수학에서 연속적인 한 다항식 은 초기하 직교 다항식의 아스키 체계 에서 직교 다항식 의 계열이다. 그것들은 일반화된 초기하 함수 의 관점에서 정의된다.
p n ( x ; a , b , c , d ) = i n ( a + c ) n ( a + d ) n n ! 3 F 2 ( − n , n + a + b + c + d − 1 , a + i x a + c , a + d ; 1 ) {\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d)=i^{n}{\frac {(a+c)_{n}(a+d)_{n}{n! }}{}_{3}F_{2}\왼쪽({\begin{array}{c}-n,n+a+a+b+c+d-1,a+d\end{array};1\오른쪽)} 로엘로프 코에코크, 피터 A. 레스키, 레네 F. 스와르투우(2010 , 14)는 그들의 재산에 대한 상세한 목록을 제공한다.
밀접하게 관련된 다항식으로는 이중 한 다항식 R n x ;γ,Δ,N ), 한 다항식 n x ;a ,b ,c ), 연속 이중 다항식 S n x ;a ,b ,c )가 있다. 이러한 다항식에는 모두 q-Han 의 다항식 n x ;α,β, N ;q ) 등과 같은 추가 매개변수 q 가 있는 q-아날로그가 있다.
직교성 연속적인 한 다항식 p n x ;a ,b ,c ,d )는 체중 함수와 관련하여 직교한다.
w ( x ) = Γ ( a + i x ) Γ ( b + i x ) Γ ( c − i x ) Γ ( d − i x ) . #\displaystyle w(x)=\Gamma(a+ix)\,\Gamma(b+ix)\,\Gamma(c-ix)\,\Gamma(d-ix)\. } 특히 직교 관계를[1] [2] [3]
1 2 π ∫ − ∞ ∞ Γ ( a + i x ) Γ ( b + i x ) Γ ( c − i x ) Γ ( d − i x ) p m ( x ; a , b , c , d ) p n ( x ; a , b , c , d ) d x = Γ ( n + a + c ) Γ ( n + a + d ) Γ ( n + b + c ) Γ ( n + b + d ) n ! ( 2 n + a + b + c + d − 1 ) Γ ( n + a + b + c + d − 1 ) δ n m {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{m}(x;a,b,c,d)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\,dx\\&\qquad \qquad ={\frac {\Gamma (n+a+c)\,\Gamma (n+a+d)\,\Gamma (n+b+c)\,\Gamma (n+b+d)}{n!(2n+a+b+c+d-1)\,\Gamma (n+a+b+c+d-1) }}}\\cHB _{nm}\end{aigned}}} for ℜ ( a ) > 0 {\displaystyle \Re (a)>0} ℜ ( b ) > 0 {\displaystyle \Re (b)>0} ℜ ( c ) > 0 {\displaystyle \Re (c)>0} ℜ ( d ) > 0 {\displaystyle \Re (d)>0} c = a ¯ {\displaystyle c={\overline {a}}} d = b ¯ {\displaystyle d={\overline {b}}}
재발 및 차이 관계 연속적인 한 다항식의 순서는 반복 관계를[4]
x p n ( x ) = p n + 1 ( x ) + i ( A n + C n ) p n ( x ) − A n − 1 C n p n − 1 ( x ) , {\displaystyle xp_{n}(x)=p_{n+1}(x)+i(A_{n}+C_{n}p_{n-1}C_{n-1}C_{n-1}{n-1}(x),} 어디에 p n ( x ) = n ! ( n + a + b + c + d − 1 ) ! ( 2 n + a + b + c + d − 1 ) ! p n ( x ; a , b , c , d ) , A n = − ( n + a + b + c + d − 1 ) ( n + a + c ) ( n + a + d ) ( 2 n + a + b + c + d − 1 ) ( 2 n + a + b + c + d ) , 그리고 C n = n ( n + b + c − 1 ) ( n + b + d − 1 ) ( 2 n + a + b + c + d − 2 ) ( 2 n + a + b + c + d − 1 ) . {\displaystyle {\displaystyle}{\text{where}\p_{n}(x)={\frac {n!(n+a+b+c+d-1)! }{{n+a+b+c+d-1)! }}p_{n}(x;a,b,c,d),\\&A_{n}=-{\frac {(n+a+b+c+d-1)(n+a+c)(n+a+d)}{(2n+a+b+c+d-1)(2n+a+b+c+d)}},\\{\text{and}}\quad &C_{n}={\frac {n(n+b+c-1)(n+b+d-1)}{(2n+a+b+c+d-2)(2n+a+b+c+d-1)}}. \end{정렬}}} 로드리게스 공식 연속적인 한 다항식은 로드리게스식 식에[5]
Γ ( a + i x ) Γ ( b + i x ) Γ ( c − i x ) Γ ( d − i x ) p n ( x ; a , b , c , d ) = ( − 1 ) n n ! d n d x n ( Γ ( a + n 2 + i x ) Γ ( b + n 2 + i x ) Γ ( c + n 2 − i x ) Γ ( d + n 2 − i x ) ) . {\displaystyle {\begin{ligned}&\Gamma (b+ix)\\\Gamma (c-ix)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\&\qquad ={n}{n! }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(\Gamma \left(a+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(b+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(c+{\frac {n}{2}}-ix\right)\,\Gamma \left(d+{\frac {n}{2}}-ix\right)\right). \end{정렬}}} 함수 생성 연속적인 한 다항식에는 다음과 같은 생성 기능이 있다.[6]
