볼록뚜껑

볼록 캡() 또는 볼록 부유체^[1]()^[2]는 볼록 분석에서 볼록한 모양을 근사화하기 위해 일반적으로 사용되는 수학에서 잘 정의된 구조입니다.일반적으로 반공간을 가진 볼록 다포체의 교차점으로 생각할 수 있습니다.

정의.

캡, ${displaystyle$ C $}$ 는 $C$ 볼록 $집합$ K({ $displaystyle$ K $K$ 와 반공간H({ $displaystyle$ H})의 $H$ 교차점으로 정의할 수 있습니다. 캡은 모든 차원 공간에서 정의할 수 있습니다.λ $\lambda \geq 1$ $\lambda$ ${displaystyle \lambda \geq$ 1 $}$ 이 $\lambda \geq 1$ $C^{\lambda }$ , C λ $C^{\lambda }$ {{ $displaystyle C^{\lambda}$ 는 $C^{\lambda }$ 원래의 것보다 폭이 $\lambda$ λ {{ $displaystyle \lambda}$ 배 $\lambda$ 큰 H ${\displaystyle$ H $}$ 에 $H$ $H$ 한 반 공간에 해당하는 $C$ C ${\lambdisplaystyle C}$ 를 $C$ 하는 캡으로 정의할 수 있습니다.

캡의 정의는x $\$ displaystylex}를 $x$ 하는 $H$ $반공간$ H $({$ $displaystyle$ H $})$ 를 $x$ $C$ $갖는$ $볼록$ 집합 K $({displaystyle$ K $K$ })의 교차점으로 정의할 수 $있는$ 점 x({ $displaystyle$ x $x$ 의 캡을 정의하도록 확장될 수도 있습니다.점의 최소 캡은vol $\operatorname {vol} (C(x))=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ ( $\operatorname {vol} (C(x))=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ C ( x ) ) $=$ $\operatorname {vol} (C(x))=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ $\operatorname {vol} (C(x))=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ { $\operatorname {vol} (C(x))=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ $\operatorname {vol} (C(x))=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ ( $K$ ∩ $\operatorname {vol} (C(x))=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ ) : x ∈ $}$ {\ $displaystyle$ \ $operatorname$ {vol} $(C$ (x) $=\operatorname {min}$ \{\ $cap H):x\in$ H $\operatorname {vol} (C(x))=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ ^[3]^[4]의 $x$ $x$ 입니다.

부유체 및 캡

우리는 다음과 같은 과정을 사용하여 볼록한 $모양 H$ 의 $H$ 부유체를 정의할 수 있습니다 $.$ 플로팅 바디도 볼록합니다.2차원 볼록 콤팩트 $형상$ K {\ $displaystyle$ K $K$ 의 경우 $\delta >0$ $\delta$ > $\delta >0$ {\ $displaystyle$ \ $delta$ > $0$ 이 $\delta >0$ 주어지면, 여기서 $\delta$ θ {\ $displaystyle \delta}$ 는 $\delta$ 작습니다.이 2차원 형상의 부유체는 원래 본체에서 $δ$ 의 2차원 $\delta$ 캡을 모두 제거함으로써 주어집니다 $.$ 결과 모양은 볼록한 $K\delta$ K $K\delta$ \ \ $delta$ 가 $K\delta$ 될 것입니다. 우리는 치수 볼록 모양으로 시작하여 해당 치수에서 캡을 제거하여 이 정의를 n차원으로 일반화합니다.

아핀 표면적과의 관계

$\delta \rightarrow 0$ $\delta \rightarrow 0$ $\delta \rightarrow 0$ ${\displaystyle \displaystyle \rightarrow 0$ 인 부동체는 K ${\displaystyle$ K $}$ 에 $K$ 더 $가깝습니다$ . 이 정보는 경계가 이 상황에서 어떻게 작용하는지를 측정하는 K{\ $displaystyle$ $K$ $}$ 의 $\Omega (K)$ $K$ 아핀 표면적 $)$ 에 대해 알려줄 수 있습니다.형상의 볼록한 부유체를 취하면, 부유체의 경계에서 볼록한 형상의 경계까지의 거리가 볼록한 형상의 곡률과 관련이 있다는 것을 알 수 있습니다.특히, 곡률이 큰 볼록 모양은 두 경계 사이의 거리가 더 큽니다.원체와 부유체의 면적 차이를 $\delta \rightarrow 0$ $\delta \rightarrow 0$ ${\$ $displaystyle$ $\lightarrow$ 0 $\delta \rightarrow 0$ 으로 $보면$ 곡률과 거리의 관계를 이용하여 A $(K$ ) - $A(K)-A(K\delta )$ ( $A(K)-A(K\delta )$ ) $A(K)-A(K\delta )$ - A (K ) - A (K) - $A$ (K \ delta $A(K)-A(K\delta )$ ) $역시$ 곡률에 $A(K)-A(K\delta )$ 의존한다는 것을 $A(K)-A(K\delta )$ 할 수 있습니다.따라서,

