$displaystyle$ n$}$이 완전한 정사각형일 $경우$에만 정의됩니다($즉{\displaystyle \mathrm{}}$, 0$, 1$,${\displaystyle 4}$,$9$ \$display style }).$$따라서{\displaystyle }$ f${\displaystyle (25)}$ $=$ $(style$$f($$25$)=$5)$이지만${\displaystyle }$f(26$)$는 정의되지$$ 않았습니다.

기본 개념

주입식 부분 함수의 예입니다.

주입되지 않은 함수의 예입니다.

부분 함수는 집합 X 전체에 정의되지 않을 수 있는 두 집합 X와 Y 사이의 맵을 고려함으로써 발생합니다.일반적인 예로는 실수$R$의 제곱근 연산(\$displaystyle \mathbb {R$ 음의 실수에는 실수 제곱근이 없기 때문에 R$(\$부터 R$(\displaystyle \mathbb$ {$R})$까지의 부분함수로 볼 수 있습니다.\displaystyle \mathb {$R$}의 정의 영역입니다.al 함수는 부분 함수가 정의되는 X의 부분 집합 S이다. 이 경우 부분 함수는 S에서 Y까지의 함수로 볼 수도 있다.제곱근 연산 예에서는 세트S는 음이 아닌 실수${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ,}$+ ${\displaystyle ]}$으로 구성됩니다$.\$ $display style$ [ 0 , + \ $infty$]$}$

부분 함수의 개념은 정의의 정확한 영역을 알 수 없거나 심지어 알 수 없는 경우에 특히 편리합니다.후자의 컴퓨터 과학 예에 대해서는 문제 정지를 참조하십시오.

정의 S의 도메인이 집합 X 전체와 같으면 부분 함수는 전체라고 한다.따라서 X에서 Y까지의 총 부분 함수는 X에서 Y까지의 함수와 일치합니다.

함수의 많은 특성은 부분 함수의 적절한 의미로 확장될 수 있습니다.부분함수는 정의영역에 대한 부분함수의 제한에 의해 주어지는 함수가 각각 주입, 주관, 비주사일 때 주입 또는 비주사라고 한다.

함수는 그 화상에 한정되어 있을 때 3차적으로 사출되기 때문에 부분사출이라는 용어는 사출되는 ^[1]부분함수를 나타낸다.

주입 부분 함수는 주입 부분 함수로 반전되어도 되며, 주입 및 피사체 양쪽의 부분 함수는 역주사 함수를 가진다.또, 사출하는 기능을 사출 부분 함수로 반전해도 좋다.

변환의 개념은 부분 함수로도 일반화될 수 있습니다.부분 변환은 함수${\displaystyle }f{\displaystyle }$ : ${\displaystyle Ab}$B$$, \$displaystyle$ f$:$ 입니다.$A\rightharpoonup$ B$.$ 여기서$$A(\$displaystyle$ A$)$와 B$(\displaystyle$ B$)$는 모두 X$(\displaystyle$ X)의 서브셋입니다$.$

함수 공간

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 부분 $함수{\displaystyle }$f : X${\displaystyle }$${\displaystyle y}$$$Y${\displaystyle }$\ $displaystyle$ $X$$$$to$$$ Y \ displaystyle Y$$\ $display style$ Y${\displaystyle }$,$\backslash {\displaystyle }$ $displaystyle [$X${\displaystyle }$$\$ $rightharpoonup Y ]$로 표시되는 세트${\displaystyle }$X 에서 $정의$된 모든 기능의 집합입니다$.$$aystyle$ Y$\}:$

${\displaystyle [X\rightharpoonup Y]=\bigcup _{D\subseteq {X}}[D\to Y],$

후자는$\underset{}{}$「$\underset{}{Dx}{}^{}$ X Y $D^{}$」로도 표기됩니다$.{$ $textstyle$\$bigcup$_ {$D$ \ $subseteq${ $X$} $Y^$ { $D$} } 유한한$$ 경우 카디널리티는 다음과 같습니다.

