정사각형 완성

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스퀘어를 완성하는 과정을 그린 애니메이션. (상세, 애니메이션 GIF 버전)

초등 대수학에서 정사각형을 완성하는 것은 형태의 2차 다항식을 변환하는 기법이다.

${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

형식에 맞게

${\displaystyle a(x-h)^{2}+k}$

h와 k의 일부 값에 대해.

정사각형을 완성하는 것은 다음에서 사용된다.

• 2차 방정식을 푸는 것,
• 2차 공식을 도출하고
• 그래프 작성 이차 함수,
• 지수에서 선형 항을 갖는 가우스 적분처럼 미적분에서의 적분 평가
• 라플라스 변환을 찾으십시오.

수학에서, 정사각형을 완성하는 것은 종종 2차 다항식을 포함하는 모든 계산에 적용된다.

개요

배경

이항 분포의 제곱을 계산하기 위한 초등 대수학 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+22+p^{2}.}$

예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle {\x+3}{2}^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\quad&(p=-5)&(p=-5)\end{aignedat}}}$

어떤 완벽한 사각형에서 x의 계수는 p의 두 배이고, 상수 항은 p와² 같다.

기본 예

다음 2차 다항식을 고려하십시오.

${\displaystyle x^{2}+10x+28.}$

28은 5의 제곱이 아니기 때문에 이 2차 제곱은 완벽한 제곱이 아니다.

${\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}$

그러나 이 정사각형과 상수의 합으로 원래의 이차체를 쓸 수 있다.

${\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}$

이것을 광장 완성이라고 한다.

일반 설명

모든 단색 2차선 지정

${\displaystyle x^{2}+bx+c,}$

동일한 처음 두 용어를 가진 정사각형을 형성할 수 있다.

${\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{1}{2}}b\,=\,x^{2}+bx+{1}{4}b^{2}.}$

이 제곱은 상수 항의 값에서만 원래의 2차 제곱과 다르다. 그러므로 우리는 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\왼쪽(x+{\tfrac {1}{2}}:b\오른쪽)^{2}+k,}$

여기서 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle c}$- ${\displaystyle b\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\$ 이 작전은 광장을 완성하는 것으로 알려져 있다. 예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{aignedat}}}$

비원격 케이스

폼의 2차 다항식 지정

${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

계수 a를 고려해서 결과적인 단일 다항식의 제곱을 완성하는 것이 가능하다.

예:

${\displaystyle {\displaysty}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\왼쪽[(x+2)^{2}+5\오른쪽]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\ended}}}$

계수 a를 고려하는 이 과정은 처음 두 항에서 계수 a를 고려하는 것 만으로 더 단순화할 수 있다. 다항식 끝의 정수는 포함하지 않아도 된다.

예:

${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x]+27\\&{}=3\left[(x+2)^{2}-4\right]+27\\&{}=3(x+2)^{2}+3(-4)+27\\&{}=3(x+2)^{2}-12+27\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$

이것은 양식의 2차 다항식 쓰기를 허용한다.

${\displaystyle a(x-h)^{2}+k.}$

공식

스칼라 케이스

정사각형을 완성한 결과는 공식으로 쓰일 수 있다. 일반적인 경우:^[1]

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\;=\a(x-h)^{2},\cH{\text{where}\nowledge h={b}}\c-a^{2a}\c-a^{data}\c-a^{2}=c-{b^{4a}}}.}$

특히 a = 1인 경우:

${\displaystyle x^{2}+bx+c\;=\(x-h)^{2},\cH}{{\where}\cH}\cH=-{\frac{b}}{2}}\c-{b^{4}}}.}$

매트릭스 케이스

매트릭스 케이스는 매우 유사하다.

${\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k\quad {\text{where}}\quad h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}$

$여기서 A$는 대칭이어야 한다$$$.$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 대칭이 아닌 경우 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$ 및$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대한 공식을 다음과 같이 일반화해야 한다$$.

${\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}$.

그래프와의 관계

해석 기하학에서 2차 함수의 그래프는 xy-평면의 포물선이다. 폼의 2차 다항식 지정

${\displaystyle a(x-h)^{2}+k}$

숫자 h와 k는 포물선의 꼭지점(또는 정지점)의 데카르트 좌표로 해석할 수 있다. 즉, h는 대칭 축의 x 좌표(즉 대칭 축에 방정식 x = h가 있음), k는 2차 함수의 최소값(또는 최대값 < 0일 경우)이다.

