유사 차수

유사 차수(pseudo-order)는 구성 수학에서 연속 순서를 모델링하는 데 적합한 특정 이진 관계에 주어진 이름입니다.

고전 수학에서, 그 공리들은 엄격한 전체 순서의 공식을 구성하며, 그 맥락에서 다른 동등한 방식으로 정의될 수도 있습니다.

예

실수의 구성 이론은 의사 순서 공식이 중요해지는 전형적인 예입니다.실수는 전자보다 크고 후자보다 작은 합리적인 숫자가 존재하는 경우 다른 숫자보다 작습니다.즉, 여기서 x < y는 x < z < y와 같은 합리적인 숫자 z가 존재한다면 유지됩니다. 특히, 구성적 맥락에서 연속체의 경우, 일반적인 삼등분 법칙은 유지되지 않습니다. 즉, 자동으로 증명될 수 없습니다.따라서 이와 같은 순서의 특성화의 공리는 고전적 맥락에서 종종 사용되는 엄격한 전체 순서의 대안적 공리보다 약합니다(구조적 논리만을 사용하여 작업할 때).

정의.

유사 차수는 다음 세 가지 조건을 만족하는 이항 관계입니다.

• 두 요소가 각각 다른 요소보다 작을 수는 없습니다.즉, 모든 $(displaystyle$ x$)$와 y$(displaystyle$ y$)$에 대해

${\displaystyle \neg(x<y\land y<x)} 표시$

• 둘 중 어느 것도 다른 것보다 작지 않은 모든 두 원소는 같아야 합니다.즉, 모든 $(displaystyle$ x$)$와 y$(displaystyle$ y$)$에 대해

${\displaystyle \neg(x<y\logy<x)\to x=y}$

• 모든 x, y 및 z에 대해 x < y이면 x < z 또는 z < y입니다.즉, $모든{\displaystyle }$ x${displaystyle$ x$\}$에 대해$$y{$displaystyle$y}$및{\displaystyle }$ z{$displaystyle$z},

${\displaystyle x<y\to (x<z\lor z<y)} 표시$

보조 표기법

역위치와 유효한 등가물${\displaystyle \mathrm{}}$$\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathrm{\wedge }}$ ${\displaystyle \psi }$ψ )$$${\displaystyle \leftrightarrow }$ ( → (${\displaystyle }$${\displaystyle \varphi }$$$\ $pi$\land $\psi$ ) \$leftright$ 화살표 $(\phi$\ to $\neg \psi$) 뿐만$$ 아니라$$ ( ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \varphi }$ $\wedge$ ${\displaystyle \psi }$ ϕ \$phi$ \psi $)$ ( ¬ ψ \ $neg$ ( $\ pi \psi$ \psi \psi ) \$negright$\negland \negland \negland \negland \negland \negland \negland \negland \negland \$p$두 원소의 유사 $차수{\displaystyle }$x < \ $displaystyle$x <$y$ > 의 부정은 반사 부분 차수 y ≤ ${\displaystyle x}$\ $displaystyle$ y \ $leq$ x$$를 정의합니다. 이 용어들에서, 첫 번째 조건은 다음과 같습니다.

${\displaystyle x<y\to x\leqy} 표시$

그리고 그것은 정말로x <$y$ \ $displaystyle$x <y의 을 표현합니다그것은 고전 이론에서 익숙한 것처럼 불굴의성을 의미합니다.

고전적으로 삼분법과 동등한 것

두 번째 조건은 관련 부분 순서의 반대칭을 정확하게 표현하고,

$표시 스타일(x\leq y\land y\leq x)\to x=y}$

위의 두 가지 재구성을 통해, 부정 부호는 유사 순서의 정의에 숨겨져 있을 수 있습니다.

유사 순서 집합에 대한 자연적인 간격 는# y :$=$ (x < < ) ${\$ $displaystyle x$\#y$:=(x$< y\$lory<$ x에 주어집니다. 이와 함께, 두 번째 조건은 정확하게 이 관계가 밀접함을 나타냅니다.

