볼록(금융)

수학적 금융에서 볼록성은 금융모형의 비선형성을 가리킨다. 즉, 기초변수의 가격이 변동하는 경우, 산출물의 가격은 선형적으로 변동하지 않고 모델링 함수의 두 번째 파생상품(또는 느슨하게 말하면, 고차항)에 따라 달라진다. 기하학적으로 이 모델은 더 이상 평평하지 않고 곡선이며, 곡률의 정도를 볼록도라고 한다.

용어.

엄밀히 말하면, 볼록성은 투입가격과 관련하여 생산가격의 두 번째 파생상품을 말한다. 파생상품 가격에서 이것은 그리스인의 하나인 감마(Gamma)라고 한다. 실제로 이들 중 가장 중요한 것은 이자율에 관한 채권 가격의 두 번째 파생상품인 채권 볼록성이다.

두 번째 파생상품은 첫 번째 비선형 용어로서, 따라서 가장 유의미한 경우가 많으므로, 고차 항을 포함하여 일반적으로 비선형성을 언급하기 위해 느슨하게 "합성성"을 사용하기도 한다. 비선형성을 감안한 모형을 정제하는 것을 볼록교정이라고 한다.

수학

형식적으로 볼록함수 조정은 확률 이론의 젠센 불평등에서 발생한다: 볼록함수의 기대값이 기대값의 함수보다 크거나 같음:

$[\displaystyle E[f(X)]\geq f[X].}$

기하학적으로 모델 가격이 현재 가치의 양쪽에서 커브하는 경우(지급 함수는 볼록하고, 그 시점에서 접선선 위에 있다), 기초 가격이 변동하는 경우, 산출물의 가격은 첫 번째 파생상품만을 사용하여 모델링하는 가격보다 더 크다. 반대로, 모델 가격이 하강할 경우(대류도는 음수, 지불함수는 탄젠트 라인 이하), 산출물의 가격은 첫 번째 파생상품만을 사용하여 모델링한 가격보다 낮다.^{[clarification needed]}

정확한 볼록성 조정은 볼록성(가격함수의 두 번째 파생상품)에서 선형이지만, 기초(확률 분포)의 미래 가격 이동 모델과 가격 모델에 따라 달라진다.

해석

볼록도는 파생상품 가격을 해석하는 데 사용될 수 있다. 수학적으로 볼록성은 옵션이다. 옵션의 가격(옵션의 가치)은 기본 지급액의 볼록성에 해당한다.

블랙-숄즈 옵션 가격 책정, 이자율 및 첫 번째 파생상품에서 블랙-숄즈 $방정식$은 ${\displaystyle =}$ = -${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$, ${\displaystyle \Theta =--\Gamma$,}($$적외적으로) 시간 값이 볼록함입니다. 즉, 옵션의 가치는 자산을 매입할 수 있는 옵션과 매입할 수 있는 옵션(통화에서, 풋의 경우 매도할 수 있는 옵션)이 있고, 궁극적인 지급 기능(하키 스틱 모양)은 볼록 - "옵션성"은 지급액의 볼록성에 해당한다. 따라서 콜옵션을 구매하는 경우 옵션의 기대값은 단순히 기초의 기대 미래 가치를 취하여 옵션의 지급함수에 입력하는 것보다 높다. 즉 볼록함수의 기대값은 기대값의 함수(Jensen 불평등)보다 높다. 따라서 옵션의 가격(옵션의 가치)은 지급함수의^{[clarification needed]} 대류성을 반영한다.

이 값은 계층을 통해 격리된다. 즉, 현금 계층을 구입하는 것(기본 자산 가격이 상승하거나 하락할 경우 가치가 상승함)에는 델타가 없다(초기에는). 단순히 기본 자산에 대한 입장을 취하지 않고 볼록성(옵션성)을 구입하는 것이다. 즉, 방향성이 아니라 이동 정도에서 이익을 얻는 것이다.

위험 관리의 관점에서 볼 때 긴 볼록성(긍정적인 감마성을 가지고 있고 따라서 (금리 및 델타를 무시) 음의 테타)은 변동성(긍정적인 감마)에서 이익을 얻지만 시간이 지날수록 손실이 발생한다는 것을 의미하며, 이는 가격이 예상보다 많이 움직이면 순이익(부정적인 테타)으로, 가격이 예상보다 적게 움직이면 순손실을 본다는 것을 의미한다..

볼록도 조정

모델링 관점에서 볼 때, 모델링된 기초 재무 변수가 가격책정에 따른 마팅게일이 아닐 때마다 볼록성 조정이 발생한다. Girsanov의 정리를^[1] 적용하면 가격책정에 따라 모델링된 재무변수의 역동성을 표현할 수 있으며, 따라서 이러한 볼록도 조정을 추정할 수 있다. 볼록도 조정의 대표적인 예는 다음과 같다.

• Quanto 옵션: 기초는 지급 통화와 다른 통화로 표시된다. 만약 할인된 기초가 국내 위험중립조치에 따른 마팅게일이라면, 지급통화 위험중립조치에 해당하지 않는다.
• CMS(Continuous Meridance Swap) 기기(스왑, 캡/플로어)^[2]
• 담보부 증권 또는 기타 콜러블 사채에 대한 옵션조정 스프레드(OAS) 분석
• 유로달러 선물로부터의 IBOR 선도금리 계산
• LIBOR 시장 모델(LMM)에 따라 IBOR 전달

참조

• Benhamou, Eric, Global 파생상품: 제품, 이론 및 실습,pp. 111–120, 5.4 볼록도 조정(esp. 5.4.1 볼록도 보정) ISBN978-981-256-689-8
• Pelsser, Antoon. "Mathematical Foundation of Convexity Correction". SSRN 267995. Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)