모닉 다항식

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대수학에서 일항 다항식은 선행 계수(최고도의 0이 아닌 계수)가 1과 같은 단변 다항식(일항 다항식)이다.따라서 단일 다항식에는 다음과 같은 형식이 있다.^[1]

${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}}x+c_{0}}$

일변 다항식

다항식이 단 하나의 미확정(일변량 다항식)만 가지고 있는 경우, 용어는 일반적으로 최고도에서 최저도까지 또는 최저도에서 최고도로("강력")로 작성된다.그런 다음 단변 다항식(x of °n)은 위에 표시된 일반적인 형태를 취한다.

c_n ≠ 0, c_n−1, ..., c₂, c₁, c, c, c₀

다항식의 계수인 상수.null

여기서 cx라는_nⁿ 용어는 선도항이라고 하며, 그 계수_n c는 선도계수, 선행계수가 1이면 일변량 다항식을 단항이라 한다.null

특성.

곱셈으로 닫힘

모든 단일 다항식(특정(단일) 링 A 및 특정 변수 x에 대한) 집합은 두 개의 단일 다항식의 선행 조건의 제품이 해당 제품의 선행 조건이기 때문에 곱셈으로 닫힌다.따라서, 단항 다항식들은 다항식 고리 A[x]의 곱셈형 세미그룹을 형성한다.사실, 상수 다항식 1은 단항이기 때문에, 이 세미그룹은 심지어 단항형이다.null

부분순서

모든 단일 다항식 집합(주어진 링 위)에 대한 구분 관계 제한은 부분적인 순서로서, 따라서 이 집합을 양성으로 만든다.그 이유는 p(x)가 q(x)를 나누고 q(x)가 p(x)를 두 개의 단일 다항식 p와 q로 나눈다면 p와 q가 같아야 하기 때문이다.링에 1이 아닌 변환 가능한 요소가 포함되어 있는 경우, 일반적으로 다항식의 경우 해당 속성은 참이 아니다.

다항식용액

다른 측면에서는, 단항 다항식 및 이에 상응하는 단항식의 특성은 계수 링 A에 결정적으로 의존한다.A가 필드인 경우, 0이 아닌 모든 다항식 p는 정확히 하나의 연관된 단일 다항식 q: p를 선행 계수로 나눈 값이다.이 방법으로, 비삼차 다항식 p(x) = 0은 등가일차 방정식 q(x) = 0으로 대체될 수 있다. 예를 들어, 일반적인 실제 2도 방정식

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle \mathrm{c}}$= 0 ${\displaystyle \x^{2}+bx+c=0}($여기서${\displaystyle \mathrm{where}}$ 0 ${\displaystyle a\neq 0$

으로 대체될 수 있다.

${\displaystyle {}^{}\mathrm{x}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ +${\displaystyle q}$= 0 ${\displaystyle$\ x$^{2}+flense+q=0$

p = b/a 및 q = c/a를 대체함으로써.따라서, 방정식은

${\displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}$

단수 방정식과 같다.

${\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{1}{2}}=0.}$

일반적인 2차 용액 공식은 다음과 같이 약간 더 단순화된 형태다.

${\displaystyle x={\frac {1}{1}:{2}}:\왼쪽leftp\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\오른쪽).}$

통합성

반면 계수 링이 필드가 아니라면 본질적인 차이가 더 많다.예를 들어 정수 계수를 갖는 일항 다항식에는 정수가 아닌 합리적인 해법이 있을 수 없다.따라서, 방정식은

${\displaystyle \ 2x^{2}+3x+1=0}$

아마도 정수가 아닌 어떤 합리적인 근원을 가질 수 있을 것이다(그리고 우연히 그 근원의 하나는 -1/2이다). 반면에 방정식은

${\displaystyle \ x^{2}+5x+6=0}$

그리고

${\displaystyle \ x^{2}+7x+8=0}$

정수 또는 비합리적인 해결책만 가질 수 있다.null

정수 계수가 있는 일항 다항식의 뿌리를 대수 정수라고 한다.null

적분영역에 대한 일항 다항식 해법은 적분확장 및 통합적으로 폐쇄된 도메인 이론에서 중요하며, 따라서 대수적 수 이론에서는 중요하다.일반적으로 A가 통합 도메인이며 또한 통합 도메인 B의 하위 링이라고 가정한다.A에 대한 단항 방정식을 만족하는 B 원소로 구성된 B의 부분 집합 C를 고려한다.