${\displaystyle [X\rightharpoonup Y] =( Y + 1)^{ X }$

어떤 부분함수도 Y$,\displaystyle$ Y$,\$displaystyle Y$,\{$c$\}$에 $포함$되지 않은 $고정값{\displaystyle }$c,\$displaystyle$ Y,\displaystyle Y,\{c\}에$$ 의해 확장될 수 있기 때문에 코드메인은 Y ${\displaystyle \{}$ {$},\displaystyle$Y,\$cup \{$c\}가$$ $됩니다{\displaystyle }$.

토론과 예시

문서 맨 위에 있는 첫 번째 다이어그램은 왼쪽 집합의 요소 1이 오른쪽 집합의 어떤 것과도 관련이 없기 때문에 함수가 아닌 부분 함수를 나타냅니다.반면 두 번째 다이어그램은 왼쪽 세트의 모든 요소가 오른쪽 세트의 정확히 하나의 요소와 연관되어 있기 때문에 함수를 나타냅니다.

자연 로그

자연 로그 함수가 실수를 매핑하는 것을 고려해 보십시오.양수가 아닌 실수의 대수는 실수가 아니기 때문에 자연 로그 함수는 코드메인의 어떤 실수도 도메인의 어떤 양수가 아닌 실수와 연관시키지 않습니다.따라서 자연대수함수는 실함수에서 실함수로 볼 때 함수가 아니라 부분함수이다.영역이 양의 실만을 포함하도록 제한되면(즉, 자연 로그 함수가 양의 실수에 대한 함수로 간주되면), 자연 로그는 함수입니다.

자연수의 뺄셈

자연수(음수가 아닌 정수)의 감산은 부분 함수로 볼 수 있습니다.

$\displaystyle f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightharpoonup \mathbb {N}$

$(\displaystyle f(x,y)=x-y)$

이 값은 x ${\displaystyle y}$y$$. { $displaystyle x\geq$ y$$}의 $경우$에만 정의됩니다.

하단 요소

표현적 의미론에서 부분 함수는 정의되지 않은 경우 하위 요소를 반환하는 것으로 간주됩니다.

컴퓨터 과학에서 부분 함수는 예외를 발생시키거나 영원히 루프를 일으키는 서브루틴에 해당합니다.IEEE 부동소수점 표준은 부동소수점 연산이 정의되지 않고 음수의 제곱근 등이 요구될 때 예외가 억제될 때 반환되는 not-a-number 값을 정의합니다.

함수 파라미터가 정적으로 입력되는 프로그래밍 언어에서는 언어의 유형 시스템이 함수의 정확한 도메인을 표현할 수 없기 때문에 함수를 부분 함수로 정의할 수 있으므로 프로그래머는 대신 유형으로 표현 가능하며 함수의 정의 도메인을 포함하는 최소 도메인을 부여한다.

범주 이론에서

범주론에서 형태론 조성의 구체적 범주에서의 연산을 고려할 때, 합성 연산${\displaystyle }$θ : ${\displaystyle \mathrm{hom}c}$(${\displaystyle }$C ) × ${\displaystyle \mathrm{hom}}$（ C ${\displaystyle ）\to }$ ${\displaystyle \mathrm{hom}}$ （ C ） （ C$$） \ $displaystyle \times \hom(C)\to \hom(C)\$display C$C$)\to \hom(C)\display c)가 $다음$과 같은 경우에 한하여 성립한다$.$그 이유는 두 가지 형태 $f{\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:X\to$ Y$}$ $및$ g${\displaystyle :}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ g$:$U$\to$V는$$ Y ${\displaystyle =U}$ ,$${$displaystyle$ Y$=U,$ 즉$$$f$의 $코드{\displaystyle }$ 도메인이${\displaystyle }$g$$. {$displaystyle$$$g}의 도메인과 같아야 하는 $경우$에만 g ${\displaystyle \circ }$ { $displaystyle g$ $}$로 구성할 수 $있습니다$$.$

집합 및 부분 함수의 범주는 점 집합 및 점 보존 ^[2]지도의 범주와 동일하지만 동일하지는 않다.한 교과서는 "특히 위상(원포인트 콤팩트화)과 이론 컴퓨터 ^[3]과학에서 "오퍼", "무한" 요소를 추가함으로써 집합과 부분 지도의 공식적인 완성은 여러 번 재창조되었다"고 언급하고 있다.

