아크 루팅

아크 라우팅 문제(ARP)는 일반 라우팅 문제(GRP)의 한 범주로 노드 라우팅 문제(NRP)도 포함합니다.ARP와 NRP의 목적은 각각 그래프의 가장자리와 노드를 횡단하는 것입니다.^[1]아크 라우팅 문제의 목적은 총 거리와 시간을 최소화하는 것이며, 이는 종종 데드헤드 시간, 목적지에 도달하는 데 걸리는 시간을 최소화하는 것을 수반합니다.아크 라우팅 문제는 도로에 소금을 뿌리는 동계 서비스 차량으로 쓰레기 수거, 통학버스 노선 계획, 포장 및 신문 배달, 제설 및 제설,^[2] 우편물 배달, 네트워크 유지보수, 도로 청소, 경찰 및 경비원 순찰,^[1] 제설 작업 등에 적용할 수 있습니다.^[3][4]경로 문제는 다항식 시간에 해결할 수 있는 경로 검사 문제와 달리 NP 하드입니다.

아크 라우팅 문제 해결의 실제 예시로 크리스티나 R.델가도 세르나와 호아킨 파체코 보노스트로는 근사 알고리즘을 적용하여 스페인 부르고스 지방의 중등학교 시스템에서 가장 좋은 통학버스 노선을 찾았습니다.연구원들은 먼저 이동하는 데 60분 이상 걸리는 경로의 수를 최소화했습니다.그들은 또한 최대 차량 수가 고정되어 있는 가장 긴 경로의 지속 시간을 최소화했습니다.^[5]

여러 집배원을 소개하는 아크 라우팅 문제의 일반화가 있습니다. 예를 들어 k 중국 집배원 문제(KCPP)가 있습니다.

배경

차량의 효율적인 스케줄링과 라우팅을 통해 업계와 정부는 매년 수백만 달러의 비용을 절감할 수 있습니다.^[2][6]아크 라우팅 문제는 학교 버스 계획, 쓰레기 및 쓰레기 수거, 우편 배달원 및 우편 서비스의 우편 및 소포 배달, 겨울철 도로 안전을 위한 겨울용 그릿팅 및 소금 깔기, 제설 및 제거, 원격 무선 주파수 식별 검침 기술을 포함한 검침 등에 적용됩니다.벌목, 도로 정비 및 소탕, 경찰 순찰차 경로 계획 등.

근거

기본적인 라우팅 문제는 차량에 의해 서비스될 노드 및/또는 아크 세트가 주어지면 각 차량이 차고에서 출발하고 끝나는 경로를 찾는 것입니다.차량 경로는 차량이 창고에서 출발하고 끝나는 순서대로 통과해야 하는 일련의 지점 또는 노드입니다.^[2]

중국집배원문제

중국 집배원 문제(CPP)는 한 집배원의 최소 길이 주기를 찾는 것을 목표로 합니다.CPP는 모든 에지를 한 번씩 횡단해야 하며, 시골집배원 문제(RPP)는 최소 길이 주기로 횡단해야 하는 에지의 부분 집합이 필요합니다.^[1]

차량 라우팅 문제/VRP

아크 라우팅 문제는 전략적, 전술적, 운영 계획 결정에 영향을 미칩니다.디포를 배치하는 위치의 전략적 역할은 사용 가능한 가장 효율적인 아크 경로에 따라 달라집니다.다양한 사양의 차량 비행대 크기 및 차량 유형의 결정은 운영 연구에서 아크 라우팅 문제의 전술적 측면과 관련이 있습니다.라우팅 및 스케줄링 결정은 아크 라우팅 문제에서 운영 계획 결정입니다.운영 계획 결정에는 직원의 결정에 따라 작업자가 차량을 사용하는 시간도 포함됩니다.^[2]창고 위치에 대한 차량 경로 결정은 지리적 지역을 통해 자재를 운송하는 비용에 따라 달라집니다.Bodin 등은 차량 경로를 다이얼 라이드 문제에 적용했습니다.^[7]

시골집배원문제

일부 상황에서는 필요한 가장자리 집합이 그래프의 가장자리와 다릅니다.이는 RPP(Rural Postman Problem)에 의해 모델링되며,^[1] 여기서 필요한 에지는 에지 시스템의 부분 집합입니다.

