직교 다항식

수학에서 직교 다항식 수열은 어떤 내적 산물에서 순서에 있는 두 개의 다른 다항식이 서로 직교하는 다항식 계열이다.

가장 널리 사용되는 직교 다항식은 고전적인 직교 다항식이며, 헤르미테 다항식, 라구에르 다항식, 자코비 다항식으로 구성되어 있다. 게겐바우어 다항식은 자코비 다항식의 가장 중요한 계급을 형성한다. 특별한 경우로는 체비셰프 다항식, 레전드레 다항식을 포함한다.

직교 다항식 분야는 19세기 후반 P. L. 체비셰프의 지속적인 분수에 대한 연구로부터 발전하여 A가 추구하였다. A. 마르코프와 T. J. 스틸트제스. 그것들은 수학적 분석(양자 규칙), 확률 이론, 표현 이론(거짓말 그룹, 양자 그룹 및 관련 개체의 경우), 열거적 결합론, 대수적 결합론, 수학 물리학(임의 행렬 이론, 통합 가능한 시스템 등), 숫자 이론 등 매우 다양한 분야에서 나타난다. Some of the mathematicians who have worked on orthogonal polynomials include Gábor Szegő, Sergei Bernstein, Naum Akhiezer, Arthur Erdélyi, Yakov Geronimus, Wolfgang Hahn, Theodore Seio Chihara, Mourad Ismail, Waleed Al-Salam, and Richard Askey.

실제 측정에 대한 1-변수 사례 정의

실수에 비감소함수 $α$ 를 부여하면 르베그-스티엘트제스 적분을 정의할 수 있다.

\int f(x)\,d\nfs(x)

함수 f의 만약 이 적분이 모든 다항식 f에 대해 유한하다면, 우리는 다음을 기준으로 f와 g의 쌍에 내부 제품을 정의할 수 있다.

\langle f,g\angle =\int f(x)g(x)\,d\nfs(x)

이 연산은 모든 다항식의 벡터 공간에 있는 양의 세미데마이트 내측 산물로, 함수 α가 무한한 수의 성장점을 가지고 있다면 양성으로 확정된다. 그것은 일반적인 방법으로 직교 개념을 유도한다. 즉, 두 다항식이 그들의 내제품이 0이면 직교한다는 것이다.

그런 다음 직교 다항식의 순서 $(P n) \infty n =0$ 는 관계에 의해 정의된다.

\deg P_{n}=n~,\quad \langle P_{m},\,P_{n}\angle =0\quad {\text{for}\quad m\neq n~

즉, 이 내부 제품에 관한 Gram-Schmidt 공정에 의해 1, x, x², …의 순서에서 시퀀스를 얻는다.

보통 순서는 직교여야 한다. 즉,

\langle P_{n},P_{n}\rangele =1,

그러나, 다른 정규화들이 때때로 사용된다.

절대연속사례

때때로 우리는

d\alpha(x)=W(x)\,dx

어디에

W:[x_{1},x_{2}]\to \mathb {R}}

실제 라인에서 일정 간격

[x 1,

x 2]

에 대한 지원을 포함하는 비음수 함수(

x 1 2

=

-message 및 x =

\infty)

이다. 그런

W

를 체중함수라고 한다. 그러면 내부 제품은 다음에 의해 주어진다.

\langle f,g\angle =\int_{x_{1}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\,dx.

그러나 직교 다항식의 예로는 측정

dα (x)

가 함수

α

가 불연속인 비영점 측정의 점을 가지고 있으므로 위와 같이 중량 함수

W

로 지정할 수 없는 경우가 많다.

직교 다항식 예제

가장 일반적으로 사용되는 직교 다항식은 실제 간격에서 지지대를 갖는 측도에 대해 직교한다. 여기에는 다음이 포함된다.

고전 직교 다항식(Jacobi polyomials, Laguerre polyomials, Hermite polyomials, 그리고 그들의 특별한 경우 Gegenbauer polyomials, Chebyshev polynormals, Legendre polyomials)이다.
자코비 다항식을 일반화하는 윌슨 다항식. 그들은 특별한 경우로서 많은 직교 다항식들을 포함하는데, 예를 들어, Meixner-Pollaczek 다항식, 연속적인 한 다항식, 연속적인 이중 다항식, 그리고 아스키 체계에 의해 기술된 고전 다항식 등이 있다.
Askey-Wilson 다항식들은 Wilson 다항식들에 추가 매개변수 q를 도입한다.

이산 직교 다항식은 일부 이산형 측정에 대해 직교한다. 때로는 측도가 유한한 지지를 가지기도 하는데, 이 경우 직교 다항식 계열은 무한 시퀀스가 아니라 유한하다. 라카 다항식은 이산 직교 다항식의 예로서, 특수한 경우로서 한 다항식 및 이중 한 다항식을 포함하며, Meixner 다항식, Krawtchouk 다항식, Charlier 다항식을 포함한다.

믹스너는 모든 직교 셰퍼 시퀀스를 분류했다: 헤르미테, 라구에르, 샤를리어, 믹스너, 그리고 믹스너-폴락제크만 있다. 어떤 의미에서 Krawtchouk도 이 리스트에 올라야 하지만 그것들은 유한한 순서다. 이 6개 패밀리는 NEF-QVF에 해당하며 특정 레비 공정을 위한 마르팅게일 다항식이다.

