복잡한 투영 공간

수학에서 복잡한 투영 공간은 복잡한 숫자의 영역에 관한 투영 공간이다. 유추에 의해 실제 투영 공간의 지점은 실제 유클리드 공간의 원점을 통해 선에 라벨을 붙이는 반면, 복합 투영 공간의 지점은 복합 유클리드 공간의 원점을 통해 복합 선에 라벨을 붙인다(직관적인 설명은 아래 참조). 형식적으로 복잡한 투영 공간은 (n+1)차원 복합 벡터 공간의 기원을 통한 복합 선의 공간이다. 공간은 P(Cⁿ⁺¹), P_n(C) 또는 CP로ⁿ 다양하게 표시된다. n = 1일 때 복합 투사 공간 CP는¹ 리만 구체, n = 2일 때 CP는² 복합 투사 평면이다(더 많은 기초적인 논의를 위해서는 여기를 참조).

복잡한 투사적 공간은 당시 "지위계"로 알려졌던 것의 한 예로 폰 스토트(1860)에 의해 처음 소개되었는데, 이 개념은 원래 라자레 카르노(Lazare Carnot)의 일종으로 다른 투사적 기하학도 포함되었다. 그 후, 20세기 전환기에 이르러 이탈리아 대수 기하학 학파에게 복잡한 투영 공간은 다항식-대수적 변종(Gratan-Guinness 2005, 페이지 445–446)의 해답을 고려해야 할 가장 자연적인 영역이라는 것이 분명해졌다. 현대에는 복잡한 투영 공간의 위상과 기하학 모두 잘 이해되고 구의 위상과 밀접한 관계가 있다. 실제로 어떤 의미에서 (2n+1)-sphere는 CP에ⁿ 의해 파라메트리된 원의 집합으로 간주될 수 있다. 이것은 Hopf 진동이다. 복잡한 투영 공간에는 (Kahler) 메트릭이 있는데, 이 메트릭은 1위 에르미트 대칭 공간이라는 측면에서 푸비니-스터디 메트릭이라고 불린다.

복잡한 투영 공간은 수학과 양자물리학 모두에 많은 응용을 가지고 있다. 대수 기하학에서 복잡한 투영 공간은 투영 품종의 본거지로서, 대수적 품종의 품격이 좋은 계급이다. 위상에서, 복잡한 투영 공간은 복잡한 선다발을 분류하는 공간으로서 중요한 역할을 한다: 다른 공간에 의해 매개되는 복잡한 선들의 패밀리. 이러한^∞ 맥락에서 CP로 표시된 투영 공간의 무한 결합은 분류 공간 K(Z,2)이다. 양자물리학에서 양자역학계의 순수 상태와 연관된 파동함수는 확률진폭으로 단위규범을 가지고 있으며, 본질적인 전체 위상을 가지고 있다:즉, 순수 상태의 파동함수는 당연히 국가공간의 투영적인 힐버트 공간의 한 점이다.

소개

투영 평면의 개념은 기하학과 예술에 대한 관찰의 개념에서 비롯된다: 유클리드 평면에 그림을 그리는 예술가가 볼 수 있는 지평선을 나타내는 추가 "상상적" 선을 포함시키는 것이 때때로 유용하다. 원점으로부터 각 방향을 따라 지평선에 다른 지점이 있기 때문에 지평선은 원점으로부터 모든 방향의 집합으로 생각할 수 있다. 유클리드 평면은 지평선과 함께 실제 투영 평면으로 불리며, 지평선은 무한대의 선이라고 부르기도 한다. 같은 구조로 인해 투영 공간은 더 높은 차원으로 고려될 수 있다. 예를 들어, 실제 투사형 3-공간은 예술가(필수적으로 4차원으로 살아야 하는 사람)가 볼 수 있는 지평선을 나타내는 무한대의 평면과 함께 유클리드 공간이다.

이러한 실제 투영 공간은 다음과 같이 약간 더 엄격한 방법으로 건설될 수 있다. 여기서 R은ⁿ⁺¹ n+1차원의 실제 좌표 공간을 나타내며, 이 공간에서 도색되는 경관을 초면으로 간주한다. 화가의 눈이 R의ⁿ⁺¹ 기원이라고 가정해 보자. 그리고 그의 눈을 관통하는 각각의 선을 따라, 그 지평선에는 풍경이나 지평선의 지점이 있다. 따라서 실제 투영 공간은 R의ⁿ⁺¹ 원점을 통과하는 선의 공간이다. 좌표에 대한 참조가 없이, 이것은 (n+1)차원 실제 벡터 공간에서 원점을 통과하는 선의 공간이다.

