보통다발

수학의 분야인 미분 기하학에서 정상다발은 접선다발을 보완하는 특정한 종류의 벡터다발이며, 임베딩(혹은 몰입)에서 나온다.

정의

리만 다양체

${\displaystyle \mathrm{Let}}{\displaystyle }$(${\displaystyle M}$, g ) ${\displaystyle (M,g)}$은(는) 리만족 다지관이 되고$$, $S{\displaystyle }$⊂ ${\displaystyle M}${\$displaystyle S\subset$ M$}$은 리만족 하위매니폴드가 된다.Define, for a given ${\displaystyle p\in S}$, a vector ${\displaystyle n\in \mathrm {T} _{p}M}$ to be normal to ${\displaystyle S}$ whenever ${\displaystyle g(n,v)=0}$ for all ${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{p}S}$ (so that ${\displaystyle n}$ is orthogonal to T ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{p}S}$ $$.그런 $모든{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle n}$ 중에서$$ $설정$된 N ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \matrm {N} _{p}S}$를 p ${\displaystyle p}$에서 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 대한 정규 공간이라고 한다$.$

다지관에 대한 접선 번들의 총 공간이 다지관에 대한 모든 접선 공간으로부터 구성되는 것처럼, 일반 번들^[1] N $S{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm$ {$N}S}$에서 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$까지의 총 공간은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle \mathrm{N}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \underset{}{p}}$ p ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{S}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ S ${\displaystyle \mathrm {N} S:=\coprod _{p\in$ S$}\mathrm {N} _{p}S$

협곡 묶음은 일반 묶음에 대한 이중 묶음으로 정의된다.그것은 코탄젠트 다발의 하위 번들로서 자연스럽게 실현될 수 있다.

일반적 정의

좀 더 추상적으로 $몰입{\displaystyle }$ i${\displaystyle :N}$ → ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle i\colon N\to$ M$}($예를 들어 임베딩)을 고려할 때, N의 각 지점에서 N의 접선 공간의 인지도 공간을 N의 접선 공간에 따라 M에 N의 일반적인 번들을 정의할 수 있다.리만 다지관의 경우 직교 보완물로 이 지수를 식별할 수 있지만 일반적으로는 (이러한 선택은 $V{\displaystyle }$→ ${\displaystyle V}$/ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V\to V/W}$의 단면과 동일하다.)$$

따라서 정상적인 번들은 일반적으로 아공간으로 제한된 주변 공간의 접선 번들의 몫이다.

형식적으로, M에서 N에 대한 일반^[2] 번들은 M에서 접선 번들의 몫의 번들로, 하나는 N에 벡터 번들의 짧은 정확한 순서를 가지고 있다.

${\displaystyle 0\to TN\to TM\vert _{i(N)}\vert _{M/N:=TM\vert _{i(N)}/TN\to 0}$

여기서 T ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle i_{}}$( N${\displaystyle {}_{}}$) ${\$은(적당하게 풀백 $i{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle i^{*})$에 대한 접선 번들의 제한이다$$.맵 $i{\displaystyle }$ {\$displaystyle i}$을($$를$)$ 통해 M의 벡터 번들에 대한$$ 접선 번들의 $TM}$The fiber of the normal bundle ${\displaystyle T_{M/N}{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}N}$ in ${\displaystyle p\in N}$ is referred to as the normal space at ${\displaystyle p}$ (of ${\displaystyle N}$ in ${\displaystyle M}$).

코노말다발

If ${\displaystyle Y\subseteq X}$ is a smooth submanifold of a manifold ${\displaystyle X}$, we can pick local coordinates ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ around ${\displaystyle p\in Y}$ such that ${\displaystyle Y}$ is locally defined by ${\displaystyle x_{k+1}=\cdots =x_n=}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x_{k+1}=\cHB =x_{n}=0$ 이 좌표를 선택하면

${\displaystyle {\reasoned}T_{p}X&=\mathb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial x_{1}{\p}}\{p}}\pots,{p}}{\frac {\partial x_{n}}}}{p}{p}\Big \rbrace }\}\}\}\brace}\clbrace }\clbrbrbrbrbrbrblblbrbrbrace }\}\}\}\}T_{p}Y&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}} _{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}} _{p}{\Big \rbrace }\\{T_{X/Y}}_{p}&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{k+1}}} _{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}} _{p}{\Big \rbrace }\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {그리고}_{}}$ 이상적인 피복은 x $k{\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 의해 로컬로 생성된다$.$ 따라서 우리는 비감소 쌍을 정의할 수 있다.