${\displaystyle C:=\{b\in B:\exists \,p(x)\in A[x]\...{\hbox{}이(가) 모닉이며, 이와 같이 }p(b)=0\}\,}$

any A는 x - a = 0 등식을 만족하기 때문에 C 집합은 A를 포함한다. 더욱이 C는 덧셈과 곱셈에 의해 닫힌다는 것을 증명할 수 있다.따라서 C는 B의 서브링이다.링 C는 B에서 A의 적분 폐쇄라고 불리며, 만약 B가 A의 분수 영역이라면 A의 적분 폐쇄라고 불리며, C의 원소는 A에 대해 적분이라고 한다.여기서 $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ A$=\mathb {Z}($정수의 링) 및 ${\displaystyle B\mathbb{}}$= C ${\$ B$=\mathb {C}($복잡한 숫자의 필드)가 되면 C는 대수 정수의 링이다.null

얼레두시블리티

p가 소수일 경우, p 요소가$$ 있는 $유한장{\displaystyle \mathrm{}}$ G ${\displaystyle \mathrm{F}}$( ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle \mathrm {GF}(p)}$에 대한 n의 단일 불분명한 다항식 수는 목걸이 계산 함수 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle N_{p}(n)$와 같다$.$^[2]

단어의 제약을 제거하면 이 숫자는${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$- ${\displaystyle 1}$) N ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle (p-1)N_{p}(n)}$가 된다$.$

이러한 단일 불분명한 다항식의 총 루트 수는 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle nN_{p}(n)}$ 입니다$.$이것은 더 작은 필드에 속하지 않는 필드 G $F{\displaystyle \mathrm{}(\mathrm{p}}$ ${\displaystyle n^{}}$) ${\displaystyle \matrm$ {$GF}(p^{n})($${\displaystyle {pn}^{}}$ ${\$의 요소 수입니다.$$null

p = 2의 경우, 그러한 다항식들은 유사 항문 이항 시퀀스를 생성하는 데 일반적으로 사용된다.^{[citation needed]}null

다변량 다항식

일반적으로 여러 변수의 다항식에는 모닉이라는 용어를 사용하지 않는다.그러나 여러 변수의 다항식은 "마지막" 변수에서만 다항식으로 간주할 수 있지만 다른 변수에서는 계수가 다항식으로 간주된다.이것은 어떤 변수 중 하나를 "마지막 변수"로 선택하느냐에 따라 여러 가지 방법으로 이루어질 수 있다.예: 실제 다항식

${\displaystyle \ p(x,y)=2xy^{2}+x^{2}-y^{2}+3x+5y-8}$

모닉(monic)이며, R[y][x], 즉 변수 x에서 단변 다항식(univariate)으로 간주되며, 계수는 그 자체가 y:

${\displaystyle p}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ (${\displaystyle }$2 ${\displaystyle \mathrm{y}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ 3${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle x}$+${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \mathrm{y}}$- ${\displaystyle 8}$) ${\displaystyle p(x,y)=1\cdot$ x$^{2}+}+(2y^{2}+3)\cdot$ x$+(-y^{2}+5y-8$) $;;$

그러나 p(x,y)는 R[x][y][y]의 요소로서 단일하지 않다. 이때 최고도 계수(즉, y² 계수)는 2x - 1이기 때문이다.

대안적인 관례가 있는데, 예를 들어, Gröbner 기초 컨텍스트에서 유용할 수 있다. 다항식을 모닉이라고 한다. 만약 다항식 계수가 (다항 다항식으로서) 1이면 다항식을 모닉이라고 한다.즉, p = p(x₁, ...,x_n)가 n 변수의 0이 아닌 다항식이며, 이러한 변수들에는 모든("monic") 단항 집합에 주어진 단항식 순서가 있다고 가정한다. 즉, x₁, ...,x_n, 단위를 가장 낮은 원소로 하고 곱을 존중한다.이 경우 이 순서는 p에 가장 높은 비반복 항을 정의하며, 만약 그 항에 계수 1이 있으면 p를 모닉이라고 할 수 있다.null

두 정의에 따른 "일항 다항식"은 "일반" (일항변수) 일항식들과 일부 속성을 공유한다.특히 다시 모닉 다항식의 산물은 모닉이다.null

참고 항목

• 복합 2차 다항식

인용구

참조