복잡한 투사적 공간을 유사하게 기술하려면 벡터, 선, 방향의 개념을 일반화해야 한다. 실제 유클리드 공간에 서 있는 대신 예술가가 복잡한 유클리드 공간 Cⁿ⁺¹(실제 치수 2n+2)에 서 있고, 풍경이 복잡한 하이퍼플레인(실제 치수 2n)이라고 상상해보자. 실제 유클리드 공간의 경우와는 달리 복잡한 경우에서 예술가가 풍경을 볼 수 없는 방향을 볼 수 있다(높은 차원이 없기 때문이다). 그러나 복잡한 공간에는 지점을 통한 방향과 연관된 추가적인 "상"이 있으며, 이 단계를 조정함으로써 예술가는 그가 전형적으로 풍경을 볼 수 있다고 보장할 수 있다. 그렇다면 '수평'은 방향의 공간이지만, 두 방향이 한 단계씩만 다를 경우 '같은' 것으로 간주된다. 그러면 복잡한 투영 공간은 수평선이 "무한도"에 붙어 있는 풍경(Cⁿ)이다. 실제 사례와 마찬가지로 복잡한 투영 공간은 C의ⁿ⁺¹ 기원을 통한 방향의 공간이며, 두 방향은 한 단계씩 차이가 나면 동일한 것으로 간주된다.

건설

복합 투영 공간은 n + 1 복합 좌표로 설명할 수 있는 복합 다지관이다.

${\displaystyle Z=(Z_{1},Z_{2},\ldots,Z_{n+1},\mathb {C}^{n+1},\qquad(Z_{1},Z_{1},\dots,Z_{n+1})\neq (0,\0,\ldots, ,0)}$

전체적인 재스케일링에 의해 다른 튜플이 식별되는 경우:

${\displaystyle(Z_{1}, Z_{2},\ldots, Z_{n+1},\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\ldots,\lambda Z_{n+1};;;\quad \lambda \in \mathb {C},\qquad \lambda \neq 0.}$

즉, 이것들은 전통적인 투영 기하학의 의미에서 동질적인 좌표들이다. 포인트 세트 CP는ⁿ 패치 ${\displaystyle {Ui}_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle Z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$}$${\$displaystyle U_{i}=\{Z\mid Z_{i}\neq$ 0$\}}}$에 의해 적용되며$,$ U에서는_i 다음과 같이 좌표계를 정의할 수 있다.

${\displaystyle z_{1}=Z_{1}/Z_{i},\quad z_{2}=Z_{2}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{i-1}=Z_{i-1}/Z_{i},\quad z_{i}=Z_{i+1}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{n}=Z_{n+1}/Z_{i}.}$

두 개의 다른 차트 U와_i U 사이의_j 좌표 전환은 홀로모르픽 함수(사실 그것들은 부분적인 선형 변환)이다. 따라서 CP는ⁿ 복합 치수 n의 복합 다지관의 구조와 실제 치수 2n의 실제 다변성 다지관의 구조를 전달한다.

또한ⁿ 다음 U(1)의 작용에 따라 CP를 C에서ⁿ⁺¹ 2n + 1 구 단위의 몫으로 간주할 수 있다.

CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/U(1)

C의ⁿ⁺¹ 모든 선이 원형으로 단위 구를 교차하기 때문이다. 먼저 단위 영역에 투영한 다음 U(1)의 자연 작용에 따라 식별함으로써 CP를ⁿ 얻는다. n = 1의 경우 이 구조는 고전적인 Hopf 번들 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ $3{\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ S$^{3}\to S^{2$ 이러한 관점에서 CP에ⁿ 대한 차별화 가능한 구조를 S의²ⁿ⁺¹ 그것으로부터 유도하여 적절히 작용하는 콤팩트 그룹에 의해 후자의 몫이 된다.

위상

CP의ⁿ 위상은 다음과 같은 세포분해에 의해 귀납적으로 결정된다. H를 C의ⁿ⁺¹ 원점을 통해 고정된 하이퍼플레인(hyperplane)이 되게 하라. 투영 지도 Cⁿ⁺¹\{0} → CPⁿ 아래에서 H는 CP와ⁿ⁻¹ 동형인 아공간으로 들어간다. CP에서ⁿ H의 이미지 보완은 C에ⁿ 대한 동형상이다. 따라서ⁿ CP는 2n 셀을 CP에ⁿ⁻¹ 부착함으로써 발생한다.