체형 초음파 다항식, 체형 자코비 다항식, 체형 폴락제크 다항식 등 체형 직교 다항식이 재발 관계를 수정했다.

복잡한 평면의 일부 곡선에 대해서도 직교 다항식을 고려할 수 있다. 가장 중요한 경우(실제 간격 제외)는 곡선이 단위 원일 때 로저스-제그 다항식처럼 단위 원 위에 직교 다항식을 주는 경우다.

삼각형이나 디스크와 같은 평면 영역에서 직교하는 직교 다항식의 일부 패밀리가 있다. 그것들은 때때로 자코비 다항식의 용어로 쓰여질 수 있다. 예를 들어 제르니케 다항식은 단위 디스크에서 직교한다.

Hermite 다항식(Mermite polyomials)의 서로 다른 순서 사이의 직교성 이점은 GFDM(Generalized frequency division multiplexing) 구조에 적용된다. 시간 빈도 격자의 각 그리드에 둘 이상의 기호를 운반할 수 있다.^[1]

특성.

실제 선에서 음이 아닌 측도로 정의한 한 변수의 직교 다항식에는 다음과 같은 특성이 있다.

모멘트와의 관계

직교 다항식 P는_n 모멘트로 표현할 수 있다.

m_{n}=\int x^{n}\,d\properties(x)

아래와 같이

P_{n}(x)=c_{n}\,\det {\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}~,

여기서 상수 c는_n 임의적이다(P의_n 정규화에 따라 다름).

이는 단항(Monomials)에 Gram-Schmidt 프로세스를 적용하여 각 다항(Multiomial)을 이전 다항(Octogronal)에 대해 직교(Octogronal)하도록 부과하는 것에서 직접 발생한다. 예를 들어 P $P_{0}$ ${\$ 을(를) 사용하는 직교성에서는 $P_{1}$ $P_{1}$ ${\$ 1}이 $P_{1}$ 형식을 가져야 한다고 $P_{1}$ 규정한다 $P_{0}$ .

{\displaystyle P_{1}=c_{1}\좌측(x-{\frac {\langle P_{0},x\angle P_{0},P_{0}\langle P_{0}},}}}}{{0}\rangele }\오른쪽)=c_{1}(x-m_{1}),},},}, {1},},}, {1},}, {1}, {1}, {1}, {1}, {1},)

이전에 주어진 표현과 결정요소가 일치한다고 볼 수 있다.

재발관계

다항식 P는_n 양식의 반복 관계를 만족한다.

P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)~.

컨버스 결과는 파바드의 정리를 참조하라.

크리스토펠-다르부스 공식

제로스

측정 dα가 간격 [a, b]에서 지지되는 경우, P의_n 모든 0은 [a, b]에 위치한다. 더욱이, 0은 다음과 같은 상호연속성을 가지고 있다: m < n이면, P의_m 두 개의 0 사이에 P의_n 0이 있다. 0에^{[citation needed]} 대한 정전기 해석을 제공할 수 있다.

조합해석

1980년대부터, X. G. Viennot, J. Labelle, Y.-N의 작품으로. 예, D. 모든 고전적인 직교 다항식에 대해 포아타 등의 조합 해석이 발견되었다.

다변량 직교 다항식

맥도날드 다항식은 아핀 루트 시스템의 선택에 따라 여러 변수에서 직교 다항식이다. 그들은 잭 다항식 , 홀-리틀우드 다항식, 헤크만-옵담 다항식, 코른바인더 다항식을 포함한 다항식 다항식 다른 많은 가족을 특별한 사례로 포함한다. 아스키-윌슨 다항식은 1등급의 특정 비축소 루트 시스템에 대한 맥도날드 다항식의 특별한 경우다.

참고 항목

참조

^ Catak, E.; Durak-Ata, L. (2017). "An efficient transceiver design for superimposed waveforms with orthogonal polynomials". IEEE International Black Sea Conference on Communications and Networking (BlackSeaCom): 1–5. doi:10.1109/BlackSeaCom.2017.8277657. ISBN 978-1-5090-5049-9. S2CID 22592277.

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Foncannon, J. J.; Foncannon, J. J.; Pekonen, Osmo (2008). "Review of Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable by Mourad Ismail". The Mathematical Intelligencer. Springer New York. 30: 54–60. doi:10.1007/BF02985757. ISSN 0343-6993. S2CID 118133026.
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Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
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P. 시르카, R.B. 파초리, R. Kumar, 직교 다항식 근사치를 이용한 EEG 신호의 리듬 분석, ACM 국제 컨퍼런스, 페이지 176–180, 페이지 27–29, 2009년 8월, 대한민국 대전.
Totik, Vilmos (2005). "Orthogonal Polynomials". Surveys in Approximation Theory. 1: 70–125. arXiv:math.CA/0512424.
C. Chan, A. 미로노프, A. 모로조프, A. 침소프, arXiv:1712.03155

[1] Catak, E.; Durak-Ata, L. (2017). "An efficient transceiver design for superimposed waveforms with orthogonal polynomials". IEEE International Black Sea Conference on Communications and Networking (BlackSeaCom): 1–5. doi:10.1109/BlackSeaCom.2017.8277657. ISBN 978-1-5090-5049-9. S2CID 22592277.

[1]

권한통제
일반	통합 권한 파일(독일)
국립도서관	스페인 프랑스. (데이터) 미국
기타	주제용어의 면면적용 SUDOC(프랑스 1

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