$표시 스타일 \neg(x\#y)\to x=y}$

이제 분리 삼단논법은 ( ${\displaystyle \varphi \mathrm{\vee }\mathrm{\psi \varphi })\to }$ ( ¬ψ→ →$$) $phi \lor \psi}\to (\neg \phi \to \psi$로${\displaystyle }$표현될 수 있습니다. 이러한 논리적 함의는 고전적으로 역전될 수 있으며, 이 조건은 정확하게 삼단논법을 표현합니다.이와 같이, 그것은 또한 연결성의 공식입니다.

논의

비대칭

부분 순서에 대한 모순되지 않는 원리는 모든 요소에 대해 (${\displaystyle x}$≤ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \neg }$ (${\displaystyle x}$≤ ${\displaystyle y}$≤ y )$\"displaystyle$\negbig$(}x\leq y)\$land \$neg (x\$ y$)"$ 또는$$ 동등한 ( ∨ y < )\$displaystyle \neg$\neg \$neg$ \$nig ($x ($x \leq$ y $\lory$ <x 가 $됩니다$.구조적으로, 이중 부정의 유효성은 고전적인 주장 . . (< ) ($y$ < )¬ ( \\ displaystyle \$for all$ x$.\forall.$$\neg (y<x)\lor (y<x$ 이 명제가 결정 가능한 문제를 나타내는지 여부.

비대칭 조건을 사용하여 위의 내용은 이중 음의 강한 연결인${\displaystyle \mathrm{}\neg \neg }$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ≤ y ${\displaystyle \le x}$ )$$\$displaystyle \neg$\neg ($x\leq y\lory\leq$ x$)$를 암시하기도 합니다.고전적인 논리적 맥락에서, $"≤{{displaystyle$ \$leq$는 (엄격하지 않은) 총 차수를 구성합니다.

공투과성

세 번째 조건의 반대는 관련 $관계{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle$x\$leqy}($부분 순서)가 전이적임을 정확하게 나타냅니다.그래서 그 성질을 공동 과도성이라고 부릅니다.비대칭 조건을 사용하여 의사 순서도 실제로 전이적이라는 정리를 빠르게 도출합니다.과도성은 선형 순서의 고전적 정의에서 일반적인 공리입니다.

비교(약한 선형성과 함께)라고도 하는 조건:일부 ${displaystyle$x} 및$$ 그 위의 ${displaystyle$ y$}$에 의해 주어진 사소한 간격에 대해, 모든 세 번째 $요소{\displaystyle }$ z${displaystyle$z}는$$ 하한 위 또는 상한 아래에 있습니다.이것은 분리의 의미이기 때문에 삼분법과도 관련이 있습니다.그리고 실제로, 데데킨트-맥닐 완전 포셋에 유사 순서를 갖는 것은 배제된 중간의 원칙을 의미합니다.이는 실수의 구성 이론에서 완전성에 대한 논의에 영향을 미칩니다.

다른 속성과의 관계

이 섹션에서는 고전적인 논리를 가정합니다.최소한 다음과 같은 특성이 입증될 수 있습니다.

만약 R이 동태적 관계라면,

• R은 또한 준과도적입니다.
• R은 ^{[note 1]}반차수의 공리 3을 만족합니다.
• 비교 불가능성 w.r.t.R은 추이적 ^{[note 2]}관계입니다.
• R은 ^{[note 3]}반사적인 경우 연결입니다.

동시 전이 관계 R이 전이 관계가 될 수 있는 충분한 조건은 다음과 같습니다.

• R은 유클리드 왼쪽;
• R은 오른쪽 유클리드;
• R은 반대칭입니다.

반연결 관계 R은 대칭, 왼쪽 또는 오른쪽 유클리드, 전이 또는 준 전이인 경우에도 동시 전이입니다.비교 불가능성 w.r.t.R이 추이적 관계인 경우, R은 대칭, 왼쪽 또는 오른쪽 유클리드 또는 추이적 관계인 경우, 공동 추이적 관계입니다.

참고 항목

• 건설적 분석
• 불가분성
• 선형순서

메모들

레퍼런스

• Heyting, Arend (1966). Intuitionism: an introduction (2nd ed.). Amsterdam: North-Holland Pub. Co. p. 106.