다항식 수열
수학 에서 야코비 다항식 (가끔 초기하 다항식이라고 도 함) P (α , β ) n x )직교 다항식 의 한 종류 이다.[-1, 1] 구간의 무게(1 - x )(α β x 게겐바우어 다항식 과 레전드르 , 제르니케 , 체비셰프 다항식은 야코비 [1]
야코비 다항식은 칼 구스타프 야코비에 의해 도입되었다.
정의들 하이퍼 지오메트릭 함수를 통해 Jacobi 다항식은 하이퍼기하 함수 를 통해 [2]
P n ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) n n ! 2 F 1 ( − n , 1 + α + β + n ; α + 1 ; 1 2 ( 1 − z ) ) , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha,\displays )}(z)=param frac {(\alpha +1)_{n}}{n! },{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),}} 여기서 α + 1 n displaystyle (\alpha +1)_{n} Pochhammer의 기호 (상승 요인)입니다. 이 경우, 하이퍼기하 함수의 급수는 유한하기 때문에 다음과 같은 등가식을 얻을 수 있습니다.
P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + n + 1 ) n ! Γ ( α + β + n + 1 ) ∑ m = 0 n ( n m ) Γ ( α + β + n + m + 1 ) Γ ( α + m + 1 ) ( z − 1 2 ) m . {\displaystyle P_{n}^{{alpha,\displays}}(z)=440frac {Gamma(\alpha + n+1) }{n!},\Gamma (\alpha +\beta + n + 1) }}\sum _{m=0}^{n}{n\choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\gampa + n + m + 1) }{\Gamma (\alpha + m+1) }}\frac {z-1}{2}}\right)^{m}.}. 로드리게스의 공식 Rodrigues의 공식은 다음 과 같다.[1] [3]
P n ( α , β ) ( z ) = ( − 1 ) n 2 n n ! ( 1 − z ) − α ( 1 + z ) − β d n d z n { ( 1 − z ) α ( 1 + z ) β ( 1 − z 2 ) n } . {\displaystyle P_{n}^{\displaystyle P_{n}{(\alpha,\displaystyle P_{n}{(\alpha)}{{n}}{\frac {d^{n}}}{(\z)^{n}}{-\left}{1-z+z}{n}}{alpha}{1+z}}}{alpha}{n}}}}{alpha}}}}}}}{{\}}}}}}}}}}{(\ ^{n}\right\}. } α = = 0 style \alpha display 0 Legendre 다항식 으로 감소합니다.
P n ( z ) = 1 2 n n ! d n d z n ( z 2 − 1 ) n . {\displaystyle P_{n}(z)=param frac {1}{2^{n}n! }}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}\;.} 실제 인수의 대체 식 실수 x에 대하여 야코비 다항식은 대안으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
P n ( α , β ) ( x ) = ∑ s = 0 n ( n + α n − s ) ( n + β s ) ( x − 1 2 ) s ( x + 1 2 ) n − s {\displaystyle P_{n}^{\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose n-s}{n+\choose s}\lefts\frac {x-1}{{2}\right}^{s}\displaystyle\frac {x+1}{2}{2} }\right)^{n-s} 및 정수 n의 경우
( z n ) = { Γ ( z + 1 ) Γ ( n + 1 ) Γ ( z − n + 1 ) n ≥ 0 0 n < > 0 {displaystyle {z \choose n}=case {\frac(z+1)}{\ 감마(n+1)\Gamma(z-n+1)}}\n\geq 0\\0&n<0\end{case}} 여기서 δ(z ) 는 감마 함수 이다.
n, n + α, n + β n + α + β의 4가지 양
P n ( α , β ) ( x ) = ( n + α ) ! ( n + β ) ! ∑ s = 0 n 1 s ! ( n + α − s ) ! ( β + s ) ! ( n − s ) ! ( x − 1 2 ) n − s ( x + 1 2 ) s . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha,\alpha)}(x)=(n+\alpha )!(n+\alpha )! \sum _{s=0}^{n}{\frac {1}{s!(n+\alpha -s)! (\cisco + s)! (n-s)! }}\leftfrac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\leftfrac {x+1}{2 }}\right)^{s}} (1 )
합계는 인수 인수가 음이 아닌 s의 모든 정수 값으로 확장됩니다.