알고리즘

중국집배원문제(CPP), 바람이 많이 부는 집배원문제(WPP), 시골집배원문제(RPP), k-중국집배원문제(KCPP), 혼합중국집배원문제(MCPP), 지시중국집배원문제(DCPP),^[8] 활강쟁기문제(DPP), 선행쟁기프로blem(PPP), Windy Rural Postman Problem(WRPP), Windy General Routing Problem(WGRP)은 휴리스틱 최적화 방법, 분기 및 경계 방법, 정수 선형 프로그래밍을 포함한 사려 깊은 수학적 개념을 사용해야 하며 Holded-Karp 알고리즘과 같은 여행 판매원 문제 알고리즘의 적용은 개선을 만듭니다.$O{\displaystyle (n!)}$ ${\displaystyle O(n!)}$에서 $O{\displaystyle ({2n}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle$ O$(2^{n}n^{2}})}$까지 이러한 종류의 문제는 절단면 알고리즘, 볼록 최적화, 볼록 선체, 라그랑주 승수 및 기타 동적 프로그래밍 방법으로도 해결할 수 있습니다$.$^[9]높은 계산 복잡도로 인해 Holded-Karp 알고리즘을 실행할 수 없는 경우, 이와 같은 알고리즘을 사용하여 솔루션을 합리적인 시간 내에 근사화할 수 있습니다.^[10]

오일러 회로

아크 라우팅 문제 영역에 대한 최초의 문서화된 언급은 오일러가 불가능하다고 증명한 쾨니히스베르크 도전의 고전적인 다리입니다.^[4]현재 칼리닌그라드의 일부인 쾨니히스베르크의 주민은 프레겔 강 위의 다리 7개를 역주행하거나 발걸음을 되돌리지 않고 모두 건널 수 있는 방법을 찾고 싶었습니다. 각 다리를 한 번, 한 번만 건너는 것입니다.1736년 오일러는 문제를 마디와 모서리의 문제로 줄이고 문제가 불가능하다는 것을 보여주었습니다.1873년, 히어홀저는 폐쇄회로 문제에 더 많은 연구를 했습니다.^[4]

오일러 회로에 대한 연구는 1953년 7월 1일 사이언티픽 아메리칸에 의해 대중화되었습니다.^[11]이 작업은 샹툰 사범대학의 관메이코(Kwan Mei-Ko)라고도 알려진 메이구관(Meigu Guan)에 의해 확장되었습니다.메이구관은 폐쇄회로를 결정하는 대신 다른 질문에 관심이 있었습니다.Guan은 그래프의 모든 가장자리를 가로지르는 최소 길이의 걷기를 적어도 한 번은 찾으려고 했습니다.1962년 관(關)은 그의 목표를 다음과 같이 설명했습니다: "우편배달부는 우체국으로 돌아가기 전에 자신이 할당한 부분을 담당해야 합니다.문제는 집배원이 걸어갈 수 있는 가장 짧은 거리를 찾는 것입니다."^[4]

문제유형

아크 라우팅 문제(ARP)는 목표와 휴리스틱에서 차이가 있습니다.하지만 모두 NP-하드인 것으로 알려져 있습니다.

무향 농촌 집배원 문제

이 문제는 우편물 배달원과 그가 선택할 수 있는 모든 순서로 우편물을 배달하는 도전에서 이름을 따온 것이지만, 시간이나 이동 거리와 같은 비용은 최소화했습니다.그것은 또한 간접적인 중국 우체부 문제라고도 불립니다.무방향 시골집배원 문제(URPP)는 전체 네트워크를 매핑하는 경로, 더 구체적인 경우 서비스가 필요한 모든 에지를 매핑하는 경로의 총 비용을 최소화하는 것을 목표로 합니다.전체 네트워크를 매핑해야 하는 경우 전체 네트워크를 매핑하는 경로를 커버링 투어(covering tour)라고 합니다.특정 에지만 매핑하면 되는 경우, 문제는 요구 사항을 최적화하는 경로를 최소 횟수로 교차하여 해결하는 것을 목표로 합니다.

