건설적 분석

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수학에서 건설적 분석은 건설적 수학의 일부 원리에 따라 이루어지는 수학적 분석이다. 이는 고전적 분석과 대조되는데, 이는 (이 맥락에서) 단순히 고전 수학의 (더 일반적인) 원리에 따라 행해진 분석을 의미한다.

일반적으로 말해서, 건설적 분석은 고전적 분석의 이론들을 재현할 수 있지만, 분리 가능한 공간에 적용하기 위해서만 가능하다. 또한, 일부 이론들은 근사치로 접근해야 할 수도 있다. 더욱이 많은 고전적 이론들은 고전적 논리에 따라 논리적으로 동등한 방식으로 진술될 수 있지만, 직관적 논리를 사용하는 건설적 분석에서는 이 모든 형태가 유효하지는 않을 것이다.

예

중간값 정리

간단한 예로 중간값 정리(IVT)를 생각해 보자. 고전적 분석에서 IVT는 닫힌 간격[a,b]에서 실제 선 R까지의 모든 연속 함수 f를 고려할 때, f(b)가 음수인 반면 f(b)가 양수인 경우, f(c)가 정확히 0인 간격에 실제 숫자 c가 존재한다는 것을 의미한다. 건설적 분석에서는 실존적 정량화에 대한 건설적 해석("존재한다")은 실제 숫자 c를 구성할 수 있어야 하기 때문에(합리적 숫자에 의해 원하는 정밀도에 근사치를 구할 수 있다는 의미에서) 이것은 유지되지 않는다. 그러나 만약 f가 그 영역을 따라 뻗어나가는 동안 0에 가까워진다면, 이것은 반드시 이루어질 수 없다.

그러나 건설적 분석은 IVT의 몇 가지 대안적 형태를 제공하며, 이 모든 것은 고전적 분석에서는 일반적인 형태와 동일하지만 건설적 분석에서는 그렇지 않다. 예를 들어, 고전적 정리에서와 동일한 조건 하에서, 자연수 n(얼마나 큰지)을 감안할 때, f(c_n)의 절대값이 1/n 미만인 간격에 실수 c가_n 존재(즉, 우리가 구성할 수 있다)한다. 즉, 정확히 0을 주는 c를 만들 수는 없더라도 우리가 원하는 만큼 0에 근접할 수 있다.

또는 f(c)가 정확히 0인 단일 c인 고전적 IVT와 동일한 결론을 유지하면서 f(c)의 조건을 강화할 수 있다. 우리는 f가 국소적으로 0이 아니기를 요구한다. 즉, 간격 [a,b]와 자연수 m에 어떤 점 x가 주어지면 y - x < 1/m과 f(y) > 0과 같은 간격에 (구축할 수 있다.) 이 경우 원하는 숫자 c가 구성될 수 있다. 이것은 복잡한 조건이지만, 그것과 공통적으로 충족된다는 것을 암시하는 몇 가지 다른 조건이 있다. 예를 들어, 모든 분석 함수는 국소적으로 0이 아니다(이미 f(a) < 0과 f(b) > 0을 만족한다고 가정함).

이 예를 보는 또 다른 방법은 고전적 논리에 따르면 국소적으로 0이 아닌 조건이 실패하면 특정 지점 x에서 실패해야 하며, 그 다음 f(x)가 0이 되므로 IVT가 자동으로 유효하다는 점에 주목하십시오. 따라서 고전적 논리를 사용하는 고전적 분석에서는 IVT의 완전한 입증을 위해서는 건설적 버전을 입증하기에 충분하다. 이러한 관점에서 보면, 건설적 분석이 고전적 논리를 수용하지 않는다는 이유만으로 건설적 분석에서 완전한 IVT가 실패한다. 반대로 고전 수학에서도 IVT의 진정한 의미는 국소적으로 0이 아닌 조건을 포함하는 건설적인 버전이며, 이후 완전한 IVT가 "순수 논리"에 의해 뒤따른다고 주장할 수 있다. 일부 논리학자들은 고전 수학이 옳다는 것을 받아들이면서도 여전히 건설적인 접근방식이 이론의 진정한 의미에 대한 더 나은 통찰력을 제공한다고 믿는다.

최소 상한 원칙 및 콤팩트 세트

고전적 분석과 건설적 분석의 또 다른 차이점은 건설적 분석이 최소 상한 원리를 수용하지 않는다는 것이며, 실제 라인 R의 하위 집합은 최소 상한(또는 우월성)을 가지며, 어쩌면 무한할 수도 있다는 것이다. 그러나, 중간 가치 정리와 마찬가지로, 대체 버전은 살아남는다. 건설적인 분석에서, 실제 라인의 어떤 부분집합도 우월성을 가진다. (여기서 R의 부분집합 S는, x < y가 실제 숫자일 때마다, x < s 또는 y가 S의 상한인 것과 같은 S의 요소가 존재하는 경우에 위치한다.) 다시 말하지만, 이것은 모든 집합이 고전 수학에 위치하기 때문에, 고전적인 수학에서 완전 최소 상한 원리와 고전적으로 동등하다. 그리고 다시 말하지만, 위치 집합의 정의는 복잡하지만, 그럼에도 불구하고 모든 간격과 모든 콤팩트 세트를 포함하여, 일반적으로 연구되는 많은 집합에 의해 충족된다.

이와 밀접하게 관련되는 건설 수학에서는 콤팩트한 공간의 특성화가 덜 건설적으로 유효하다. 또는 다른 관점에서 보면, 분류적으로 동등하지만 건설적으로 동등하지 않은 몇 가지 다른 개념들이 있다. 실제로, [a,b] 구간이 건설적 분석에서 순차적으로 압축된다면, 고전적 IVT는 사례의 첫 번째 건설적 버전부터 따를 것이다. 즉, 무한 시퀀스 (c_n)의 클러스터 포인트로서 c를 찾을 수 있을 것이다._n∈N

실수의 계산 불가

칸토르 정리에서의 대각선 구조는 직관적으로 타당하다. 실제로 대각선 논쟁의 건설적인 요소는 칸토르의 작품에서 이미 나타났다.^[1] 카나모리에 따르면, 대각화와 비건설성을 연관시키는 역사적 오보가 계속되어 왔다. 결과적으로$,$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 실수는 어떤 건설적인 시스템에서도 계산할 수 없다$$. 일부 모델에서는 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 하위 카운트할 수 있다$$.

건설적인 분석 교과서에서 발견되는 변형은 다음과 같이 될 수 있다: "{a_n}를 실수의 순서가 되게 하라. x와₀ y를₀ 실제 숫자로 하자, x₀ < y₀. 그리고 x₀ ≤ x ≤ y와₀ x ≠ a_n (n ∈ N)를 가진 실제 숫자 x가 존재한다. 그 증거는 본질적으로 칸토어의 '대각형' 증명이다.(Theorem 1 in Errettt Bishop, 1967, 25페이지)

실제의 순서는 분석에서 흔히 나타난다. 배제된 중간 법칙뿐만 아니라 전지전능의 제한된 원리, 심지어 마르코프의 원칙까지 거부하는 건설적 분석의 형태는 실재의 순서에 대한 의존적 선택의 공리를 이용할 수 있다.

참고 항목

• 계산 가능한 분석
• 외설성(건설수학)

참조

추가 읽기

• Bridger, Mark (2007). Real Analysis: A Constructive Approach. Hoboken: Wiley. ISBN 0-471-79230-6.