복잡한 거미줄

수학에서 콤플렉스 코보르디즘은 다지관의 코보디즘과 관련된 일반적인 코호몰로지 이론이다.그것의 스펙트럼은 MU에 의해 증명된다. 그것은 예외적으로 강력한 동족학 이론이지만, 계산하기는 꽤 어려울 수 있다. 그래서 그것을 직접 사용하는 대신에 종종 그것에서 파생된 약간 약한 몇몇 이론들을 사용한다. 예를 들어, 브라운-피터슨 공동학이나 모라바 K-이론 같은, 계산하기 더 쉬운 이론들이다.

일반화된 호몰로지 및 코호몰로지 복합 코오르디즘 이론은 마이클 아티야(1961)가 톰 스펙트럼을 이용해 도입했다.

복잡한 거미줄의 스펙트럼

공간 $X$ $X$ 의 $MU^{*}(X)$ 복잡한 보디즘 M $MU^{*}(X)$ $MU^{*}(X)$ $MU^{*}(X)$ ) $MU^{*}(X)}$ 은 대략 $X$ 인 정상 번들에 복잡한 선형 구조를 가진 $X$ X ${\displaystystyle$ X $}$ 위에 있는 다지관 클래스의 그룹이다 $X$ .복합적 보르디즘은 일반화된 호몰로지 이론으로, 다음과 같이 톰 공간의 관점에서 명시적으로 설명할 수 있는 스펙트럼 MU에 해당한다.

공간 $MU(n)$ $MU(n)$ ( $MU(n)$ ) $MU(n)$ 은 유니터리 그룹 $U(n)$ $U(n)$ $U(n)$ $U(n)$ 의 $BU(n)$ 분류 $BU(n)$ B $BU(n)$ ( $BU(n)$ {\ $displaystyle BU(n)}$ 위에 있는 $범용$ n{\ $displaystyle N}$ -plan $n$ 번들의 Thom 공간이다 $MU(n)$ $U(n)$ The natural inclusion from $U(n)$ into $U(n+1)$ induces a map from the double suspension $\Sigma ^{2}MU(n)$ to $MU(n+1)$ .이 지도들은 함께 $M$ U $MU$ 스펙트럼을 제공한다 $MU$ 즉, M $MU(n)$ ( $MU(n)$ ) $MU(n)$ 의 호모토피 콜리밋이다 $MU(n)$

예: $MU(0)$ $MU(0)$ ( 0 $MU(0)$ ) $MU(0)$ 이 $MU(0)$ (가) 구 스펙트럼이다. $MU(1)$ $MU(1)$ ( $MU(1)$ ) $MU(1)$ 은 $MU(1)$ (는) $\mathbb {CP} ^{\infty }$ $\Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }$ - $\Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }$ $\Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }$ $\Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }$ ∞ ${$ \ $displaystyle$ \ $Sigma$ ^{\ $inft$ -2 $}\mathb$ { $CP}$ $\Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }$ $^{\$ 의 $\Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }$ 멈춤쇠 $.$ $\Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }$ $\mathbb {CP} ^{\infty }$

nilpotence 정리에서는 모든 링 스펙트럼 $R$ $R$ 에 대해 $R$ $\pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)$ $\pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)$ $\pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)$ → $\pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)$ $\pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)$ $\pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)$ ) ${\displaystyle \pi _{*R\to \operatorname {MU} _{*}(R)$ 의 커널이 nilpotent 원소로 구성된다고 $\pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)$ 명시하고 있다.^[1]특히 이 정리는 $\mathbb {S}$ ${\$ { $S$ $}이($ 가) 구 스펙트럼이라면 $\mathbb {S}$ , $n>0$ > $n>0$ ${\displaystyle n>0$ $n>0$ 의 모든 $\pi _{n}\mathbb {S}$ 가 $(니시다$ 고로(니시다 고로)라는 $\pi _{n}\mathbb {S}$ 것을 암시한다.(Proof: if $x$ is in $\pi _{n}S$ , then $x$ is a torsion but its image in $\operatorname {MU} _{*}(\mathbb {S} )\simeq L$ , the Lazard ring, cannot be torsion since $L$ is a polynomial ring.따라서 $x$ ${\displaystyle$ x $}$ 이(가) 커널에 있어야 한다 $x$ .)

형식집단법

John Milnor (1960) and Sergei Novikov (1960, 1962) showed that the coefficient ring $\pi _{*}(\operatorname {MU} )$ (equal to the complex cobordism of a point, or equivalently the ring of cobordism classes of stably complex manifolds) is a polynomial ring ${\displaystyle \mathb$ $b$ 무한히 많은 제너레이터에 $\mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]$ $x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )$ ${Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]}$ x $x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )$ $x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )$ $x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )$ $x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )$ ( $x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )$ ) ${\displaystyle x_{i$ }\in $\pi _{2i}(\operatorname$ {MU} $)}$ 양의 짝수 $x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )$ .

Write $\mathbb {CP} ^{\infty }$ for infinite dimensional complex projective space, which is the classifying space for complex line bundles, so that tensor product of line bundles induces a map ${\displaystyle \mu :\mathbb {CP} ^{\infty }\times \mathbb {CP} ^{\infty$ $}\to \mathbb {CP} ^{\infty }.}$ A complex orientation on an associative commutative ring spectrum E is an element x in $E^{2}(\mathbb {CP} ^{\infty })$ whose restriction to $E^{2}(\mathbb {CP} ^{1})$ is 1, if the latter ring is identified with the coeffic그러한 요소 x를 가진 E. 스펙트럼 E의 ient 링은 복합 지향 링 스펙트럼이라고 불린다.