무방향 정전식 아크 라우팅 문제

무방향 용량 아크 라우팅 문제는 가장자리에 배치된 요구사항으로 구성되며, 각 가장자리는 요구사항을 충족해야 합니다.예를 들어 가비지 컬렉션(garbage collection)이 있습니다. 각 경로에는 가비지 컬렉션과 재활용 컬렉션이 모두 필요할 수 있습니다.실생활 애플리케이션에서 타이밍이나 스케줄링 충돌로 인해 특정 경로를 서비스할 수 없는 경우와 같은 타이밍 문제가 발생하거나 제한된 기간과 같은 제약 조건이 있는 경우 문제가 발생할 수 있습니다.이 문서에서 설명하는 휴리스틱은 응용 프로그램 제약으로 인해 발생하는 문제를 무시합니다.

역사

URPP는 1974년에 처음 도입되었으며 렌스트라와 칸에 의해 NP-하드 문제임이 입증되었습니다.UCARP는 URPP로부터 유도될 수 있으므로 NP-hard이기도 합니다.1981년에 또 다른 컴퓨터 과학자인 Golden과 Wong은 URPP에 .5 근사치를 도출하는 것조차 NP-hard임을 증명했습니다.2000년, Dror는 다양한 아크 라우팅 문제를 설명하는 책을 출판했습니다.

바람이 많이 부는 우체부 문제 및 유형

Minieka가 제안한 바람 부는 우체부 문제는 경로 검사 문제의 변형으로, 입력이 무방향 그래프이지만 각 가장자리가 한 방향으로 통과하는 비용과 다른 방향으로 통과하는 비용이 다를 수 있습니다.^[13]유향 그래프와 무향 그래프의 솔루션과는 달리 NP-완전입니다.^[14][15]한 방향으로 이동하는 비용은 바람이 등에 있을 때보다 얼굴에 부는 경우가 더 큰데, 이것이 윈디 포스트맨 문제라는 이름의 유래입니다.한 방향으로 길을 건너는 작업은 바람이 부는 날 다른 방향으로 길을 건너는 작업과 다릅니다.^[8]

바람 부는 우체부 문제는 혼합 중국 우체부 문제 MCPP를 특수한 경우로 포함하는 아크 라우팅 문제(ARP)입니다.^[16]

이 문제는 다음과 같은 방식으로 정의할 수 있습니다. "두 개의 음이 아닌 비용 ${\displaystyle {ci,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle c_{i,j}$ 및 ${\displaystyle {cj,}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle$ c_{$j$,$i},$ 각$$에지 {$,$}${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle$ $c_$${j$,$i$$}$와 $연결된 그래프$G=(V,E)가 주어지면 각각 i에서 j로, j에서 i로 이동하는 비용에 해당합니다., WPP는 G가 각 가장자리를 한 번이라도 횡단하는 최소 비용 투어를 찾는 것입니다."^[16]이 문제는 Minieka에 의해 소개되었습니다.WPP는 일반적으로 NP-완전이며 G가 오일러, G의 모든 사이클의 두 반대 방향의 비용이 동일하거나 G가 직렬-병렬 그래프인 경우 다항 시간 내에 해결될 수 있습니다.Windy Rural Postman Problem(WRPP)은 그래프의 모든 에지가 아닌 필요한 에지의 주어진 부분 집합에 있는 에지만 횡단해야 하는 WPP의 일반화입니다.예를 들어, 어떤 시골길은 집배원이 건널 필요가 없고, 어떤 가파른 언덕길은 아래로 가는 것보다 위로 올라가는 데 더 오래 걸립니다.^[10]