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

(

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

)

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

=

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

∫

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

⁡

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

κ

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

)

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

≈

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

(

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

)

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

-

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

(

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

)

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

23

\ \

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

(

\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}

K ) = \

int

_

{\operatorname {bd}

K

}{\kappa

(

x)^{\frac {1}}}dl \ frac

{

A(K)

-

{\d

^[5] {\d

}}}

{\frac}} {\frac} {\frac} {\d}} {\frac}}}}}} {\frac} {\frac}

이 공식에서, $\kappa (x)$ ( $)$ {\ $displaystyle \kappa (x)}$ 는 $\kappa (x)$ x{\ $displaystyle$ x $}$ 에서 $x$ $\operatorname {bd} K$ $K {\displaystyle \operatorname$ { $bd}$ K의 $\operatorname {bd} K$ 곡률이고 $,$ $l$ {\ $displaystyle$ l $}$ 은 곡선의 길이입니다.

하우스도르프 측도를 사용하여 n차원의 거리, 면적 및 부피를 일반화할 수 있습니다.이 정의는 모든 $n\geq 0$ $n\geq 0$ {\ $displaystyle$ $\kappa (x)$ n $\geq$ 0 $n\geq 0$ 에 적용됩니다. 또한, $\kappa (x)$ ( $x)$ {\ $displaystyle \kappa$ (x $\kappa (x)$ )}의 $n+1$ 은 $n+1$ n $n+1$ $1의$ 역수와 관련이 있습니다 $.$ $여기$ 서 n {{ $displaystyle$ n $}$ 은 $n+1$ $n$ 차원의 수입니다.따라서, n차원 볼록 형상에 대한 아핀 표면적은

표시 스타일 \int _{\operatorname {bd} K}{\kappa(x)^{\frac{1}{n+1}}d\sigma(x)}\approx{{\frac{A(K)-A(K\delta)}{\delta^{\frac{2}{n+1}}}}}}}}

여기서 $\sigma (x)$ ( $\sigma (x)$ ) {\ $displaystyle \sigma (x)}$ 는 $\sigma (x)$ $(n-1)$ ( $(n-1)$ - $)$ {\ $displaystyle (n-1)}$ 차원 $(n-1)$ 하우스도르프 ^[5]측도입니다.

볼록체의 젖은 부분

볼록체의 젖은 부분은 K $K(t)=K(v\leq t)=\{x\in K:v(x)\leq t\}$ ( $K(t)=K(v\leq t)=\{x\in K:v(x)\leq t\}$ $v(x)=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ $K(t)=K(v\leq t)=\{x\in K:v(x)\leq t\}$ ( $K(t)=K(v\leq t)=\{x\in K:v(x)\leq t\}$ ≤ $K(t)=K(v\leq t)=\{x\in K:v(x)\leq t\}$ t ) $=$ { $K(t)=K(v\leq t)=\{x\in K:v(x)\leq t\}$ $v(x)=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ $K(t)=K(v\leq t)=\{x\in K:v(x)\leq t\}$ : $K(t)=K(v\leq t)=\{x\in K:v(x)\leq t\}$ ( $K(t)=K(v\leq t)=\{x\in K:v(x)\leq t\}$ ) $K(t)=K(v\leq t)=\{x\in K:v(x)\leq t\}$ ≤ $K(t)=K(v\leq t)=\{x\in K:v(x)\leq t\}$ $}$ \{ $x\leq t$ } \{x\ $in K:v(x)\leqt\}$ 로 $K(t)=K(v\leq t)=\{x\in K:v(x)\leq t\}$ 정의할 수 있습니다. $t$ 서 $t$ 는 젖은 $t$ 부분의 최대 부피를 설명하는 임의의 $v(x)=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ 이고 $v(x)=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ v ( $v(x)=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ $=$ ( $v(x)=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ $vopherstylek$ ( $h$ h (ht $)$ h (h) h (h) $v(x)=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ (h) h (h) h) h) h $)$ } ( $disdisdisdisdisdis$ { $min} \{\operatorname {vol}(K\cap$ H $):x\in$ H $v(x)=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$ ^[3]^[4]