${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\mathbf {CP} ^{n1}\컵 \mathbf {C} ^{n}.}$

또는 2n 셀을 C에서ⁿ 개방 단위 볼로 간주하는 경우, 부착 지도가 경계의 Hopfibration이다. 유사한 유도 세포 분해는 모든 투영 공간에 적용된다. 참조 (1978년 기준).

CW-디포지션

복잡한 투영 공간 $C{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) 구성하는 한 가지 유용한 방법은 CW 콤플렉스를 이용한 재귀적 구조를 통해서이다$$. 2-sphere에$$ 동형상 $C{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ S$^{$2}$가$있어 첫 번째 공간이 제공된다는 점을 상기하십시오. 그러면 세포에 주입해서 푸시아웃 지도를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}S^{3}&\hookrightarrow &D^{4}\\\downarrow \\\\\downarrow \\\\\mathbf {CP} ^1}&\mathbf {CP}^{2}\end{matrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $D{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$는 네 개의 공이고, $S{\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}^{}}$ → C ${\displaystyle {\mathbf{1}}^{}}$ ${\$S^{$3}\to \mathbf {CP}$^1}{$1}{$1}는 $\pi$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ $){\displaysty \pi _{3}($S$^{2$})}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{$$ 그런 다음 푸시아웃 다이어그램으로 공간을 유도적으로 구성할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}S^{2n-1}&\hookrightarrow &D^{2n}\\downarrow &&\\\\downarrow \\\\\\\mathbf {CP} ^{n1}&\mathbf {matrix}}}}}}}$

여기서 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$→ C ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- 1 ${\$는 다음$$ 요소를 나타낸다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\pi _{2n-1}(\mathbf {CP} ^{n-1})&\cong \{2n-1}(S^{2n-2})\&\cong \mathb {Z} /2\end{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

호모토피 집단의 이형성은 아래에 설명되어 있으며, 호모토피 집단의 이형성은 안정적인 호모토피 이론(세르 스펙트럼 시퀀스, 프로이트탈 서스펜션 정리, 포스트니코프 타워로 할 수 있다)에서 표준 계산이다. 그 지도는 섬유 묶음에서 나온 것이다.

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n-1}\2headrightarrow \mathbf {CP}^{n-1}$

giving a non-contractible map, hence it represents the generator in ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$. Otherwise, there would be a homotopy equivalence ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}\simeq \mathbf {CP} ^{n-1}\times D^{n}}$, but then it would be homotopy equivalent to ${\di$$splaystyle S^{2}},$ 공간의 호모토피 그룹을 보면 알 수 있는 모순이다$.$

점 집합 위상

복잡한 투영 공간은 작고 연결되며, 작고 연결된 공간의 몫이다.

호모토피군

섬유 묶음에서

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\2headrightarrow \mathbf {CP}^{n}}}}$

또는 더 암시적으로

${\displaystyle U(1)\hookrightarrow S^{2n+1}\2headrightarrow \mathbf {CP}^{n}}}$

CP는ⁿ 간단히 연결된다. 더욱이 긴 정확한 호모토피 순서에 의해 두 번째 호모토피 집단은₂ ((CPⁿ)≅ Z이며, 모든 상위 호모토피 집단은 s²ⁿ⁺¹: π_k(CPⁿ)≅ ≅(S_k²ⁿ⁺¹)의 집단에 모두 동의한다.

호몰로지

일반적으로 CP의ⁿ 대수적 위상은 홀수 치수가 0인 호몰로지 그룹의 순위를 기반으로 한다. 또한 H_2i(CPⁿ, Z)는 i = 0~n에 대한 무한 순환이다. 따라서 베티 번호는

1, 0, 1, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ...

즉, 홀수 치수는 0이고 짝수 치수는 2n까지 1이다. 따라서ⁿ CP의 오일러 특성은 n + 1이다. Poincaré 이중성에 의해 코호몰로지 집단의 등급도 마찬가지다. 코호몰로지(cohomology)의 경우, 더 나아가 등급화된 링 구조를 파악할 수 있으며, 컵 제품의 경우² H(CPⁿ, Z)의 발생기는 하이퍼플레인 관련 등급이며, 이것은 링 발생기여서 링이 이형화되도록 한다.

