등고선 세트

수학에서 등고선은 일상적 개념을 일반화하고 공식화한다.

• 어떤 것 보다 더 우수한 것
• 무엇과 동등하거나 우월한 모든 것.
• 무엇보다 못한 모든 것
• 어떤 것에 못 미치거나 그에 상응하는 모든 것

형식 정의

세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 요소 쌍에 대한 관계가 지정됨

${\displaystyle \suchcurlyeq ~\subseteq ~X^{2}}$

$X$의 요소$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및 X의 요소 x$${\$displaystyle X}$

$X}에 표시 스타일 x\in X}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 위쪽 윤곽선 집합은 x ${\displaystyle x}$과(와) 관련된$$ 모든 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 집합$:$

${\displaystyle \왼쪽~{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 하단 윤곽선 집합은 모든 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 집합이므로 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과(와) 관련됨$$:

${\displaystyle \{y~\ykepsilon ~x\xcurlyeq y\right\}}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 엄격한 위쪽 등고선 $집합$은 다음 중 하나에 해당하는 방식으로 x ${\displaystyle x}$이(가) 없는$$ $x{\displaystyle }$ ${\$displaystyle x$}$과(와) 관련된 모든$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystystyle y}$의 집합이다.

${\displaystyle \{y~\\kepsilon ~ (y\\curlieq x)\land \lnot (x\\curlieq y)\right\}}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 엄격한 하단 윤곽선 집합은 모든 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $y$$}$의 집합이며, $따라서{\displaystyle }$x {\$displaystyle$ x$}$은(는) $x{\displaystyle }${\displaystyle x$\}$과(와) 관련되지 않고$$ x {\$displaystystyle$ x$}$과(는)와 관련됨:

${\displaystyle \{y~\\kepsilon ~(x\x\curlieq y)\land \lnot(y\curlieq x)\오른쪽\}}$

지난 두 개의 공식 표현은 우리가 정의한 경우 단순화될 수 있다.

$\displaystyle \put ~=\weft\{\put (a,b\오른쪽)\putecilon ~\\putecilon ~\preft (a\putcurlyeq b\오른쪽)\land \lot (b\curlieq a)\right\}}$

$따라서{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$이(가) $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$과(와) 관련되지만 b ${\displaystyle a}$과(와) 관련되지$$ 않으며$,$ 이 경우 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 엄격한 위쪽 윤곽선 집합은$$

$\displaystyle \왼쪽~{y~\backepsilon ~y\john x\right\}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 엄격한 하단 윤곽선 집합은$$

$\displaystyle \왼쪽~{y~\backepsilon ~x\now y\right\}}$

함수의 등고선 집합

관계 $▹{\displaystyle }${\$displaystyle \triangleright$}의 관점에서 고려된$$ 함수 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle f()$의 경우$,$ 함수의 등고선 집합에 대한 참조는 암시적 관계의 등고선 집합에 대한 것이다.

$[\displaystyle (a\suchcurlyeq b)~\좌측화살표 ~[f(a)\삼각화살표 f(b)]}}$

예

산술

실제 숫자 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$및 관계$$relation {\$displaystyle$\geq $}$을(를) 고려하십시오$.$

• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 위쪽 등고선 집합은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$보다 크거나 같은 숫자 집합일 것이다$.$
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 엄격한 위쪽 윤곽선 집합은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$보다 큰 숫자 집합일 것이다$.$
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 하단 윤곽선 집합은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$보다 작거나 같은 숫자 집합일 수 있으며$$$,$
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 엄격한 하단 윤곽선 집합은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$보다 작은 숫자 집합일$$ 것이다$.$

보다 일반적으로 관계를 고려하십시오.

${\displaystyle (a\suchculyeq b)~\왼쪽 화살표 ~[f(a)\geq f(b)]}$

그러면

• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 위쪽 등고선 집합은 $모든{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$의 집합으로$$, f$$${\displaystyle }$(${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle \ge }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ f$(y)\geq f(x$
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 엄격한 위쪽 윤곽선 집합은 f ()> ( ) ${\displaystyle f(y)>f(x)}$과 같은$$ 모든 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 집합일 것이다
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 하단 윤곽선 집합은 $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$의 집합으로, f${\displaystyle }$($x$) ≥ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle y}$ ) {\$displaystyle f(x)\geq$ f$(y)}$및
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 엄격한 하단 윤곽선 집합은 ( x)> f( ) ${\displaystyle f(x)>f(y)}$과 같은 $모든{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$의 집합일 것이다

등고선 세트를 관계 측면에서 기술적으로 정의할 수 있을 것이다.

