상수 k 필터

상수 k 필터(k-type 필터)는 이미지 방법을 사용하여 설계된 전자 필터의 한 종류입니다.이러한 필터는 이 방법론에 의해 생성된 최초의 단순한 필터이며 패시브 컴포넌트의 동일한 섹션의 사다리 네트워크로 구성됩니다.지금까지 충분한 수의 섹션을 추가하면 필터 주파수 응답에 가장 적합한 필터입니다.그러나 이러한 원리는 필터 응답 예측에서 더 정확한 다른 방법론으로 대체되어 현대 설계에서는 거의 고려되지 않는다.

역사

상수 k 필터는 조지 캠벨에 의해 발명되었다.1922년에 ^[1]작품을 발표했지만, AT&T사의 동료인 오토 조벨이 이 시기에 이미 디자인을 개선하고 있었기 때문에,^[2] 그는 분명히 필터를 발명했다.캠벨의 필터는 이전에 사용되었던 단순한 단일 소자 회로보다 훨씬 우수했습니다.캠벨은 그의 필터를 전파 필터라고 불렀지만, 이 용어는 나중에 어떤 주파수의 파동을 통과하지만 다른 주파수는 통과하지 않는 모든 필터를 의미하게 되었다.그 후 많은 새로운 형태의 파동 필터가 발명되었다. 초기(그리고 중요한) 변화는 ^[3]캠벨 필터를 구별하기 위해 상수 k라는 용어를 만든 조벨에 의해 m에서 파생된 필터이다.

캠벨의 필터는 RL 회로 및 기타 당시의 간단한 필터에 비해 통과 대역과 정지 대역 사이의 전환의 원하는 정도의 정지 대역 제거 또는 급경사에 맞게 설계될 수 있다는 것이 큰 장점입니다.원하는 응답을 ^[4]얻을 때까지 필터 섹션을 추가하면 됩니다.

이 필터는 전송선상에서 다중화된 전화 채널을 분리하기 위한 목적으로 캠벨에 의해 설계되었지만, 그 이후의 사용은 그것보다 훨씬 더 널리 사용되고 있습니다.캠벨이 사용한 설계 기법은 대부분 대체되었습니다.그러나 Campbell이 상수 k와 함께 사용한 사다리 토폴로지는 Tchebischef 필터와 같은 최신 필터 설계의 구현과 함께 오늘날에도 여전히 사용되고 있습니다.캠벨은 저역 통과, 고역 통과 및 대역 통과 필터에 대해 일정한 k개의 설계를 제공했습니다.밴드 스톱 및 다중 밴드 필터도 가능합니다.^[5]

용어.

이 문서에서 사용하는 임피던스 항과 섹션 항 중 일부를 다음 그림에 나타냅니다.이미지 이론은 2포트 섹션의 무한 캐스케이드 측면에서 양을 정의하고, 논의되는 필터의 경우 L 섹션의 무한 사다리 네트워크라는 관점에서 양을 정의합니다.여기서 "L"은 인덕턴스 L과 혼동해서는 안 됩니다.전자 필터 토폴로지에서는 "L"은 반전 문자 "L"과 유사한 특정 필터 형태를 나타냅니다.

가상 무한 필터의 섹션은 임피던스 2Z를 갖는 직렬 요소와 어드미턴스 2Y를 갖는 션트 요소로 구성됩니다.2의 계수는 수학적인 편의를 위해 도입되었다. 왜냐하면 그것이 사라지는 반구간에서 일하는 것이 일반적이기 때문이다.섹션의 입력 포트와 출력 포트의 이미지 임피던스는 일반적으로 동일하지 않습니다.그러나 중간 시리즈 섹션(즉, 시리즈 요소의 중간에서 다음 시리즈 요소의 중간까지 섹션)의 경우 대칭으로 인해 두 포트의 이미지 임피던스가 동일합니다.이 이미지 임피던스는Z_iT이 때문에T미드 시리즈 섹션의 토폴로지.마찬가지로 미드분트 섹션의 이미지 임피던스가 지정됩니다.Z_iΠ이 때문에Π" 토폴로지.그 절반"T"또는"Π"섹션은 L 섹션이지만 전체 L 섹션의 요소 값의 절반이 있는 섹션을 하프 섹션이라고 합니다.입력 포트와 출력 포트에서 하프 섹션의 이미지 임피던스가 다릅니다. 직렬 요소를 표시하는 측면에서 중간 직렬과 동일합니다.Z_iT단, 션트 요소를 나타내는 측면은 중간과 동일합니다.Z_iΠ따라서 하프섹션을 사용하는 방법에는 두 가지가 있습니다.

이 기사 또는 섹션의 일부는 콘덴서와 인덕터의 복잡한 임피던스 표현에 대한 독자의 지식과 신호의 주파수 영역 표현에 대한 지식에 의존합니다.