이것을 볼 수 있는 한 가지 방법은 함수 x(x) = x의² 그래프가 정점이 원점(0, 0)에 있는 포물선이라는 것을 알아두는 것이다. 따라서 함수 ƒ(x - h) = (x - h)²의 그래프는 위쪽 그림과 같이 정점이 (h, 0)인 h에 의해 오른쪽으로 이동한 포물선이다. 이와는 대조적으로 함수 x(x) + k² = x + k의 그래프는 중심 그림에서와 같이 정점이 (0, k)인 k에 의해 위쪽으로 이동된 포물선이다. 수평 및 수직 이동수율 combining(x - h) + k = (x - h)² + k를 조합하면 아래 그림과 같이 정점이 (h, k)인 k에 의해 우측으로, 위로 이동되는 포물선이다.

이차 방정식 해결

정사각형을 완성하는 것은 2차 방정식을 푸는 데 사용될 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle x^{2}+6x+5=0.}$

첫 번째 단계는 정사각형을 완성하는 것이다.

${\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.}$

다음으로 우리는 제곱된 용어를 해결한다:

${\displaystyle (x+3)^{2}=4.}$

그렇다면 어느 쪽이든

${\displaystyle x+3=-2\properties {\text{or}\put x+3=2,}$

따라서

${\displaystyle x=-5\properties {\text{or}\property x=-1.}$

이것은 어떤 2차 방정식에도 적용될 수 있다. x에² 1이 아닌 계수가 있는 경우 첫 번째 단계는 방정식을 이 계수로 나누는 것이다. 예를 들어 아래 비원격 사례를 참조하십시오.

불합리하고 복잡한 뿌리

뿌리가 이성적이어야 믿을 수 있는 방정식을 인수하는 것과 달리, 정사각형을 완성하면 그 뿌리가 비이성적이거나 복잡하더라도 2차 방정식의 뿌리를 찾을 수 있다. 예를 들어, 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}$

정사각형 완성하기

${\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}$

그렇게

${\displaystyle (x-5)^{2}=7.}$

그렇다면 어느 쪽이든

${\displaystyle x-5=-{\sqrt{7}\data.{\text{or}}\data.x-5={\sqrt {7}.}$

terser 언어로:

${\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7},}$

그렇게

${\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}.}$

뿌리가 복잡한 방정식은 같은 방법으로 다룰 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{array}{c}x^{2}+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}}$

비원격 케이스

비원성 2차 방정식을 포함하는 방정식의 경우, 이를 해결하기 위한 첫 번째 단계는 x의² 계수로 나누는 것이다. 예를 들어, 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\cHB x=-2.\end{array}}}$

이 절차를 2차 방정식의 일반적인 형태에 적용하면 2차 공식으로 이어진다.

기타 응용 프로그램

통합

정사각형을 완성하는 것은 양식의 모든 적분을 평가하는 데 사용될 수 있다.

${\displaystyle \int{\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}}$

기본 통합 사용

${\dac \int{\frac {dx}{dx^{2}-a^{2}}={\frac {1}{1}{2a}\ln \좌측 {\frac {x-a}{x+a}}\우측 +C\quad{\text}\c\dx}{x^}+a^{n2}}}}}={\frac{1}{a}}\arctan \왼쪽({\frac {x}{a}\오른쪽)+C.}$

예를 들어, 적분을 고려하십시오.

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}$

분모에서 정사각형을 완성하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \int{dx}{dx}{(x+3)^{2}+4}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}.}$

이제 이를 산출하는 대체 u = x + 3을 사용하여 평가할 수 있다.

${\displaystyle \int{\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}\,=\,{\frac {1}{1}{1}:{2}}:\arctan \leftan\frac\x+3}{2}{2}}}}\오른쪽)+C.}$

콤플렉스

그 표현을 고려하라.