E가 복잡한 방향의 링 스펙트럼인 경우

E^{*}(\mathb {CP}) ^{\inflt }=E^{*}({\text{point}})[x]

E^{*}(\mathb {CP}) ^{\nothy }\time E^{*}(\mathb {CP} ^{\nothy })=E^{*}({\text{point})[[x\otimes 1,1\otimes x]

및 $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ ) $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ ∗ $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ ( $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ ) $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ [ $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ x $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ , $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ ${\displaystyle \mu ^{*(x)\in$ E $^{*}({\text{point})]$ $[[x\otimes$ 1, $1\otimes$ x $]}}$ 은(는 $E^{*}({\text{point}})=\pi ^{*}(E)$ 링 $E^{*}({\text{point}})=\pi ^{*}(E)$ 포인트 $E^{*}({\text{point}})=\pi ^{*}(E)$ ) = $){\displaystyle E^{*}({\text{point}})=\pi ^{*}(E)}$ 에 대한 정식 그룹법이다 $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ $E^{*}({\text{point}})=\pi ^{*}(E)$

복잡한 거미줄은 자연적인 복잡한 방향을 가지고 있다.다니엘 퀼렌(1969년)은 라자르의 보편적인 고리까지 자연적인 이형성이 존재한다는 것을 보여줌으로써 복합적인 거미줄의 형식적인 집단 법칙을 보편적인 형식적인 집단 법칙으로 만들었다.즉, 어떤 교환적 고리 R에 대한 공식적인 집단법 F의 경우, MU^*(점)에서 R에 이르는 독특한 고리 동형성이 있어서 F는 복잡한 거미줄주의의 공식적인 집단법의 후퇴라고 할 수 있다.

브라운-피터슨 코호몰로지

이성애자에 대한 복잡한 코보르디즘은 이성애자에 대한 일반적인 코호몰로지(cohomology)로 축소될 수 있기 때문에, 주된 관심사는 복합적인 코보디즘의 비틀림이다.흔히 MU를 prime p에서 국소화함으로써 한 번에 하나의 prime torsion을 공부하는 것이 더 쉽다; 대략 이것은 p에 대한 torsion prime을 죽이는 것을 의미한다.Prime p에서 MU의 국산화_p MU는 Brown & Peterson cohomology(1966)에 의해 처음 기술된 Brown-Peterson cohomology라고 불리는 단순한 공동 호몰로지 이론의 중단의 합으로 분열된다.실제로 복잡한 거미줄보다는 브라운-피터슨 코호몰로지(Brown-Peterson cohomology)로 계산을 하는 경우가 많다.모든 primes p에 대한 Brown-Peterson 코호모리에 대한 지식은 그것의 복잡한 거미줄에 대한 지식과 대략 동등하다.

코너-플로이드계급

The ring $\operatorname {MU} ^{*}(BU)$ is isomorphic to the formal power series ring $\operatorname {MU} ^{*}({\text{point}})[[cf_{1},cf_{2},\ldots ]]$ where the elements cf are called Conner–플로이드 수업.그것들은 복잡한 거미줄에 대한 체르누스 계급의 유사점이다.코너&플로이드(1966년)에 의해 도입되었다.

Similarly $\operatorname {MU} _{*}(BU)$ is isomorphic to the polynomial ring $\operatorname {MU} _{*}({\text{point}})[[\beta _{1},\beta _{2},\ldots ]]$

코호몰로지 연산

Hopf 대수_* MU(MU)는 다항 대수 R[b₁, b₂, ...]에 이형화되어 있으며, 여기서 R은 0-sphere의 축소된 보르디즘 링이다.

공동효과는 다음에 의해 주어진다.

\cHB_{k}=\sum _{i+j=k}(b)_{2i}^{j+1}\otimes b_{j}}}

여기서 표기법()_2i은 2i의 조각을 취한다는 뜻이다.이것은 다음과 같이 해석할 수 있다.지도

x\to x+b_{1}}x^{2}+b_{2}x^{3}+\cdots

형식 파워 시리즈 링의 연속적인 자동화된 x이며, MU_*(MU)의 조합물은 그러한 두 개의 자동화된 구성을 제공한다.

참고 항목

메모들

^ http://www.math.harvard.edu/~루리/252xnotes/Electure25.pdf

참조

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Brown, Edgar H., Jr.; Peterson, Franklin P. (1966), "A spectrum whose $\mathbb {Z} _{p}$ cohomology is the algebra of reduced p^th powers", Topology, 5 (2): 149–154, doi:10.1016/0040-9383(66)90015-2, MR 0192494.
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Thom, René (1954), "Quelques propriétés globales des variétés différentiables", Commentarii Mathematici Helvetici, 28: 17–86, doi:10.1007/BF02566923, MR 0061823

외부 링크

다지관 지도책의 복잡한 보르디즘
nLab의 거미줄 코호몰로지 이론

[1] ttp://www.math.harvard.edu/~루리/252xnotes/Electure25.pdf

[1]

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