Windy Rural Postman Problem(WRPP)은 그래프의 모든 에지가 아닌 필요한 에지의 주어진 부분 집합에 있는 에지만 횡단해야 하는 WPP의 일반화입니다.예를 들어, 어떤 시골길은 집배원이 건널 필요가 없고, 어떤 가파른 언덕길은 아래로 가는 것보다 위로 올라가는 데 더 오래 걸립니다.^[10]i와 j로 시작하는 모서리$$(${\displaystyle i,}$ j${\displaystyle )}$ {\$displaystyle c_{ij}$와 ${\displaystyle {\mathrm{cj}}_{}}$ {\displaystyle c_{$ji$}로 $시작$하는 모서리 (i, j$)$ ${\displaystyle$c_${$$ji})$를 횡단하는 비용과 관련된 두 가지 비용이 ${\displaystyle {\mathrm{있는}}_{}}$ 무방향 그래프 $G$ = $,$$$${\displaystyle V}$} {\displaystyle G=\$displaystyle$G=\{E$,V\}$를 생각해 보십시오.G는 바람이 부는 그래프이며 간선의 부분집합 또는 수학 기호 ${\displaystyle {ER}_{}}$ ⊆ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{R}\subseteq E}$에 관심이 있습니다$.$

${\displaystyle {WRPP}_{}}$에 VR ⊆ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{R}\subseteq V}$과(와) 특정 정점 집합을 방문해야 하는 추가 제약 조건이 포함된 경우 문제는 WGRP(Windy General Routing Problem)로 바뀝니다$.$Benavent는 WRPP를 위한 정수 선형 프로그래밍 공식과 다양한 휴리스틱 및 하한을 제안했습니다.

Benavent 등은 중간 크기 그래프의 하한에서 1% 이하의 편차로 몇 초 만에 WRPP를 해결하는 데 사용된 여러 휴리스틱 방법에 대한 평가를 발표했습니다.그들은 그 차이를 0.5%로 줄이는 스캐터 검색 알고리즘으로 이를 개선했습니다.스캐터 서치는 수백 개의 노드와 수천 개의 에지를 가진 네트워크에서 구현했을 때 2% 미만의 편차를 보이는 솔루션을 발견했습니다.^[9]

실제 응용 분야에서는 이동할 수 있는 차량이 여러 대 존재하며, 이는 Min-Max K-차량 윈디 시골집배원 문제(MMK-WRPP)로 명명된 일반화로 이어집니다.최소-최대 K-차량 바람 부는 시골 우체부 문제(MM K-WRPP)는 다음과 같이 정의됩니다. 바람 부는 그래프 $G$ =${\displaystyle }${${\displaystyle V}$, E${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$G =\{$V,$ E$\},$ 구별된 꼭짓점$,$ $1$ ∈ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1\in V},$ 창고$,$ 필요한 간선의 부분 집합 E ${\displaystyle R_{}}$ ⊆ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{R}\subseteq E$ 그리고 고정된 차량 수 K가 주어졌을 때,MM K-WRPP는 각 투어가 차고에서 시작 및 종료되고 각 필요한 에지가 단 한 대의 차량에 의해 서비스되는 방식으로 차량용 K 투어 세트를 찾는 것으로 구성됩니다.목적은 차량의 균형 잡힌 경로를 찾기 위해 가장 긴 투어 기간을 최소화하는 것입니다.최소-최대 목표를 가진 라우팅 문제의 실제 응용 분야로는 스쿨버스 라우팅(Delgado and Pacheco 2001), 고객에게 신문을 배달(Applegate et al. 2002), 폐기물 수집(Lacomme et al.) 등이 있습니다.2004).^[10]

가장 좋은 MM K_WRPP 알고리즘은 2대와 3대의 차량으로 평균 0.4% 미만으로 최소 솔루션에 매우 근접했습니다.격차는 4, 5 차량에서 약 1.00%, 1.60%로 증가합니다.

