클럽 세트

수학에서 특히 수학적 논리와 집합 이론에서 동아리 집합은 순서 위상 아래 닫히는 한계 서수의 하위 집합이며, 한계 서수에 상대적인 무한(아래 참조)이다.네임클럽은 "폐쇄되고 무한하다"는 축약이다.

형식 정의

형식적으로, 만약κ{\displaystyle \kappa}은 한계가 서수, 그때 1세트 C⊆ 만약 sup(C∩ α))α≠ 0{\displaystyle \sup(C\cap \alpha)=\alpha \neq 0}만일 모든 α<>;κ{\displaystyle \alpha<>\kappa},, 그 다음에 C를 ∈ α κ{C\subseteq \kappa\displaystyle}κ{\displaystyle \kappa}대사관은 문을 닫았다{\d$isplaystyle \alpha \in C$ 따라서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ C$}$에서 일부 시퀀스 제한이$$$\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$보다 작을$$ 경우 $제한$은 C ${\displaystyle C}$에도 있다$.$

만약 κ{\displaystyle \kappa}은 제한이 있으며 C⊆ κ{C\subseteq \kappa\displaystyle}만약 어떤α<>;κ{\displaystyle \alpha<>\kappa}, 약간의β ∈ C{\displaystyle \beta \in C}가α<>β{\displaystyl은 C{C\displaystyle}κ{\displaystyle \kappa}에 끌려가는 사람들이 순서다.e\alpha$cHB }.$

한 세트가 닫힌 상태와 한이 없는 상태라면 클럽 세트다.닫힌 고유 클래스도 관심 대상이다(모든 고유 클래스의 서수 클래스는 모든 서수 클래스에서 제한되지 않음).

예를 들어, 모든 카운트할 수 있는 한계 서수의 집합은 첫 번째 헤아릴 수 없는 서수를 기준으로 설정된 클럽이지만, 닫히지도 않고 무한하지도 않기 때문에 더 높은 서수를 기준으로 설정된 클럽은 아니다.$\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$이(가) 계산할 수 없는 초기 서수인 경우, 모든 한계 서수< α < {\$displaystyle \alpha$ <\kappa$$$}}}$의 $집합$은$display$ {\$displaystystyle \$kappa }에서 바인딩되지 않고 닫힌다$.$ 사실 클럽 집합은 정상 기능의 범위(즉, 증가 및 연속).

More generally, if ${\displaystyle X}$ is a nonempty set and ${\displaystyle \lambda }$ is a cardinal, then ${\displaystyle C\subseteq [X]^{\lambda }}$ (the set of subsets of ${\displaystyle X}$ of cardinality ${\displaystyle \lambda }$) is club if every union of a subset of ${\displaysty$$le$ C$}$은(는) $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에 있으며$$$$, {$${\$displaystyle \lambda$}보다 작은 $카디널리티$의 X ${\$$displaystyle{\displaystyle }$ X}의 모든 $하위$ 집합은 C ${\displaysty$ C$}$의 일부 요소에 포함되어 있다$$($$정지 세트 참조).

닫힌 언바운드 필터

κ{\displaystyle \kappa\와 같이,}한도가 있다 하지 못할 만큼 cofinality λ의 순서. 몇몇 α<>로{\displaystyle \lambda \,.};λ{\displaystyle \alpha<>\lambda),},⟨ Cξ:ξ<>, α⟩{\displaystyle\langle C_{\xi}:\xi<>κ의 닫힌 무한한 하위 집합의 \alpha \rangle \,} 시퀀스.{\disp자.\kalaystyle$ppa \,.}$ 그러면$$ C {\$displaystyle \bigcap _${\xi <\$alpha }C_${\xi}\,}도 한없이 닫힌다.이를 보려면 닫힌 세트의 교차점이 항상 닫혀 있기 때문에 이 교차점이 무한하다는 것을 보여주기만 하면 된다.So fix any ${\displaystyle \beta _{0}<\kappa \,,}$ and for each n < ω choose from each ${\displaystyle C_{\xi }\,}$ an element ${\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,,}$ which is possible because each is unbounded.이것은 $\lambda {\displaystyle }${\$displaystyle \lambda \,}$개의$$ 서수보다 작기 때문에, 모두 $\kappa {\displaystyle }$, ${\displaystyle \kappa \...}$ 이들의 최소$$ 상한은 $\kappa {\displaystyle }$, ${\displaysty \cappa$${\displaystyle {}_{}}$$\}$보다 작아야 우리는$$ ${\displaystyle {\beta n}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$. ${\displaystylevelopa \n+1$}이라고 부를 수 있다$.$$}$ This process generates a countable sequence ${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\dots \,.}$ The limit of this sequence must in fact also be the limit of the sequence ${\displaystyle \beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\dot$$s \,,}$ and since each ${\displaystyle C_{\xi }\,}$ is closed and ${\displaystyle \lambda \,}$ is uncountable, this limit must be in each ${\displaystyle C_{\xi }\,,}$ and therefore this limit is an element of the intersection that is above ${\displaystyle \beta _{0}\,,}$ which shows that t교차로에는 한이 없다.QED.

From this, it can be seen that if ${\displaystyle \kappa \,}$ is a regular cardinal, then ${\displaystyle \{S\subseteq \kappa :\exists C\subseteq S{\text{ such that }}C{\text{ is closed unbounded in }}\kappa \}}$ is a non-principal ${\displaystyle \kappa \,}$-c집합 ${\displaystyle \kappa }$에 대한 ${\displaystyle \mathrm{전체}}$ 필터(즉, poset (${\displaystyle \mathrm{\wp }}$ (${\displaystyle }$( )${\displaystyle }$, ${\displaystyle \subseteq }$) ${\displaystyle (\cappa "),\displayeq )}).$

만일 $\kappa {\displaystyle }$ ${\$이(가) 일반 추기경이라면$$, 대각선 교차로에서 클럽 세트도 닫힌다.

사실κ{\displaystyle \kappa\와 같이,}과 정기적이며 F{\displaystyle{{F\mathcal}}\,}κ,{\displaystyle \kappa \,,}에 어떤 필터 대각선 교차로에 따라서 닫히는 방법{ξ<>κ:ξ ≥ α}{\displaystyle\와 같이{\xi<>\kappa:\xi \geq \alpha)}\,의α<>κ,{\disp에 대한 모든 세트}다.laystyle$\알파 <\kappa \...}$ 그 다음 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ $displaystyle {\mathcal$ {$F}\},}$은(는) 모든 클럽 세트를 포함해야 한다$$.

참고 항목

• 클럽 필터
• 고정 세트
• 클럽슈트

참조

• 제치, 토마스, 2003년이론 설정: 수정 및 확장된 제3의 밀레니엄 에디션.스프링거. ISBN3-540-44085-2.
• 레비, 아즈리엘 (1979) 기본 집합 이론, 수학 논리에서의 관점, 스프링거-베를랙.2002년 재판이야, 도버ISBN 0-486-42079-5
• 이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알레이크 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath on Club의 자료가 통합되어 있다.