특수한 경우 P 0 ( α , β ) ( z ) = 1 , {\displaystyle P_{0}^{{alpha,\displays}}(z)=1,} P 1 ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) + ( α + β + 2 ) z − 1 2 , {\displaystyle P_{1}^{(\alpha,\display)}(z)=(\alpha +1)+(\alpha +\display +2){\frac {z-1}{2}} P 2 ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) ( α + 2 ) 2 + ( α + 2 ) ( α + β + 3 ) z − 1 2 + ( α + β + 3 ) ( α + β + 4 ) 2 ( z − 1 2 ) 2 . {\displaystyle P_{2}^{(\alpha,\display)}{(\alpha + 1)(\alpha + 2)}{{\frac + 3){\frac {(\alpha +\display + 3)\frac {\frac + 3}{\frac + 3}{\frac +\flac + 3}{\flapa + 4}{\frac + 4}{\frac + 4}{\f}{\frac + 2}{\f}{\f} {\f} {\f} 기본 속성 직교성 야코비 다항식은 직교 조건을 만족한다
∫ − 1 1 ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β P m ( α , β ) ( x ) P n ( α , β ) ( x ) d x = 2 α + β + 1 2 n + α + β + 1 Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) Γ ( n + α + β + 1 ) n ! δ n m , α , β > − 1. \displaystyle \int _{-1}^{\alpha }(1+x)^{\alpha }{{m}^{(alpha,\alpha})}(x)P_{n}{{{\alpha}(x)}(x)}, frac {2^{\alpha}+{n}}{\frclash}+fr}}}} 감마 (n+\alpha +\beta +1)n! }}\syslog _{nm},\qquad \alpha,\\syslog >-1. } 정의된 바와 같이 무게에 대한 단위 규범이 없습니다. 이는 위의 방정식의 오른쪽 제곱근(n = m displaystyle =m
직교 정규화 기준을 산출하지는 않지만 다음과 같은 단순성 때문에 대체 정규화가 선호될 수 있습니다.
P n ( α , β ) ( 1 ) = ( n + α n ) . {\displaystyle P_{n}^{\alpha,\alpha}(1)={n+\alpha \choose n}. } 대칭 관계 다항식은 대칭 관계를 갖는다.
P n ( α , β ) ( − z ) = ( − 1 ) n P n ( β , α ) ( z ) ; {\displaystyle P_{n}^{{n}(\displaystyle P_{n}^{\beta,\alpha})^{{n}(z);} 따라서 다른 단말기는
P n ( α , β ) ( − 1 ) = ( − 1 ) n ( n + β n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha,\display )}(-1)=param1)^{n}{n+\param\choose n}. } 파생상품 명시적 표현의 k번째 도함수는 다음과 같이 이어진다.
d k d z k P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + β + n + 1 + k ) 2 k Γ ( α + β + n + 1 ) P n − k ( α + k , β + k ) ( z ) . ({displaystyle {d^{k}}{dz^{k}}P_{n}^{(alpha,\display)}(z)=parcfrac {Gamma(\alpha +\display + n+1+k) }{2^{k}\Gamma(\alpha +\beta +n+1)} }P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z). } 미분 방정식 야코비 다항식 (α , β ) n 2차 선형 동질 미분 [1]
( 1 − x 2 ) y ″ + ( β − α − ( α + β + 2 ) x ) y ′ + n ( n + α + β + 1 ) y = 0. \displaystyle \left(1-x^{2}\right)y'+(\alpha -(\alpha +\alpha +2)x'+n(n+\alpha +\alpha +1)y=0. } 반복 관계 고정α ,β 의 야코비 다항식에 대한 반복 관계는 다음과 같다.[1]
2 n ( n + α + β ) ( 2 n + α + β − 2 ) P n ( α , β ) ( z ) = ( 2 n + α + β − 1 ) { ( 2 n + α + β ) ( 2 n + α + β − 2 ) z + α 2 − β 2 } P n − 1 ( α , β ) ( z ) − 2 ( n + α − 1 ) ( n + β − 1 ) ( 2 n + α + β ) P n − 2 ( α , β ) ( z ) , {\displaystyle {aligned}&2n(n+\alpha +\alpha )(2n+\alpha +\alpha -2) P_{n}^{(\alpha,\big)^{{(2n+\alpha +\big -1)\Big \{}(2n+\alpha +\big -2)z+\alpha ^{2}-\big ^{1},\qquad - 1(\n+\biga - 1) n = 2, 3, ......a = n α displaystyle = n β (\ displaystyle n display = a b = 2 α displaystyle = b = alpha displaystyle }) 표기 .