Z[T]/(Tⁿ⁺¹),

T 도 2 발전기로. 이것은 또한 Hodge 번호^i,i h = 1을 의미하며, 다른 모든 숫자는 0임을 의미한다. 참조 (1978년 제외)

케이이론

인덕션과 Bott의 주기성으로부터 다음과 같은 결과를 얻는다.

${\displaystyle K_{\mathbf {C}{}^{*}(\mathbf {CP} ^{n})=K_{\mathbf {C}^{0}(\mathbf {CP} ^{n}=\mathbf {Z} [H]/(H-1)^{n+1}.}$

접선 번들이 충족됨

${\displaystyle T\mathbf {CP} ^{n}\oplus \vartheta ^{1}=H^{\oplus n+1},}$

여기서 $\vartheta {\displaystyle {}^{}}$ ${\$는 오일러 시퀀스에서 사소한 선다발을 나타낸다. 이를 통해 체르누스 등급과 특성 번호를 명시적으로 계산할 수 있다.

공간 분류

There is a space ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$ which, in a sense, is the inductive limit of ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ as ${\displaystyle n\to \infty }$. It is BU(1), the classifying space of U(1), in the sense of homotopy theory, and so classifies complex line bundles; equivalen체르누스 1등석을 차지한다. 이것은 섬유 묶음 지도를 보면 경험적으로 알 수 있다.

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\2headrightarrow \mathbf {CP}^{n}}}}$

그리고 $n{\displaystyle }$→ $【\displaystyle n\to \ft$ $】.$ 이것은 섬유 묶음(유니버셜 서클 번들이라고 함)을 준다.

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{\\ft}\twoheadrightarrow \mathbf {CP}^{\ft}}}}}$

이 공간을 건설하는 것. Note using the long exact sequence of homotopy groups, we have ${\displaystyle \pi _{2}(\mathbf {CP} ^{\infty })=\pi _{1}(S^{1})}$ hence ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$ is an Eilenberg–MacLane space, a ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$. Because of 이 사실, 그리고 브라운의 대표성 정리, 우리는 다음과 같은 이형동설을 가지고 있다.

${\displaystyle H^{2}(X;\mathb {Z} )\cong [X,\mathbf {CP} ^{\infully }]}$

모든 멋진 CW 콤플렉스 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을 위해$.$ 더구나 체르누스 계급의 이론에서 모든 복잡한 $선다발{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$→ X ${\displaystyle L\to X}$은 C ${\displaystyle {\mathbf{P}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 있는 범용 선다발의 풀백 사각형이 있음을 나타낼 수 있다$$.

${\displaystyle {\begin{matrix}L&\to >{\mathcal {L}\downarrow &\\downarrow \\\\x&\to &\mathbf {CP}^{\infty}\end{matrix}}}}}}}}}}}$

where ${\displaystyle {\mathcal {L}}\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$ is the associated vector bundle of the principal ${\displaystyle U(1)}$-bundle ${\displaystyle S^{\infty }\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$. See, for instance, (Bott & Tu 1982) and (Milnor & Stasheff 1974).

미분 기하학

CP에ⁿ 대한 자연적 측정기준은 푸비니-스터디 측정지표이며, 그 홀로모픽 이소측정계 그룹은 투영적 단일그룹 PU(n+1)로, 포인트의 안정성은 다음과 같다.

${\displaystyle \matrm {P}(1\time \matrm {U}(n)\cong \matrm {PU}(n)).}$

코제트 공간으로 대표되는 에르미트 대칭 공간(고바야시 & 노미즈 1996년)이다.

${\displaystyle U(n+1)/(U(1)\time U(n)\cong SU(n+1)/S(U(1)\time U(n)}}$

p 지점에서의 지오데틱 대칭은 p를 고정하는 단일 변환이며 p로 대표되는 선의 직교보보충에 있는 음의 정체성이다.