행렬이 가역적인 비퇴화 선형 변환을 사용하면 K(t)의 모든 $K(t)$ 속성이 $보존$ 된다는 $K(t)$ 것을 알 수 있습니다. 따라서 $v:K\rightarrow \mathbb {R}$ $v:K\rightarrow \mathbb {R}$ : K $→$ $v:K\rightarrow \mathbb {R}$ \ $displaystyle$ v $:K\rightarrow \mathbb$ {R $}$ 은 $v:K\rightarrow \mathbb {R}$ (는) 이러한 유형의 변환에서 등가라고 할 수 있습니다.이 표기법을 $v_{AK}(Ax)=|\mathrm {det} A|v_{K}(x)$ 하여 $v_{AK}(Ax)=|\mathrm {det} A|v_{K}(x)$ ( $v_{AK}(Ax)=|\mathrm {det} A|v_{K}(x)$ $v_{AK}(Ax)=|\mathrm {det} A|v_{K}(x)$ $=$ $v_{AK}(Ax)=|\mathrm {det} A|v_{K}(x)$ $v_{AK}(Ax)=|\mathrm {det} A|v_{K}(x)$ K $v_{AK}(Ax)=|\mathrm {det} A|v_{K}(x)$ ( $v_{AK}(Ax)=|\mathrm {det} A|v_{K}(x)$ ) \ $displaystyle v_{AK}(Ax$ ) = \ $mathrm {det} Av_{$ K $v_{AK}(Ax)=|\mathrm {det} A|v_{K}(x)$ x $)$ 입니다.

{\frac{mathrm {vol}(K(v\leq\mathrm {vol}(K))}{\mathrm {vol}(K))}을({\mathrm{vol}(K))}

또한 축퇴되지 않은 선형 변환에서는 등변량입니다.

근사치를 위한 상한

$K\in {\mathcal {K_{1}}}=\{K:\mathrm {vol} (K)=1\}$ ∈ $K\in {\mathcal {K_{1}}}=\{K:\mathrm {vol} (K)=1\}$ 1 $K\in {\mathcal {K_{1}}}=\{K:\mathrm {vol} (K)=1\}$ { $K\in {\mathcal {K_{1}}}=\{K:\mathrm {vol} (K)=1\}$ : $K\in {\mathcal {K_{1}}}=\{K:\mathrm {vol} (K)=1\}$ ( $K\in {\mathcal {K_{1}}}=\{K:\mathrm {vol} (K)=1\}$ K ) $K_{n}={\text{conv}}\{x_{1},...,x_{n}\}$ $K\in {\mathcal {K_{1}}}=\{K:\mathrm {vol} (K)=1\}$ $}$ {\ $displaystyle$ K $\$ $in$ {{ $mathcal {K_{1$ }}=\{ $x_{1},...,x_{n}$ $:\mathrm {vol}(K$ )= $K_{n}={\text{conv}}\{x_{1},...,x_{n}\}$ 을 $K\in {\mathcal {K_{1}}}=\{K:\mathrm {vol} (K)=1\}$ (를 $K_{n}={\text{conv}}\{x_{1},...,x_{n}\}$ 선택하고 $,$ $x_{1},...,x_{n}$ $x_{1},...,x_{n}$ $displaystyle$ $x_{$ 1 $K$ ., $x_{1},...,x_{n}$ $K_{n}={\text{conv}}\{x_{1},...,x_{n}\}$ n $}$ 을(를) $K_{n}={\text{conv}}\{x_{1},...,x_{n}\}$ 의 $균일$ 한 $K$ 에 따라 독립적으로 $K_{n}={\text{conv}}\{x_{1},...,x_{n}\}$ 합니다 $K_{n}={\text{conv}}\{x_{1},...,x_{n}\}$ $K_{n}={\text{conv}}\{x_{1},...,x_{n}\}$ n $}{{$ n $}{displaystyle K_{n$ }={ $text{conv}}\{x_{1},...,x_{n}\}$ 은 $K_{n}={\text{conv}}\{x_{1},...,x_{n}\}$ (는) 임의의 ^[3]폴리토프입니다.직관적으로 n $n\rightarrow \infty$ → $n\rightarrow \infty$ {{ $displaystyle$ n $\rightarrow \infty$ $K_{n}$ ${\$ 이 $K_{n}$ K{\ $displaystyle$ K $}$ 에 $K$ 하는 것은 분명합니다. 다양한 근사 $K_{n}$ 에서 K $K_{n}$ $Kn$ {\ $displaystyle$ $K_{$ n $K_{n}$ $}$ 이 K}와 $K$ $K_{n}$ 잘 근사하는지 확인할 수 있지만 주로 볼륨에 초점을 맞춥니다.따라서 E $(K$ $E(K,n)=E(\mathrm {vol} K-\mathrm {vol} K_{n})$ $E(K,n)=E(\mathrm {vol} K-\mathrm {vol} K_{n})$ $=$ $E(K,n)=E(\mathrm {vol} K-\mathrm {vol} K_{n})$ K - $E(K,n)=E(\mathrm {vol} K-\mathrm {vol} K_{n})$ $)$ {\ $displaystyle$ E $($ $K,$ n) = $E(\mathrm {vol} K-\mathrm {vol} K_{n$ 를 $E(K,n)=E(\mathrm {vol} K-\mathrm {vol} K_{n})$ 합니다.K $($ $=$ $K(t)=K(v\leq t)$ ≤ t $)$ {\ $displaystyle$ K $($ $t$ ) = $K(v\leqt$ )}를 K(\ $displaystyle$ K $)$ 의 $K$ $젖은$ 부분으로 $K(t)=K(v\leq t)$ 하고 K $v\get)$ {\ $displaystyle$ K $K$ $v\$ get)}를 $K(t)=K(v\leq t)$ $K(v\geq t)$ K( $K$ )의 부유체로 사용합니다. $다음$ 는 $E(K,n)$ K $,$ N $)$ 를 $E(K,n)$ 하는 일반적인 원리를 $말합니다$ . $}$ 은 $E(K,n)$ (는) t $t={\frac {1}{n}}$ ${{$ t= $sysfrac {1}{n}}}$ 인 $t={\frac {1}{n}}$ 부품의 볼륨 크기와 동일합니다.