Dussault 등과 Benavent 등에 따르면, 메타 휴리스틱 다중 목적 시뮬레이션 어닐링 알고리즘(MOSA)은 WRPP에 부과되는 다양한 제약을 해결할 수 있습니다.WRPP는 단일 차량의 많은 아크 라우팅 문제를 일반화하는 중요한 아크 라우팅 문제입니다.수학의 실제 응용에서는 모든 차량 경로의 총 비용과 최장 여행 기간을 최소화하는 솔루션이 선호됩니다.택배가 항상 몇 시간씩 지연되는 곳에 있기란 어렵습니다.^[8]우리는 고객에게 서비스를 제공할 수 있는 특정한 측정 가능한 용량을 가진 여러 차량이 측정 불가능한 무한 용량을 가진 한 차량보다 더 현실적이라는 가정에서부터 시작해야 합니다.Rabbani et al. al.은 Multi-objective Cuckoo Search라고도 하며 ^[17]MOCS로 축약된 Yang et al.이 개발한 Cuckoo Search의 다목적 개발을 사용하여 MOSA 알고리즘과 모델의 성능을 측정했습니다.^[8]그들은 MOSA 방법이 MOCS 방법보다 더 효율적이라고 결론지었습니다.향후 비지배적 정렬 유전 알고리즘(NSGA-), 다중 목적 입자 군집 최적화 알고리즘(MOPSO) 및 다중 목적 제국주의 경쟁 알고리즘을 포함한 다른 메타 휴리스틱 방법과의 비교가 연구될 수 있습니다.

WPP(Windy Postman Problem) 모델에서는 한 방향으로 가는 비용이 다른 방향으로 가는 비용과 다릅니다.예를 들어, 만약 바람이 거리를 따라 불어오고 있다면 바람보다 바람을 거스르는 데 더 많은 시간과 에너지가 필요합니다.WPP의 또 다른 예는 오르막을 경작하는 비용이 내리막을 경작하는 비용보다 더 높다는 것입니다.^[3]이것은 Dussault 등이 연구한 DPP(Download Plowing Problem)의 변형 모델에 의해 모델링되었습니다.^[3]

바람이 많이 부는 우체부 문제를 위해 Angel Corberan이 분기 및 절단 알고리즘을 발표했습니다.알고리즘은 홀수 컷 부등식 위반을 조작하기 위한 휴리스틱 및 정확한 방법을 기반으로 합니다.^[16]

적용들

평면 그래프에서 최대 절단을 찾고 무방향 그래프에서 최소 평균 길이 회로를 찾는 등 다양한 조합 문제가 중국 우체부 문제로 감소했습니다.^[18]

제설기

겨울철에 가장 작은(최소) 최대 경로 길이를 갖는 경로 집합은 무엇입니까?일반적으로 이는 그래프의 아크 라우팅 문제로 평가됩니다.데드헤드 타임(deadhead time)으로 알려진 거리를 이동하는 데 걸리는 시간은 거리에서 눈을 가는 데 걸리는 시간(또는 우편물 또는 소포를 배달하는 데 걸리는 시간)보다 빠릅니다.제설기에 아크 루팅을 적용할 때 반드시 고려해야 하는 또 다른 측면은 가파른 길에서는 오르막을 갈아타기가 어렵거나 불가능하다는 사실입니다.목적은 가파른 길에서 오르막길을 가는 것을 피하는 경로로, 데드헤드 시간을 극대화하여 작업을 더 빨리 완료하는 것입니다.이것은 Dussault, Golden 및 Wasil의 하한에 근접하는 휴리스틱 알고리즘으로 모델링되었습니다.^[3]이것이 내리막길 쟁기 문제(DPP)입니다.스노우 팀들은 내리막길과 데드힐 오르막길을 갈기를 선호합니다.이 문제는 거리가 폐쇄되고 교통체증이 없을 정도로 상태가 심각하다고 가정합니다.