파생

일정한 k개의 저역 통과 필터 절반 섹션.여기서 인덕턴스 L은 Ck와² 같다.

k개의 일정한 밴드 통과 필터의 절반 섹션.
L₁ = Ck₂² 및 L₂ = Ck₁²

k개의 일정한 시제품의 저역 통과 필터의 이미지 임피던스_iT Z는 주파수

{\

에 대해 플롯됩니다.임피던스는 순수하게 저항성(실제

\omega

이고,

(\

\omega

_{c

보다 크면 순수하게 반응성(상상)입니다.

상수 k 필터의 구성 요소는 직렬 임피던스 Z와 션트 어드미턴스 Y로 구성된 "L" 네트워크입니다."상수 k"의 "k"는 다음에 ^[6]의해 주어진 값이다.

k^{2}=black {Z}{Y}}

따라서 k는 임피던스 단위, 즉 옴을 가집니다.k가 일정하기 위해서는 Y가 Z의 이중 임피던스여야 한다는 것은 쉽게 알 수 있습니다.k의 물리적 해석은 k를 초기값으로 유지하면서 섹션의 크기(인덕턴스, 캐패시턴스 등 성분의 값)가 0에 가까워짐에 따라 k가 Z의_i 한계값임을 관찰함으로써 얻을 수 있다.따라서, k는 이러한 극히 작은 단면에 의해 형성되는 전송선의 특성 임피던스 Z입니다₀.또한 밴드 통과 필터의 경우 공진 시 섹션의 영상 임피던스 또는 로우 통과 ^[7]필터의 경우 θ = 0에서 영상 임피던스입니다.예를 들어, 사진의 로우패스 하프섹션은

k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}

k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}

k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}

k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}

k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}

i

k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}

C

k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}

k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}

{

displaystyle

k =

lc

{

frac { i

\

메가

L } { i \

메가

C } =

lcrt

{

frac

{

k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}

L

k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}

} {

C

}

k={\sqrt {\frac {i\omega L}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}

= lcrt { frac { L } 。

소자 L과 C는 k.Z와 Y의 같은 값을 유지하면서 임의로 작게 만들 수 있지만, 둘 다 0에 가까워지고 있으며, 화상 임피던스 공식(아래)에서 볼 수 있다.

\lim _{Z,Y\to 0}Z_{\mathrm {i} }=k

Y\to

0

}Z_{\mathrm {i} =k

이미지 임피던스

섹션의 이미지 임피던스는 다음과^[8] 같습니다.

{Z_{\mathrm {iT}}}}{2}=Z^{2}+k^{2}}

그리고.

{{displaystyle {1}{Z_{\mathrm {i\Pi}}}{2}={Y_{\mathrm {i\Pi}}}}}^{2}=Y^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}}

필터에 저항성 요소가 포함되어 있지 않은 경우 필터 통과 대역의 이미지 임피던스는 순수하게 실재하고 정지 대역의 이미지 임피던스는 순수하게 허구입니다.예를 들어, 사진의 로우패스 하프섹션의 ^[9]경우,

{Z_{\mathrm {iT}}}^2}=-((오메가 L)^{2}+{\frac {L}{C}}

이 이행은 다음에 의해 주어지는 컷오프 빈도로 발생합니다.

\mega _{c}=black {1}{\displayrt {LC}}}

이 주파수 이하에서는 이미지 임피던스가 실재합니다.

Z_{\mathrm {iT}}=L{\sqrt {\sqrt _{c}^{2}-\obega ^{2}}

컷오프 주파수 이상에서는 영상 임피던스가 가상입니다.

Z_{\mathrm {iT}}=iL{\sqrt {\mega ^{2}-\mega _{c}^{2}}

전송 파라미터

네퍼의 감쇠와 라디안의 위상 변화를 보여주는 단일 하프 섹션의 상수 k 프로토타입 저역 통과 필터의 전송 함수입니다.

일반 상수 k의 절반 단면에 대한 전송 매개변수는 다음과^[10] 같습니다.

\sinh =\sinh ^{-1}{\frac {Z}{k}}

n개의 하프섹션 체인에 대해

(\displaystyle_{n}=n\displaystyle,\!)

로우패스 L자형 섹션의 경우 컷오프 주파수 아래의 전송 파라미터는^[8] 다음과 같습니다.

\displaystyle =\alpha +i\sin = 0+i\sin ^{-1}{\frac {\ofmega }{\ofega _{c}}}

즉, 신호가 변화하는 위상만 있는 패스 대역에서 전송은 무손실입니다.컷오프 주파수 이상의 전송 파라미터는 다음과 같습니다.^[8]

\alpha +i\cosh =\cosh ^{-1}{\frac {\opega _{c}}+i440frac {{pi }{2}

프로토타입 변환

표시된 이미지 임피던스, 감쇠 및 위상 변화 플롯은 로우패스 프로토타입 필터 섹션에 해당합니다.프로토타입의 차단 주파수는 θ_c = 1 rad/s이며 공칭 임피던스 k = 1 Ω입니다.이는 인덕턴스 L = 1 henry 및 캐패시턴스 C = 1 패러드의 필터 절반 단면에 의해 생성됩니다.이 프로토타입은 임피던스 스케일링과 주파수 스케일링을 원하는 값으로 할 수 있습니다.또한 적절한 주파수 변환을 적용하여 로우패스 ^[11]프로토타입을 하이패스, 밴드패스 또는 밴드스톱 유형으로 변환할 수 있습니다.