정리

K $\mathrm {vol} K({\frac {1}{n}})\ll E(K,n)\ll \mathrm {vol} K({\frac {1}{n}})$ $K\in {\mathcal {K}}_{1}$ {\ $displaystyle$ K \ $in$ {\ $mathcal$ { $K}_{$ 1 $K\in {\mathcal {K}}_{1}$ }} $n\geq d+1$ $n\geq d+1$ + $n\geq d+1$ 1 {\ $displaystyle$ n $\geq$ d $+1$ $\mathrm {vol} K({\frac {1}{n}})\ll E(K,n)\ll \mathrm {vol} K({\frac {1}{n}})$ K ( $\mathrm {vol} K({\frac {1}{n}})\ll E(K,n)\ll \mathrm {vol} K({\frac {1}{n}})$ n ) $\mathrm {vol} K({\frac {1}{n}})\ll E(K,n)\ll \mathrm {vol} K({\frac {1}{n}})$ $\mathrm {vol} K({\frac {1}{n}})\ll E(K,n)\ll \mathrm {vol} K({\frac {1}{n}})$ ( $,$ ) $n\geq d+1$ $\mathrm {vol} K({\frac {1}{n}})\ll E(K,n)\ll \mathrm {vol} K({\frac {1}{n}})$ K $(1 n$ ) \ $l LE$ ( $K, N)$ { $n$ ^[3] { $n}$ { $n}$ 에 대해, vol $}.$ 이 정리의 증명은 M-영역 및 캡 커버링 기술에 기초합니다.x ${displaystyle$ x}를 $x$ $x$ 하고 $C(x)$ $\mathrm {vol} C(x)=v(x)$ C $\mathrm {vol} C(x)=v(x)$ $=$ ( $)$ {{ $displaystyle \mathrm {vol} C(x$ )= $v(x$ 를 만족하는 $C(x)$ C $x)$ 인 최소 캡을 사용할 수 있습니다. 최소 캡은 고유하지 않지만 정리 증명에는 영향을 주지 않습니다.

렘마

x $C(x)\subset M(x,3d)$ $x\in K$ {\ $displaystyle$ $x\in K$ x \ $in$ K $}$ 및 $x\in K$ $v(x)<\varepsilon _{0}$ ( $v(x)<\varepsilon _{0}$ < $v(x)<\varepsilon _{0}$ ${\$ v $(x$ $C(x)\subset M(x,3d)$ <\ $varepsilon$ _ ${0$ 이면, $C(x)\subset M(x,3d)$ 최소 $C(x)$ C ( $x)$ 에 대해 $C(x)\subset M(x,3d)$ C ( $C(x)\subset M(x,3d)$ ⊂ $C(x)\subset M(x,3d)$ ( $,$ $)$ \ $displaystyle$ C $($ x)\ $subset$ M ( $x$ $,$ $3d$ $C(x)$ ^[3]입니다 $C(x)\subset M(x,3d)$ .