내리막길 쟁기 문제는 눈이 너무 깊으면 제설기가 도로를 막지 못한다는 합리적인 가정 하에 만들어진 선행 쟁기 문제(PPP)를 무시합니다.DPP는 눈 높이가 충분히 낮아 경작되지 않은 거리는 막힐 수 있지만, 눈 깊이가 깊어 차량 통행이 없을 것으로 추정하고 있습니다.도로에 차가 막히면 오르막길을 갈 수 없다는 가정은 더 이상 유지할 수 없습니다.향후 그래프 이론 및 아크 라우팅 연구의 주제인 DPP 막다른 길에 대한 시뮬레이션은 약 5%의 시간을 차지합니다.

무방향 그래프 $G$ =${\displaystyle }${${\displaystyle V,}$ A ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$G =\{$V,A\}$ 여기서 $V$ ${\displaystyle V}$는 정점과 노드의 집합이고 $A$ ${\displaystyle A}$은 호의 집합입니다.$({\displaystyle {vi}_{}}$ ${\displaystyle {vj}_{}}$ ${\displaystyle(v_{i},v_{j}}}$로 표시되는 각 호에는$$ ${\displaystyle {vi}_{}}$ ${\$에서 ${\displaystyle {vj}_{}}$ ${\$까지의$$쟁기 비용으로 정의되는$$$ci{\displaystyle {}_{}^{}}$ j${\displaystyle {}_{}^{}}$+${\$${\displaystyle {vj}_{}}$ ${\$에서 ${\displaystyle {vi}_{}}$ ${\$까지의 쟁기 비용으로 정의되는 ci j + {\$displaystyle c_{$i},$$${\displaystyle {\mathrm{ci}}_{}^{}}$ j -${\$$aystyle c_{ij}^{-},$${\displaystyle {vi}_{}}$ ${\$에서 ${\displaystyle {vj}_{}}$ ${\$$}}$까지의 데드헤딩 비용$,$ ${\displaystyle {\mathrm{cji}}_{}^{}}$ -${\$$ji$$}^{-},$${\displaystyle {vj}_{}}$ ${\$$i}}$까지의 데드헤딩 비용.${\displaystyle {vj}_{}}$ ${\displaystyle v_{j}}$의 표고 ${\displaystyle {vi}_{}}$ ${\displaystyle v_{i}$가 더 높다고 가정합니다$.$ 그러면 ${\displaystyle {\mathrm{ci}}_{}^{}}$ j +${\displaystyle {}_{}^{}}$≫ ${\displaystyle {\mathrm{cji}}_{}^{}}$ +${\displaystyle {}_{}^{}}$≫ ${\displaystyle {ci}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}}$≥ ${\displaystyle {\mathrm{cji}}_{}^{}}$- ${\displaystyle c_{ij}^{+}\g c_{ji}^{+}\g c_{ij}^{-}\geq c_{ji}^{-}.$ 실제로$,$내리막 쟁기 시간은 오르막 쟁기보다 2배 더 효율적이고 데드헤드는 쟁기보다 2배 더 효율적입니다.$알고리즘$은 k개의$${\$displaystyle k}$ 경로가 depot v0$$ ${\$에서 시작하고 끝날 것임을 발견합니다$.$ 거리의 왼쪽과 오른쪽에서 두 번의 패스를 사용하여 호를 갈아엎습니다.

최선의 해결책은 최대 경로 길이를 최소화할 것입니다.Dussault, Golden 및 Wasil은 80회 이상의 테스트 실행에서 하한을 5.5% 초과하지 않는 알고리즘을 발견했습니다.모델이 성장함에 따라 최적화되지 않은 근사치가 최적화된 근사치보다 더 많기 때문에 모델의 복잡성이 증가함에 따라 편차가 증가했습니다.Dussault et al. 의 DPP 알고리즘을 개선하면 U턴과 좌회전을 하거나 교차로를 가로질러 직진할 때 각각 추가 시간이 걸리고 눈을 교차로 중간으로 밀어내는 벌칙이 발생할 수 있습니다.(아래에서는 DRPP-TP라고도 함). 턴 패널티가 있는 시골집배원 문제를 참조하십시오.)