${\displaystyle z ^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}$

여기서 z와 b는 복잡한 숫자, z와^* b는^* 각각 z와 b의 복잡한 결합체, c는 실제 숫자다. u = u^* u라는 ID를 사용하여 우리는 이것을 u로 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle z-b ^{2}-b ^{2}+c,}$

확실히 진짜 수량이지 왜냐하면

${\displaystyle {\b^{}z-b^{2}&{}=(z-b)(b)^{*}\*\\\}}}z-b^{*}\&}}=z-b^{*}+b^{***}}\\&{}=z ^{2}-zb^{*}-bz^{*}+ b ^{2}.\end{정렬}}}$

또 다른 예로, 표현은

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}$

여기서 a, b, c, x, y는 실수이며, a는 0, b > 0이며, 복합수 절대값의 제곱으로 나타낼 수 있다. 정의

${\displaystyle z={\sqrt{a}\,x+i{\sqrt{b}\,y.}$

그러면

${\displaystyle {\b}j ^{2}&{}=z^{*}\\\&}=({\sqrt{a}\,x+i{\sqrt{b}\,y)({\sqrt{a}\,x-i{sqrt}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt{ab}\,xy+i{\sqrt{ba}\,yx-i^{2}by^{2}\&}=ax^{2}+by^{2},\end{aigned}}}}}}}}}$

그렇게

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=z ^{2}+c.}$

idempotent 행렬

M = M일 때 행렬 M은 idempotent이다. Idempotent 행렬은 0과 1의 Idempotent 특성을 일반화한다. 방정식 어드레싱의 제곱법

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$

일부 idempotent 2 × 2 행렬이 (a,b) 평면의 원에 의해 파라메트릭화됨을 보여준다.

매트릭스 - ) ${\$은(는) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}b}$ 2${\displaystyle {}^{}}$=${\displaysty a^{2}+b^{2}=a}$일 경우, 제곱이 완료되는 대로$$ idempotent가 된다.

${\displaystyle(a-{{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}}}={\tfrac {1}{4}.}$

(a,b) 평면에서 이것은 중심(1/2, 0)과 반지름 1/2을 갖는 원의 방정식이다.

기하학적 원근법

방정식의 제곱을 완성하는 것을 고려한다.

${\displaystyle x^{2}+bx=a.}$

x는² 길이가 x인 사각형의 면적을, bx는 b와 x인 사각형의 면적을 나타내기 때문에 사각형을 완성하는 과정은 직사각형의 시각적 조작으로 볼 수 있다.

x² 직사각형과 bx 직사각형을 더 큰 사각형으로 결합하려는 단순한 시도는 코너를 잃게 된다. 위의 방정식의 각 면에 추가된 용어 (b/²2)는 정확히 누락된 코너의 면적으로, 이때 "사각형 완성"이라는 용어를 파생한다.

기법의 변화

관례대로 광장을 완성하는 것은 세 번째 용어인 v를 추가하는 것으로 ² 구성된다.

${\displaystyle u^{2}+2uv}$

정사각형을 맞추다 또한 2uv 또는 -2uv 중 어느 쪽이든 중기를 추가할 수 있는 경우도 있다.

${\displaystyle u^{2}+v^{2}}}$

정사각형을 맞추다

예제: 양수와 그 역수의 합

글로써

${\displaystyle {\signified}x+{1 \over x}&}=\좌측(x-2+{1 \over x}\우측)+2\\\\{}=좌측({x}\우측)^{1 \2}+2\ended{정렬}}}}}}}}}}}}}}}$

우리는 양의 숫자 x와 그것의 역수의 합이 항상 2보다 크거나 같다는 것을 보여준다. 실제 표현식의 제곱은 항상 0보다 크거나 같으며, 이는 명시된 한계를 부여한다; 여기서 우리는 x가 1일 때 2를 달성하여 광장이 사라지게 한다.

예제: 단순 사분위수 다항식 인수

다항식 인수 문제를 고려하십시오.

${\displaystyle x^{4}+324.}$

이것은

${\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}$

그래서 중기는 2(x²)(18) = 36x이다². 그래서 우리는 얻는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a difference of two squares}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{arged}}}$

(마지막 행은 단순히 항이 감소하는 관례를 따르기 위해 추가된다.)

동일한 인수는 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$}를 나타낸다.$}}}$은(는) 항상 다음과 같이 고려 가능

${\displaystyle x^{4}+4a^{4}=(x^{2}+2ax+2a^{2})(x^{2}-2ax+2a^{2})}$

(소피 제르맹의 정체로도 알려져 있다.)

참조

• 대수1, 글렌코, ISBN 0-07-825083-8, 페이지 539–544
• 대수 2, 색슨, ISBN 0-939798-62-X, 페이지 214–214, 241–242, 256–257, 398–401

외부 링크

• PlanetMath에서 정사각형 완성.