2 n ( c − n ) ( c − 2 ) P n ( α , β ) ( z ) = ( c − 1 ) { c ( c − 2 ) z + ( a − b ) ( c − 2 n ) } P n − 1 ( α , β ) ( z ) − 2 ( a − 1 ) ( b − 1 ) c P n − 2 ( α , β ) ( z ) . {\displaystyle 2n(c-n)(c-2) P_{n}^{(\alpha,\display)}=(c-1){\Big \{}c(c-2)z+(a-b){\Big \}P_{n-1}^{(\alpha,\display)}(b) P_{n-2}^{(\alpha,\beta)}(z). } 자코비 다항식은 초기하 함수의 관점에서 설명될 수 있기 때문에, 초기하 함수의 반복은 자코비 다항식의 동등한 반복을 제공한다. 특히, 가우스의 인접 관계는 정체성과 일치한다.
( z − 1 ) d d z P n ( α , β ) ( z ) = 1 2 ( z − 1 ) ( 1 + α + β + n ) P n − 1 ( α + 1 , β + 1 ) = n P n ( α , β ) − ( α + n ) P n − 1 ( α , β + 1 ) = ( 1 + α + β + n ) ( P n ( α , β + 1 ) − P n ( α , β ) ) = ( α + n ) P n ( α − 1 , β + 1 ) − α P n ( α , β ) = 2 ( n + 1 ) P n + 1 ( α , β − 1 ) − ( z ( 1 + α + β + n ) + α + 1 + n − β ) P n ( α , β ) 1 + z = ( 2 β + n + n z ) P n ( α , β ) − 2 ( β + n ) P n ( α , β − 1 ) 1 + z = 1 − z 1 + z ( β P n ( α , β ) − ( β + n ) P n ( α + 1 , β − 1 ) ) . {\displaystyle {dz} (z-1) {\frac {d} {dz} P_{n}^{(\alpha,\alpha)}(z)&=sq frac {1}{2}}(z-1)(1+\alpha +\n) P_{n-1}^{(\alpha +1,\alpha +1)}\&=nP_{n}^{(\alpha ,\alpha )-(\alpha +n) P_{n-1}^{(\alpha,\alpha +\left +n)\&=(1+\alpha +\left +n)\left(P_{n}^{(\alpha,\laph +1)}-P_{n}^{(\alpha,\&=(\alpha +n) P_{n}^{(\alpha -1,\color +1)}-\alpha P_{n}^{(\alpha,\color +1)\&=color frac {2(n+1)P_{n+1}^{\left(1+\alpha +\color + n)\color +1+n}\right)\color (\color) P_{n}^{(\alpha,\nothers )}{1+z}}\&=parsfrac {(2\pars +n+nz) P_{n}^{(\alpha,\beta)}-2(\beta +n) P_{n}^{(\alpha,\cape -1)}{1+z}\&=capefrac {1-z}{1+z}\left(\cape P_{n}^{(\cape,\cape)}-(\cape + n) P_{n}^{(\alpha +1,\beta -1)}\right), \end { aligned}} 생성함수 야코비 다항식의 생성 함수는 다음과 같이 주어진다.
∑ n = 0 ∞ P n ( α , β ) ( z ) t n = 2 α + β R − 1 ( 1 − t + R ) − α ( 1 + t + R ) − β , \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^(\alpha,\infty)}(z)t^{n}=2^{\alpha +\interf}(1-t+R)^{-alpha }(1+t+R)^{-beta } 어디에
R = R ( z , t ) = ( 1 − 2 z t + t 2 ) 1 2 , {\displaystyle R=R(z,t)=\left(1-2zt+t^{2}\오른쪽)^{\frac {1}{2}}~,} R(z, 0 ) = [1] 가지 를 선택 한다.