k-중국집배원문제(k-CPP)

k-중국 우편 배달원은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다: "연결된 에지 가중치 그래프 G와 정수 p 및 k가 주어지면 G의 모든 에지가 적어도 하나에 포함되고 워크의 에지 총 중량이 최대 p가 되도록 최소 k개의 닫힌 워크가 있는지 결정하십시오."k-CPP의 솔루션을 구하는 과정은 NP 완료되었습니다.Gutin, Muciaccia, 그리고 Yeo는 2013년에 k-CPP가 고정 파라미터로 다루기 쉽다는 것을 증명했습니다.^[19]저자들은 k-CPP가 $O{\displaystyle ({k2}^{}}$ ${\displaystyle \log }$⁡${\displaystyle O(k^{2}\log(k))}$개의 정점을 가진 커널을 승인하고 k-CPP의 지시된 버전이 NP 완성임을 증명합니다.

농촌 집배원 문제(RPP) 및 일반화

시골집배원 문제(RPP)는 일부 경로를 필수적이고 절대적으로 만들지만 그래프를 횡단하는 사람이 한 특정 방향으로 갈 필요는 없습니다.RPP는 kCPP, DPP, PPP가 NP 하드인 것과 동일하게 NP 하드이고 완전합니다.베네반트는 턴 패널티(DRPP-TP)라는 이름의 이 농촌 우체부 문제의 일반화를 연구했습니다.^[20]베네반트의 알고리즘은 DRPP-TP를 비대칭 여행 세일즈맨 문제(ATSP)로 변환하여 해결책을 근사화했습니다.

휴리스틱과 알고리즘

대부분의 알고리즘은 필요한 두 에지 사이의 최단 경로에 있지 않은 모든 에지를 제거하여 초기 그래프를 단순화하는 그래프의 전처리를 필요로 합니다.사전 처리가 추가하는 또 다른 단순화는 경로에 필요한 에지가 없는 경우 경로에 있는 에지의 수에 관계없이 필요한 에지 2개 사이의 최단 경로를 필요 없는 단일 에지로 변환한다는 것입니다.

사전 처리가 끝나면 문제는 선체의 점이 되는 볼록 선체 문제로 일반화될 수 있습니다.볼록 선체 문제는 선형 프로그래밍이나 볼록 선체 알고리즘을 통해 해결할 수 있지만, 볼록 선체를 찾는 과정은 기하급수적인 문제입니다.

전처리가 끝난 후 URP를 해결하는 방법은 절단면 알고리즘과 분기&컷 방법론으로 구성됩니다.

복잡성

이것은 다양한 아크 라우팅 문제에 대한 계산 복잡도 목록입니다.

CP 변형	고전적 복잡성	근사	모수화된 복잡도
무방향	${\displaystyle O}$( ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$) ${\displaystyle O($V$^{3})}$ - 시간$$ 알고리즘[22]
연출된	${\displaystyle O}$( ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$) ${\displaystyle O($V$^{3})}$ - 시간$$ 알고리즘[22] ${\displaystyle O}$( (${\displaystyle E}$- ${\displaystyle V}$) ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$) ${\displaystyle$ O ( ( E -$V$) V$^{2})}$ - 시간$$ 알고리즘[23]
혼합된	NP-완전[24] ${\displaystyle O(V}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle O(V ^{3})}$ - 각 정점에 짝수 차수가[22] 있는 경우 해결 가능한 시간$$	${\displaystyle O}$(${\displaystyle 최대}${${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ A${\displaystyle }$(${\displaystyle 최대}${${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle E\}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle O(\max\{V ^{3},$ A $(\max\{A,$E$\})^{2}\})}$ - 시간$$ 인자 3/2[25]	${\displaystyle \mathrm{O(}{2E}^{}}$ ${\displaystyle {\cdot }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle O(2^{E})\cdot$V$^{3}}$ - 시간 알고리즘 A와 관련하여 FPT에서 트리 폭과[27] 관련하여 XP에서
바람이 많이 부는	NP-완전[28] 일부 특수한 경우[28][29] P	인자3/2[30]
k-계층적	NP-완전[31] ${\displaystyle O(k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$) ${\displaystyle O(k$V$^{4})}$ - 우선 순위 관계가 선형인 경우 해결$$ 가능한 시간
민숙집배원	${\displaystyle O}$ (${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$) ${\displaystyle O($V$^{3})}$ - 우체국 꼭짓점이 있는 시간 알고리즘$$,[32] 그렇지 않으면 NP-완전[33]		우체국 꼭짓점이[34] 없는 tok와 관련하여 FPT에서
민맥스 집배원	NP-완전[35]	${\displaystyle O}$ (${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$) ${\displaystyle O($V$^{3})}$ - 시간$$ 인자(2-1/k)[35]