${\displaystyle(I_{Y}/I_{Y}^{2})_{p}\time {T_{X/Y}_{p}\longrightarrow \mathb {R}}}}}$

that induces an isomorphism of sheaves ${\displaystyle T_{X/Y}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})^{\vee }}$. We can rephrase this fact by introducing the conormal bundle ${\displaystyle T_{X/Y}^{*}}$ defined via the conormal exact sequence

$0$→ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{}^{}}$/ ${\displaystyle Y_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ↣ ↣ ↣ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ↠ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}{}_{}}$ ω${\displaystyle {}_{}}$ω ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle Y_{}^{}}$ 1 →$$ {\$displaystyle$ 0$\to T_{X/Y$}^{*}\오른쪽 화살표 $\Oomega \{X}^{X}^$1} $_{Y}\weightarrowhere \Oomega$\{$1},$ {Y},$$\}, {$Y}$

then ${\displaystyle T_{X/Y}^{*}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})}$, viz. the sections of the conormal bundle are the cotangent vectors to ${\displaystyle X}$ vanishing on ${\displaystyle TY}$.

$Y{\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ Y$=\lbrace p\rbrace }$이(가) 포인트인$$ 경우 $이상적$인 피복은 p ${\displaystyle p}$에서 사라지는 매끄러운 세균의 껍질이며$$ 이형성은 $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}$의 매끄러운 기능의 세균 측면에서 접선 공간의 정의로 감소한다.

${\displaystyle T_{X/\lbrace p\rbrace }^{*}\simeq (T_{p}X)^{\vee }\simeq {\frac {{\mathfrak {m}}_{p}}{{\mathfrak {m}}_{p}^{2}}}}$.

안정적 정상다발

추상 다지관은 표준적인 접선 다발을 가지고 있지만, 정상적인 다발을 가지고 있지 않다: 다른 다지기의 내장(또는 몰입)만 정상적인 다발을 산출한다.그러나 휘트니 임베딩 정리에 의해 $모든{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$은 R N {\$displaystyle \mathbf{R} ^{N}$에 내장될 수 있으므로, 모든 다지관은 그러한 임베딩이 주어졌을 때 정상적인 다발을 인정한다$.$

일반적으로 임베딩에 대한 자연적인 선택은 없지만, 주어진 M의 경우 충분히 큰 N에$$ $대해{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ R ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathbf {R}$^{$N}$에 포함된 두 개의 임베딩은 규칙적인 동음이의어이므로 동일한 정상 번들을 유도한다.결과적인 정상 번들의 클래스(N이 다를 수 있기 때문에 특정 번들의 클래스가 아니라 번들의 클래스)를 안정적인 정상 번들이라고 한다.

이중에서 접선 번들

일반적인 번들은 K 이론의 의미에서 접선 번들에 이중적이다: 위의 짧은 순서에 의해,

${\displaystyle [TN]+[T_{M/N}]=[TM]}$

그랜디크 그룹에 속해있어.In case of an immersion in ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$, the tangent bundle of the ambient space is trivial (since ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ is contractible, hence parallelizable), so ${\displaystyle [TN]+[T_{M/N}]=0}$, and thus ${\displaystyle [T_{M/N}]=-[TN]}$${\displaystyle [T_{M/N}]=-[TN$

이것은 특성 등급 계산에 유용하며, 유클리드 공간에서 다지관의 불변성과 임베디빌리티에 대한 하한을 증명할 수 있다.

동시 다지관의 경우

다지관 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$$}$이(가) $공통{\displaystyle }$ 다지관$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle \Omega }$ )${\$$displaystyle$ $(M,\omega )}$에 내장되어 있다고$$ 가정해 보십시오$.$ 그러면 X에 대한 공통 일반 번들을 섬유로 X에 대한 벡터 번들로 정의할 수 있다$.$

${\displaystyle (T_{i(x)}X)^{\omega }/(T_{i(x)}X\cap(T_{i(x)}X)^{\omega })^{\quad x\in X,}$

여기서 $i{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle i:X\오른쪽$ 화살표 $M}$은 임베딩을 나타낸다$$.일정한 순위 조건은 이러한 정상 공간이 함께 결합되어 묶음을 형성하도록 보장한다는 점에 유의하십시오.게다가, 모든 섬유는 복합 벡터 공간의 구조를 계승한다.^[3]

다르부스의 정리로는 상수 계급 임베딩이 $i{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$(${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle i^{*}(TM)}$에 의해 국소적으로 결정된다$.$ 이형성

${\displaystyle i^{*}(TM)\cong TX/\nu \oplus (TX)^{\no }/\nu \oplus (\nu \oplus \nu ^{*}),\quad \nu =TX\cap(TX)^{\\\}}}}}}}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 위에 있는 공통 벡터 번들의 경우, 공통 벡터 번들이 이미 로컬로 포함된 상수 순위를 결정한다는 것을 의미한다$$.이 특징은 리만 사건과 비슷하다.

참조