지리학

복잡한 투사 공간에서 p, q라는 어떤 두 점을 통해서도 독특한 복합선(CP¹)을 통과한다. p와 q를 포함하는 이 복잡한 선의 큰 원은 푸비니-스터디 메트릭의 지오데틱이다. 특히 모든 지오디컬은 폐쇄되어 있고(그들은 원이다), 모두 길이가 같다.(리만니아 전역의 대칭적인 1위 공간은 항상 그러하다)

어떤 지점 p의 절단 부위는 하이퍼플레인 CP와ⁿ⁻¹ 동일하다. 이것은 p (낮은 p 그 자체)에서 지오데틱 대칭의 고정점들의 집합이기도 하다. 참조 (1978년 제외)

단면 곡률 핀칭

1/4부터 1/1까지의 단면 곡률을 가지며, 구(또는 구에 의해 덮인)가 아닌 가장 둥근 다지관이다. 1/4 핀의 구 정리에 의해, 곡률 1/4과 1 사이의 어떤 완전하고 단순하게 연결된 리만 다지관은 구와 차이가 있다. 복잡한 투영 공간은 1/4이 날카롭다는 것을 보여준다. Conversely, if a complete simply connected Riemannian manifold has sectional curvatures in the closed interval [1/4,1], then it is either diffeomorphic to the sphere, or isometric to the complex projective space, the quaternionic projective space, or else the Cayley plane F₄/Spin(9); see (Brendle-Schoen 2008) harv error: no target: CITEREFBrendle-쇤2008(도움말).

스핀 구조

홀수차원 투영 공간은 회전 구조를 부여할 수 있지만, 짝수차원 공간은 그렇지 않다.

대수 기하학

복잡한 투영 공간은 그라스만족의 특수한 사례로, 다양한 리 집단을 위한 균일한 공간이다. 그것은 본질적으로 대칭 속성에 의해 결정되는 푸비니-스터디 메트릭을 운반하는 Kahler 다지관이다. 또한 대수 기하학에서 중심적인 역할을 한다. 차우의 정리로는 CP의ⁿ 모든 콤팩트 복합 하위매니폴드는 유한한 다항식의 제로 위치로서, 따라서 투영적인 대수적 다양성이다. 참조 (Griffith & Harris 1994)

자리스키 위상

대수 기하학에서 복잡한 투영 공간에는 자리스키 위상(Hartshorne 1971, §II.2) 하브 오류: 대상이 없음: CITREFHartshorne1971(도움말)이라고 알려진 또 다른 위상이 장착될 수 있다. Let S = C[Z₀,..., Z_n]는 (n+1) 변수 Z₀, ..., Z에서_n 다항식의 정류 링을 나타낸다. 이 링은 각 다항식의 총 정도에 따라 등급이 매겨진다.

${\displaystyle S=\bigoplus _{n=0}^{\nft }S_{n}.}$

동일한 다항식 집합의 동시 솔루션 집합인 경우 닫을 CP의ⁿ 하위 집합을 정의하십시오. 닫힌 세트의 보완을 개방한다고 선언하면서, CP의ⁿ 위상(Zariski 토폴로지)을 정의한다.

체계로서의 구조

CPⁿ(및 그 Zariski 위상)의 또 다른 구성이 가능하다. S₊ ⊂ S를 양도의 동종 다항식으로 확장한 이상적이어야 한다.

${\displaystyle \bigoplus _{n}S_{n}.}$

S를₊ 포함하지 않는 S의 모든 동질적 프라이머리 이상 집합으로 Proj S를 정의한다. 형식이 있으면 Proj S의 서브셋을 closed로 호출한다.

${\displaystyle V(I)=\{p\in \operatorname {Proj}S\mid p\supseteq I\}}$

S에 있어서 어떤 이상적 I을 위해서. 이러한 폐쇄형 세트의 보완은 Proj S의 위상(topology)을 정의한다. 링 S는 최상의 이상에서 국산화함으로써 프로이즈 S에서 국부적인 링 한 조각을 결정한다. 공간 Proj S는 위상 및 국소 고리의 조각과 함께 하나의 체계다. Proj S의 닫힌 지점의 하위 집합은 자리스키 위상과 함께ⁿ CP와 동형이다. 피복의 국부 섹션은 CP의ⁿ 총도 0의 합리적인 함수로 식별된다.

라인 번들

복잡한 투영 공간에 있는 모든 라인 번들은 다음과 같은 구조로 얻을 수 있다. 함수 f : Cⁿ⁺¹\{0} → C는 다음과 같은 경우 도 k의 동질이라고 한다.