${\displaystyle (a\suchculyeq b)~\왼쪽 화살표 ~[f(a)\leq f(b)]}$

비록 그러한 정의들이 즉각적인 이해를 혼란스럽게 하는 경향이 있다.

실제 값 함수 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle f()}($인수가 실제 숫자가 될 수도 있고 아닐 수도 있음)의 경우 함수의 등고선 집합에 대한 참조는 관계 등고선 집합에 암시적으로 적용된다.

${\displaystyle (a\suchculyeq b)~\왼쪽 화살표 ~[f(a)\geq f(b)]}$

$f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle f()}$에 대한 인수는 벡터일 수 있으며$$ 사용된 표기법은 대신

${\displaystyle [(a_{1},a_{2},\ldots )\b_{1},b_{2},\ldots )]~\Leftarrow ~[f(a_{1},a_{2},\ldots )\geq f(b_{1},b_{2},\ldots )]}$

경제학

경제학에서, 세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은 상품과 서비스의 집합 또는 가능한 결과, 관계 $\succ {\displaystyle }$ ${\displaystyle \such }$은(는) 엄격한 선호로, 관계 $\succcurlyeq {\displaystyle }$ ${\displaystyle \suchcurlieq}$은(는) 약한 선호로 해석될 수 있다$$.그러면

• x ${\displaystyle x}$의 ^[1]상위 윤곽선 집합 또는 더 나은 집합은 최소한 x ${\displaystyle x}$만큼 $원하는{\displaystyle }$ 모든 상품, 서비스 또는 결과의 집합일 것이다$.$
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$의 엄격한 상위 윤곽선 집합은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$보다 더 원하는 모든 상품, 서비스 또는 결과 집합일 것이다$.$
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$^[1]의 낮은 등고선 집합 또는 더 나쁜 집합은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$보다 작은 모든 상품, 서비스 또는 결과 집합일 것이다$.$
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$의 엄격한 하위 윤곽선 집합은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$보다 덜 원하는 모든 상품, 서비스 또는 결과의 집합일 것이다$.$

이러한 기본 설정은 유틸리티 함수 $u{\displaystyle (}$) ${\displaystyle u()}$에 의해 캡처될 수 있으며$,$ 이 경우

• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 위쪽 등고선 집합은 $u{\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle u}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle u(y)\geq u(x)}$과 같은 모든 $y{\displaystyle }$ ${\displaystystyle y}$의 집합일 것이다$.$
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 엄격한 위쪽 윤곽선 집합은 ()>(x) ${\displaystyle u(y)$ > $u(x)}$과 같은$$ $모든{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$의 집합일 것이다
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 하단 윤곽선 집합은 ${\displaystyle u}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle u}$( y${\displaystyle }$) ${\displaystyle u(x)\geq u(y)}$과$$같은 모든 $y{\displaystyle }$ ${\displaystystyle y}$의 집합일 것이다$$.
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 엄격한 하단 윤곽선 집합은 )> ${\displaystyle u(x)$ > $u(y)}$과 같은 $모든{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$의 집합일 것이다

상보성

$\succcurlyeq {\displaystyle }$ ${\displaystyle \suchcurlieq$}이(가) X ${\displaystyle X}$의 총 순서라고 가정할 때$,$ 위쪽 등고선 세트의 보완은 엄격한 하단 등고선 세트다.

${\displaystyle X^{2}\\백슬래시 \left\{y~\backepsilon ~y~\sucklyeq x\right\}=\좌~\backepsilon ~x\such y\right\}}}}}$

${\displaystyle X^{2}\\백슬래시 \left\{y~\backepsilon ~x\such y\right\}=\reft\{y~\backepsilon ~y\suckleyeq x\right\}}}}}}}$

그리고 엄격한 상위 등고선 집합의 보완점은 하위 등고선 집합이다.

${\displaystyle X^{2}\\백슬래시 \left\{y~\backepsilon ~y\such x\right\}=\reft\{y~\backepsilon ~x\sucleyeq y\right\}}}}}}}$

${\displaystyle X^{2}\\백슬래시 \left\{y~\backepsilon ~x\suckleyeq y\right\}=\좌~\backepsilon ~y\such x\right\}}}}}$

참고 항목

• 비문
• 하이포그래프

참조

참고 문헌 목록

• 안드레우 마스 콜렐, 마이클 D.Whinston, and Jerry R.녹색, 미시경제 이론(LCC HB172).M6247 1995), p43.ISBN 0-19-507340-1 (보) ISBN 0-19-510268-1 (종이)