M $M(x)\subset C^{2}(x)$ ( $M(x)\subset C^{2}(x)$ ) $M(x)\subset C^{2}(x)$ $M(x)\subset C^{2}(x)$ 2 ( $M(x)\subset C^{2}(x)$ ) \ $displaystyle$ M $(x)\subset$ C $^{2}(x$ $M(x)\subset C^{2}(x)$ ,이 부제는 M $M(x)$ M $(x)$ 과 최소 $M(x)$ $C(x)$ C $(x$ 의 동등성을 확립합니다. M $(x)$ 의 $M(x)$ 사본은 C $)$ 를 $C(x)$ 하고, $C(x$ 의 확대 사본은 C $M(x)$ 를 $M(x)$ 합니다 $C(x)$ . $따라서 M$ 영역과 최소 상한은 일정한 추정치 이상의 요인을 잃지 않고 자유롭게 교환할 수 있습니다 $M(x)$

경제적 상한선 적용

캡 피복은 일부 $경계$ D $({displaystyle$ D $D$ 를 완전히 피복하는 캡 집합으로 정의할 수 있습니다. 각 캡의 크기를 최소화하여 캡 집합의 크기를 최소화하고 새 집합을 만들 수 있습니다.최소 부피를 갖는 이 캡 세트를 경제 캡 커버라고 하며, 각 $C_{i}$ ({ $displaystyle C_{$ i $C_{i}$ })가 최소 폭 $\varepsilon$ ({ $displaystyle$ \ $varepsilon})$ 을 $\varepsilon$ 갖는 $경계$ D $({displaystyle$ D})를 $D$ 덮는 캡 $({displaystyle$ $\varepsilon$ C $})$ 세트로 $C$ 명시적으로 정의할 수 있습니다.피복은 $\varepsilon$ ≪ $\varepsilon$ \ $displaystyle \varepsilon ⋅$ $vol(D)$ ( $)$ \ $displaystyle$ vol ( $D)$ 입니다 $vol(D)$ ^[3]

레퍼런스

^ Besau, Florian; Werner, Elisabeth M. (October 2016). "The spherical convex floating body". Advances in Mathematics. 301: 867–901. doi:10.1016/j.aim.2016.07.001. ISSN 0001-8708.
^ M., Nagy, Stanislav Schütt, Carsten Werner, Elisabeth (2019). Halfspace depth and floating body. The American Statistical Association, the Bernoulli Society, the Institute of Mathematical Statistics, and the Statistical Society of Canada. OCLC 1108755798.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Bárány, Imre (2007). "Random Polytopes, Convex Bodies, and Approximation" (PDF). Stochastic Geometry: Lectures Given at the C.I.M.E. Summer School Held in Martina Franca, Italy, September 13–18, 2004. Lecture Notes in Mathematics. Springer. 1892: 77–118. doi:10.1007/978-3-540-38175-4_2. ISBN 978-3-540-38174-7.
^ ^a ^b "Floating Bodies - Numberphile". YouTube.
^ ^a ^b Ludwig, Monika; Reitzner, Matthias (15 October 1999). "A Characterization of Affine Surface Area". Advances in Mathematics. 147 (1): 138–172. doi:10.1006/aima.1999.1832. ISSN 0001-8708.

[1] Besau, Florian; Werner, Elisabeth M. (October 2016). "The spherical convex floating body". Advances in Mathematics. 301: 867–901. doi:10.1016/j.aim.2016.07.001. ISSN 0001-8708.

[2] M., Nagy, Stanislav Schütt, Carsten Werner, Elisabeth (2019). Halfspace depth and floating body. The American Statistical Association, the Bernoulli Society, the Institute of Mathematical Statistics, and the Statistical Society of Canada. OCLC 1108755798.

[IB-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Bárány, Imre (2007). "Random Polytopes, Convex Bodies, and Approximation" (PDF). Stochastic Geometry: Lectures Given at the C.I.M.E. Summer School Held in Martina Franca, Italy, September 13–18, 2004. Lecture Notes in Mathematics. Springer. 1892: 77–118. doi:10.1007/978-3-540-38175-4_2. ISBN 978-3-540-38174-7.

[YT-4] "Floating Bodies - Numberphile". YouTube.

[AS-5] Ludwig, Monika; Reitzner, Matthias (15 October 1999). "A Characterization of Affine Surface Area". Advances in Mathematics. 147 (1): 138–172. doi:10.1006/aima.1999.1832. ISSN 0001-8708.

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