아크 라우팅 변형 목록

문제	약칭	묘사	출력 노트	예
아크 라우팅 문제	ARP	제약 조건이 있든 없든 그래프의 지정된 호 부분 집합의 최소 비용 횡단을 결정합니다.[36]		쾨니히스베르크의 7개 다리
중국집배원문제	CPP	정점 V 및 가중 에지 E가 있는 무방향 그래프 G	최소한의 비용으로 모든 에지를 한 번 이상 횡단	"집배원은 우체국으로 돌아가기 전에 할당된 부분을 담당해야 합니다.문제는 집배원이 걸어갈 수 있는 가장 짧은 거리를 찾는 것입니다."[37]
시골집배원 문제	RPP	정점 V 및 가중 에지 E가 있는 무방향 그래프 G	가장자리 E의 부분 집합을 최소 비용으로 한 번 이상 횡단합니다.
향촌집배원문제	DRPP
시골집배원의 턴 패널티 문제	RPP-TP, RPPTP
바람 부는 우체부 문제	WPP[38]
바람 부는 시골집배원 문제	WRPP
도로 청소부 문제	SPP
m-plowing 문제	m-PP
정전식 쟁기 문제	C-PP
내리막길 쟁기 문제	DPP[39]
턴 패널티로 인한 내리막길 쟁기 문제	DPP-TP[40][41]
턴 패널티로 인한 농촌 활강 쟁기 문제	RDPP-TP
용량성 아크 라우팅 문제	카프
바람 부는 시골집배원 문제	k-WRPP
여러 개의 쟁기를 사용하는 최소-최대 활강 쟁기 문제	MM k-DPP
바람 부는 시골집배원 문제	MM k-WRPP
우선 순위 문제로 쟁기질하기	PPP
최소-최대 연장 활강 쟁기 문제	MM k-DPE
중국집배원 문제	CCPP
중국 집배원 문제	DCPP
향촌집배원문제	DRPP
확장된 용량성 아크 라우팅	에카프
중국집배원 문제	HCPP
혼합 용량 아크 라우팅 문제	MCARP
중국 우체부 혼혈 문제	MCPP
스태커 크레인 문제	SCP	특정 호는 한 방향으로 한 번 이상 횡단해야 하지만 다른 방향으로 여러 번 횡단할 수 있습니다.
외판원 문제	TSP
무방향 용량 아크 라우팅 문제	UCARP
무향 농촌 집배원 문제	URPP
차량 라우팅 문제	VRP
최소-최대 다수의 집배원 농촌 집배원 문제	MMMDRPP[42]
일반화된 차량 라우팅 문제	GVRP[43]

외부 링크

• 랭커스터 대학의 아크 라우팅 문제 검색 페이지
• 아크 라우팅의 경향

참고 항목

• 중국집배원문제
• 차량 라우팅 문제
• 외판원 문제
• 오일러 경로
• 정전식 아크 라우팅 문제
• 그래프 이론 문제 목록
• 제설기 라우팅 문제
• 중국집배원 문제복잡도 목록

참고문헌