하이포그래프(수학)

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수학에서 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n\mathbb{}{}^{}}$→ R ${\$ f$:\mathb {R} ^{n}\오른쪽$ 화살표 $\mathb {R}}$의 하이포그래프 또는 하위 그래프는 그래프 위나 아래에 놓여 있는 점들의 집합이다.관련 정의는 그러한 함수의 경구(경구)로 함수의 그래프 위 또는 위에 점 집합이다.

함수의 도메인(코도맹이 아닌)은 이 정의에 특별히 중요하지 않다. R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 대신 임의 집합이^[1] 될 수 있다$.$

정의

하이포드의 정의는 함수 그래프의 정의에서 비롯되었으며, $여기$서 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$의 그래프는 집합으로 정의된다$$.

${\displaystyle \operatorname {graph}f:=\left\{(x,y)\in X\time Y~:~y=f(x)\right\}.}$

The hypograph or subgraph of a function ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ valued in the extended real numbers ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ is the set^[2]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {hyp} f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\leq f(x)\right\}\\&=\left[f^{-1}(\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}\{x\}\times (-\infty ,f(x)].\end{aignedat}}}$

마찬가지로 함수의 위 또는 위쪽에 있는 점들의 집합은 비문이다. 엄격한 하이포그래프는 그래프가 제거된 하이포이다.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {hyp} _{S}f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r<f(x)\right\}\\&=\operatorname {hyp} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}\{x\}\times (-\infty ,f(x)).\end{aignedat}}}$

Despite the fact that ${\displaystyle f}$ might take one (or both) of ${\displaystyle \pm \infty }$ as a value (in which case its graph would not be a subset of ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$), the hypograph of ${\displaystyle f}$ is nevertheless defined to be a subset of ${\displaystyle$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$,$$${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ $.$ ${\$$displaystyle X\time [-\inful,\inful ]$이 아닌$$ $X\timb$ {R}}}.$}$

특성.

$f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle f}$ 함수의 하이포드는 f {\$displaystyle f}$이(가) 음의 무한대와 동일한 경우에만 비어 있다$$.

함수는 하이포프가 볼록한 집합인 경우에만 오목하다.실제 아핀 $함수{\displaystyle }$ g${\displaystyle }$: R ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ g$:\mathb {R} ^{n}\to \mathb${${\displaystyle {\mathrm{R}}^{}}$$}}}$의 하이포드는 R${\displaystyle {}^{}}$ + 1 .${\displaystyle \mathb {R} ^{n+1$}의 반공간이다$.$$}$

함수는 하이포드가 닫힌 경우에만 반점수 상한이다.

참고 항목

• 유효 도메인
• 경구(수학)
• 적절한 볼록 함수

인용구

참조

• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.