집합과 부분 분사의 범주는 이중 ^[4]분사와 동일합니다.이것은 프로토타입의 ^[5]역 범주입니다.

추상 대수학에서

부분대수는 보편대수의 개념을 부분연산으로 일반화한다.예를 들어, 곱셈 반전이 유일한 적절한 부분 연산인 필드를 들 수 있습니다(0으로 나눗셈을 ^[6]정의하지 않았기 때문입니다.

모든 부분 기능의{X\displaystyle,}정기적으로 반군 모두 부분 변환(또는 X에서 부분 변환 준군{X\displaystyle})의 반군이라고 불리는, 일반적으로 PTX에 의해 표시된 형성하고 주어진 기본 세트, X,에 그 세트(부분 변환).{\displaystyle{{PT\mathcal}}_{X}.}[7][8][9]그 sX$(\displaystyle$ X$)$의 모든 부분 분사의 et는 대칭 역반군을 ^[7][8]형성한다.

매니폴드 및 섬유 번들 차트 및 지도

다지관 및 섬유다발 구조를 규정하는 도표 내의 차트는 부분 함수이다.다지관의 경우 도메인은 다지관의 점 집합입니다.파이버 번들의 경우 도메인은 파이버번들의 공간입니다이러한 응용 프로그램에서 가장 중요한 구조는 전환 맵으로, 하나의 차트와 다른 차트의 역수를 합성한 것입니다.다지관과 섬유다발의 초기 분류는 주로 이러한 전이 맵의 제약조건으로 표현된다.

함수 대신 부분 함수를 사용하는 이유는 글로벌 구조를 설명하기 위해 로컬 패치를 결합함으로써 일반적인 글로벌토폴로지를 나타낼 수 있도록 하기 위해서입니다."패치"는 차트를 정의하는 도메인입니다.

「 」를 참조해 주세요.

기능.
x µ f(x)
도메인 및 코드 도메인의 예
${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{B}}${\$displaystyle \mathbb {B$ $\displaystyle \mathbb {B}$ → $(디스플레이 스타일$ X$),$ $\displaystyle \mathbb {B} ^{n}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ $\$ $\displaystyle \mathbb {Z}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{R}}$ $\$ $\displaystyle \mathbb {R}$ → $(디스플레이 스타일$ X$),$ $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ → $\$ $\displaystyle \mathbb {C}$ → $(디스플레이 스타일$ X$),$ $\displaystyle \mathbb {C} ^{n}$ → ${\displaystyle X}$
클래스/속성
일정한 신원 선형 다항식 합리적인 대수적 분석 매끄러운 계속되는 측정 가능 주입식 주관적 바이젝티브
구성
제한 구성. λ 역
일반화
부분적 복수치 암묵적 공간
v t

• 분석 계속 – 분석 함수 영역 확장(수학)
• 다중값 함수 – 각 입력에 대해 여러 출력을 생성할 수 있는 함수의 일반화
• 조밀하게 정의된 연산자 – 거의 모든 곳에서 정의된 함수(수학)

레퍼런스

• 마틴 데이비스(1958), 맥그로-힐북컴퍼니, 뉴욕주1982년에 도버에 의해 재발행되었다.ISBN 0-486-61471-9.
• Stephen Kleene(1952), North Holland Publishing Company, North Holland Publishing Company, Meta-Mathematics 입문, 네덜란드 암스테르담, 7번째 인쇄에 수정이 추가된 10번째 인쇄(1974년).ISBN 0-7204-2103-9.
• 해롤드 S. Stone(1972), McGraw-Hill Book Company, New York, Computer Organization and Data Structures 소개.