∑ n = 0 ∞ Γ ( n + a + b + c + d ) Γ ( a + c + 1 ) Γ ( a + d + 1 ) Γ ( a + b + c + d ) Γ ( n + a + c + 1 ) Γ ( n + a + d + 1 ) ( − i t ) n p n ( x ; a , b , c , d ) = ( 1 − t ) 1 − a − b − c − d 3 F 2 ( 1 2 ( a + b + c + d − 1 ) , 1 2 ( a + b + c + d ) , a + i x a + c , a + d ; − 4 t ( 1 − t ) 2 ) . {\displaystyle {\begin{aigned}&\sum _{n=0}^{\n\frac {\gamma(n+a+b+c+d)\\\\gamma(a+c+1)\\gma(a+d+1) }{\Gamma (a+b+c+d)\,\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+a+d+1)}}(-it)^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad =(1-t)^{1-a-b-c-d}{}_{3 }F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}(a+b+c+d-1),{\frac {1}{2}}(a+b+c+d),a+ix\\a+c,a+d\end{array}};-{\frac {4t}{(1-t)^{2}}}\right). \end{정렬}}} 두 번째 뚜렷한 생성 함수는 다음과 같다.
∑ n = 0 ∞ Γ ( a + c + 1 ) Γ ( b + d + 1 ) Γ ( n + a + c + 1 ) Γ ( n + b + d + 1 ) t n p n ( x ; a , b , c , d ) = 1 F 1 ( a + i x a + c ; − i t ) 1 F 1 ( d − i x b + d ; i t ) . {\displaystyle \sum \{n=0}^{\inflt }{\frac {\Gamma(a+c+1)\,\Gamma(b+d+1) }}{\감마(n+a+c+1)\,\감마(n+b+d+1) }}t^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)=\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}a+ix\\a+c\end{array}};-it\right)\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}d-ix\\b+d\end{array}};it\right). } 다른 다항식과의 관계 윌슨 다항식 은 연속적인 한 다항식의 일반화다.Bateman 다항식 F n a =b =c =d =1/2와 관련된다. p n ( x ; 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 ) = i n n ! F n ( 2 i x ) . {\displaystyle p_{n}\왼쪽(x;{\tfrac {1}{1}:{1}:{2}},{\tfrac {1}{1}:{1}2}},{\tfrac {1}{1}{1}:{n}n! F_{n}\왼쪽(2ix\오른쪽). } 자코비 다항식 P n (α,β) (x)는 연속적인 한 다항식의 제한 사례로 얻을 수 있다.[7] P n ( α , β ) = 임이 있는 t → ∞ t − n p n ( 1 2 x t ; 1 2 ( α + 1 − i t ) , 1 2 ( β + 1 + i t ) , 1 2 ( α + 1 + i t ) , 1 2 ( β + 1 − i t ) ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\lim _{t\to \infty }t^{-n}p_{n}\left({\tfrac {1}{2}}xt;{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1-it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1+it), {\tfrac {1}{1}:{2}}(\cHB +1+it), {\tfrac {1}{1}:{2}}(\cHB +1-it)\오른쪽). } 참조 ^ Koekoek, Lesky, & Swarttouw(2010), 페이지 200. ^ 아스키, R. (1985), "연속 한 다항식", J. Phys. A: 수학. 18장 : 페이지L1017-L1019. ^ Andrews, Askey, & Roy(1999), 페이지 333. ^ Koekoek, Lesky, & Swarttouw(2010), 201페이지. ^ Koekoek, Lesky, & Swarttouw(2010), 페이지 202. ^ Koekoek, Lesky, & Swarttouw(2010), 페이지 202. ^ Koekoek, Lesky, & Swarttouw(2010), 페이지 203. Hahn, Wolfgang (1949), "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische Nachrichten , 2 : 4–34, doi :10.1002/mana.19490020103 , ISSN 0025-584X , MR 0030647 Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Hypergeometric orthogonal polynomials and their q-analogues , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN 978-3-642-05013-8 MR 2656096 Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Hahn Class: Definitions" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Special functions , Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-62321-6 