계단식 섹션

응답 획득, H(ω)의 체인에 대해서nlow-pass constant-k 필터 하프섹션

여러 L자형 하프섹션을 캐스케이드하여 복합필터를 형성할 수 있습니다.같은 임피던스는 항상 이러한 조합과 같아야 합니다.따라서 2개의 동일한 L자형 하프섹션으로 형성할 수 있는2개의 회로가 있습니다.영상 임피던스_iT Z의 포트가 다른_iT Z를 향하고 있는 경우 이 섹션을Π부분.여기서_iΠ Z는 Z를 향하며_iΠ, 이렇게 형성된 단면은 T단면이다.이들 섹션 중 하나에 반단면을 더 추가하면 직렬 또는 션트 ^[12]요소로 시작하고 끝날 수 있는 사다리 네트워크가 형성됩니다.

단면이 이미지 임피던스로 종단되는 경우에만 이미지 방법으로 예측되는 필터의 특성이 정확하다는 점에 유의해야 합니다.이것은 보통 양쪽 끝의 섹션에는 해당되지 않으며, 일반적으로 고정 저항으로 끝납니다.종단 임피던스의 영향은 중간 ^[13]부분에 의해 가려지기 때문에 필터의 끝에서 멀어질수록 예측은 더욱 정확해집니다.

이미지 필터 섹션

언밸런스
L 하프 섹션	T섹션	π섹션

사다리 네트워크

균형 잡힌
C 하프섹션	H섹션		박스 섹션

사다리 네트워크

X 섹션(중간 T 파생)		X섹션(중간파생)

N.B.	교과서나 설계도면에는 보통 불균형 구현이 나타나 있지만 통신에서는 균형 잡힌 회선과 함께 사용할 경우 설계를 균형 잡힌 구현으로 변환해야 하는 경우가 많습니다.	편집하다

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Campbell, G. A. (November 1922), "Physical Theory of the Electric Wave-Filter", Bell System Tech. J., 1 (2): 1–32, doi:10.1002/j.1538-7305.1922.tb00386.x
^ 브레이, 페이지 62는 1910을 필터에 대한 캠벨의 연구의 시작으로 제시합니다.
^ White, G. (January 2000), "The Past", BT Technology Journal, 18 (1): 107–132, doi:10.1023/A:1026506828275, S2CID 62360033
^ 브레이, 페이지 62
^ 미국 특허 1,509,184는 1920년 4월 30일에 출원되어 1924년 9월 23일에 발행된 Zobel, O J, Multiple-band wave filter, 미국 특허 1,509,184.
^ 조벨, 1923, 페이지 6
^ 조벨, 1923, 페이지 3-4
^ ^a ^b ^c 마태이 외, 페이지 61
^ 마태이 외, 페이지 61-62.
^ 조벨, 1923년, 페이지 3
^ 마태이 외, 페이지 96-97, 412-413, 438-440, 727-729.
^ 마태이 외, 65-68페이지.
^ 마태이 외, 페이지 68

레퍼런스

Bray, J., Innovation and the Communications Revolution, 전기 엔지니어 협회, 2002.
Matthaei, G.; Young, L.; Jones, E. M. T., 마이크로파 필터, 임피던스 매칭 네트워크 및 커플링 구조 McGrow-Hill 1964.
조벨, O.J.균일 및 복합 전파 필터의 이론 및 설계, 벨 시스템 기술 저널, Vol. 2(1923), 페이지 1~46.

추가 정보

분석의 간단한 처리에 대해서는, 을 참조해 주세요.

Ghosh, Smarajit (2005), Network Theory: Analysis and Synthesis, New Delhi: Prentice Hall of India, pp. 544–563, ISBN 81-203-2638-5

[1] Campbell, G. A. (November 1922), "Physical Theory of the Electric Wave-Filter", Bell System Tech. J., 1 (2): 1–32, doi:10.1002/j.1538-7305.1922.tb00386.x

[2] 브레이, 페이지 62는 1910을 필터에 대한 캠벨의 연구의 시작으로 제시합니다.

[3] White, G. (January 2000), "The Past", BT Technology Journal, 18 (1): 107–132, doi:10.1023/A:1026506828275, S2CID 62360033

[4] 브레이, 페이지 62

[5] 미국 특허 1,509,184는 1920년 4월 30일에 출원되어 1924년 9월 23일에 발행된 Zobel, O J, Multiple-band wave filter, 미국 특허 1,509,184.

[6] 조벨, 1923, 페이지 6

[7] 조벨, 1923, 페이지 3-4

[Matt61-8] 마태이 외, 페이지 61

[9] 마태이 외, 페이지 61-62.

[10] 조벨, 1923년, 페이지 3

[11] 마태이 외, 페이지 96-97, 412-413, 438-440, 727-729.

[12] 마태이 외, 65-68페이지.

[13] 마태이 외, 페이지 68

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