${\displaystyle f(\data z)=\displayda ^{k}f(z)}$

모든 λ C\{0} 및 z ∈ C\{0ⁿ⁺¹}에 대해. 보다 일반적으로, 이 정의는ⁿ⁺¹ C\{0}의 콘에서 타당하다. V ⊂ Cⁿ⁺¹\{0} 집합은 v ∈ V가 될 때마다 모든 λ C\{0}에 대해 λv ∈ V이면 원뿔이라고 한다. 즉, 부분 집합이 각 지점을 통과하는 복잡한 선을 포함하는 경우 원뿔이다. U ⊂ CP가ⁿ 개방형 세트(분석 위상 또는 Zariski 위상 중 하나)인 경우, V v Cⁿ⁺¹\{0}를 U 위에 원뿔이 되게 한다: 투영ⁿ⁺¹ C\{0} → CPⁿ 아래에 있는 U의 프리이미지. 마지막으로, 각 정수 k에 대해 O(k)(U)를 V에서 도 k의 동질적인 함수 집합으로 한다. 이것은 O(k)로 표시된 특정 선다발 부분의 한 단면을 정의한다.

특수 케이스 k = -1에서 묶음 O(-1)를 tautological line bundle이라고 한다. 그것은 제품의 하위 번들로 동등하게 정의된다.

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\times \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}}}}}}}$

L ∈ CP에ⁿ 대한 섬유는 세트로 되어 있다.

${\displaystyle \{(x,L)\mid x\in L\}.}$

이 선다발들은 디비저의 언어로도 설명될 수 있다. Letⁿ⁻¹ H = CP는ⁿ CP의 주어진 복잡한 하이퍼플레인이다. 기껏해야 H(그리고 그 어디에도 없는)를 따라 단순한 극을 가진 CP의ⁿ 공상형 기능 공간은 O(H)로 표기되는 1차원 공간이며, 하이퍼플레인 번들로 불린다. 이중다발은 O(-H)로 표시되며, O(H)의^th k 텐서 파워는 O(kH)로 표시된다. 이것은 H를 따라 오더 k의 극을 가진 용적함수의 홀모형 곱에 의해 생성되는 피복이다. 알고 보니

$(\displaystyle O(kH)\cong O(k).}$

실제로 L(z) = 0이 H에 대한 선형 정의 함수라면 L은^−k O(k)의 용형 부분이며, 국소적으로 O(k)의 다른 부분은 이 조의 배수다.

H¹(CPⁿ,Z) = 0이기 때문에, CP의ⁿ 라인 번들은 체르누스 계급에 의해 이소모르피즘으로 분류된다. 정수는 H²(CPⁿ,Z) = Z이다. 사실, 복잡한 투영 공간의 체르누스 클래스는 초면 H와 연관된 호몰로지 클래스에 의해 푸앵카레 이중성에 따라 생성된다. 선다발 O(kH)는 체른 등급 k를 가지고 있다. 따라서 CP의ⁿ 모든 홀모픽 라인 번들은 O(H) 또는 O(-H)의 텐서 파워다. 즉, CP의ⁿ 피카르 그룹은 하이퍼플레인 클래스[H]에 의해 아벨리안 그룹으로 생성된다(Hartshorne 1977).

참고 항목

• 그로모프의 복잡한 투영공간에 대한 불평등
• 프로젝티브 힐버트 공간
• 쿼터니온 투영 공간
• 실제 투영 공간
• 복합 아핀 공간
• K3면

참조

• Besse, Arthur L. (1978), Manifolds all of whose geodesics are closed, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Results in Mathematics and Related Areas], vol. 93, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-08158-6.
• Bott, Raoul; Tu, Loring W. (1982), Differential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90613-3.
• Brendle, Simon; Schoen, Richard (2008), "Classification of manifolds with weakly 1/4-pinched curvatures", Acta Mathematica, 200: 1–13, arXiv:0705.3963, doi:10.1007/s11511-008-0022-7.
• Grattan-Guinness, Ivor (2005), Landmark writings in western mathematics 1640–1940, Elsevier, ISBN 978-0-444-50871-3.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Klingenberg, Wilhelm (1982), Riemannian geometry, Walter de Greuter, ISBN 978-3-11-008673-7.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Volume II, Wiley Classics Library edition, ISBN 978-0-471-15732-8.
• Milnor, John Willard; Stasheff, James D. (1974), Characteristic classes, Princeton University Press, MR 0440554.
• von Staudt, Karl Georg Christian (1860), Beiträge zur Geometrie der Lage, Nuremberg.