야코비 다항식의 점근율 [-1, 1] 내부의 x에 대해 , 큰 n에 대한 P (α , β ) n [1]
P n ( α , β ) ( 양상추의 일종 θ ) = n − 1 2 k ( θ ) 양상추의 일종 ( N θ + γ ) + O ( n − 3 2 ) , (\displaystyle P_{n}^{(\alpha,\frac})=n^{-{\frac {1}{2}})\cos(\theta)+O\left(n^{-{\frac {3}{2}}\right}) 어디에
k ( θ ) = π − 1 2 죄 − α − 1 2 θ 2 양상추의 일종 − β − 1 2 θ 2 , N = n + 1 2 ( α + β + 1 ) , γ = − π 2 ( α + 1 2 ) , {\displaystyle {theta}k(\theta)&=pi^{-{\frac {1}{2}\sin ^{-\alpha -{\frac {1}{2}}{\cos ^{-\tfrac - {1}{2}}{-\tfrac {\ta}{\ta}{\ta}{{\the2}}{\the2}}{-}{-}{\csin} 또한 "O" 항은 모든 > 0에 대해 [], --]] 구간에서 균일합니다.
포인트 ±1 근처의 야코비 다항식의 점근점은 메흘러 에 의해 주어진다. 하이네 공식
림 n → ∞ n − α P n ( α , β ) ( 양상추의 일종 ( z n ) ) = ( z 2 ) − α J α ( z ) 림 n → ∞ n − β P n ( α , β ) ( 양상추의 일종 ( π − z n ) ) = ( z 2 ) − β J β ( z ) {\displaystyle{\begin{정렬}\lim _ᆰn^ᆱP_ᆲ^ᆳ\left(\cos \left({\tfrac{z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac{z}{2}}\right)^ᆴJ_ᆵ(z)\\\lim _ᆶn^ᆷP_ᆸ^ᆹ\left(\cos \left(\pi-{\tfrac{z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac{z}{2}}\right)^{-\beta}J_{\be.분명}(z)\ end {aligned}} 여기서 제한은 경계 영역의 z 에 대해 균일합니다.
[-1, 1] 밖의 점근점은 덜 명확합니다.
적용들 위그너 d 매트릭스 식 (1)은 자코비 다항식의 관점에서 [4] d-행렬 j m ’,m
d m ′ m j ( ϕ ) = [ ( j + m ) ! ( j − m ) ! ( j + m ′ ) ! ( j − m ′ ) ! ] 1 2 ( 죄 ϕ 2 ) m − m ′ ( 양상추의 일종 ϕ 2 ) m + m ′ P j − m ( m − m ′ , m + m ′ ) ( 양상추의 일종 ϕ ) . {\displaystyle d_{m'm}^{j}(phi)=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)! }{(j+m')!(j-m')! }}\right]^{{1}{2}}\left(\tfrac {2}}{m-m'}\left(\cos {tfrac {phi }{m-m'}{m+m'}P_{{j-m'}{{cosi}) } 「 」를 참조해 주세요. 메모들 ^ a b c d e f Szegő, Gábor (1939). "IV. Jacobi polynomials.". Orthogonal Polynomials ISBN 978-0-8218-1023-1 MR 0372517 . ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22" . Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .^ P.K. Suetin (2001) [1994], "Jacobi polynomials" , Encyclopedia of Mathematics EMS Press ^ Biedenharn, L.C.; Louck, J.D. (1981). Angular Momentum in Quantum Physics . Reading: Addison-Wesley.
추가 정보 Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Special functions , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 71, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-62321-6 MR 1688958 , ISBN 978-0-521-78988-2 Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 외부 링크
![d_{{m'm}}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{{{\frac {1}{2}}}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{{m-m'}}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{{m+m'}}P_{{j-m}}^{{(m-m',m+m')}}(\cos \phi ).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c078b36a1cb81f94eacdd3ffd60597f378e5847)
