제2차 파생상품

에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
v t

미적분학에서 함수 f의 두 번째 파생상품 또는 두 번째 순서 파생상품은 f의 파생상품이다. 대략적으로 말하면, 두 번째 파생상품은 수량의 변화율 자체가 어떻게 변화하는지 측정한다. 예를 들어, 시간에 관한 물체의 위치의 두 번째 파생상품은 물체의 순간적인 가속도 또는 물체의 속도가 시간에 따라 변하는 속도다. 라이프니즈 표기법:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v}}{dt}={\frac {d^{2}{\frac {d^{x}}}{dt^{2}},}}$

여기서 a는 가속도, v는 속도, t는 시간, x는 위치, d는 순간적인 "속도" 또는 변화다. 마지막$$ 표현 d $2{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}\mathit{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{{t\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 ${\dfrac {d^{2}{\boldsymbol{x}{dt^{2}}:$ 시간 관련 위치(x)의 두 번째 파생물이다.

함수의 그래프에서 두 번째 파생상품은 그래프의 곡면성이나 응집성에 해당한다. 양의 두 번째 파생상품이 있는 함수의 그래프는 위쪽으로 오목한 반면, 음의 두 번째 파생상품 곡선이 있는 함수의 그래프는 반대 방향이다.

제2차 파생전력 규칙

첫 번째 파생상품에 대한 전력규칙은 두 번 적용하면 다음과 같은 두 번째 파생상품 전력규칙이 생성된다.

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {d}{dx}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.}$

표기법

함수 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$의 두 번째 파생상품은 일반적으로$$ $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f"(x)}$로 표시된다$.$^[1][2] 즉,

$'\displaystyle f'=\왼쪽(f'\오른쪽')$

파생상품에 Leibniz의 표기법을 사용할 때 독립 변수 x에 대한 종속 변수 y의 두 번째 파생상품이 기록된다.

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}.}$

이 표기법은 다음과 같은 공식에서 유래한다.

${\dplaystyle {\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\{dx}\frac {dy}}}\오른쪽).}$

대체 표기법

앞의 절에서 언급했듯이, 두 번째 파생상품의 표준 라이프니즈 표기법은 d $\frac{{}^{}}{}$ $\frac{}{}$ $\frac{{x\mathrm{}}^{}}{}$ 2 ${\$ 그러나 이 형식은 대수적으로 조작할 수 없다. 즉, 비록 미분수처럼 생겼지만, 미분수는 조각으로 쪼개질 수 없고, 용어는 취소할 수 없다. 그러나 이러한 제한은 두 번째 파생상품에 대한 대체 공식을 사용하여 해결할 수 있다. 이것은 첫 번째 파생상품에 대한 지분의 법칙을 적용한 것에서 파생된 것이다.^[3] 이렇게 하면 다음과 같은 공식이 나온다.

${\displaystyle y''(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}x}{dx^{2}}}}$

이 공식에서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle du$$}$은$($는) $u{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $d(u$ $d{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle }$${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ d$^{2}u}$은(는$) 차등$ 연산자를 두 번 적용하는 것을 나타낸다$$$$. 즉, $d{\displaystyle (u}$)$$$및$ d ${\displaystyle {u\mathrm{}}^{}}$ 2 {$d$$($는 표시 형식이다$.$$du^{2$}}:$$$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u$${\displaystyle }$즉 (${\displaystyle d}$ (${\displaystyle u{}^{})}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$d$(u))$에 적용되는 차동 연산자의 제곱을 말한다$$.$^{2}}$.

(그리고 위에서 주어진 표기법의 의미를 참작하여) 이렇게 쓰여질 때, 제2차 파생상품의 용어들은 다른 대수학 용어처럼 자유롭게 조작될 수 있다. 예를 들어, 두 번째 파생상품에 대한 역함수 공식은 두 번째 파생상품에 대한 체인 규칙뿐만 아니라 위의 공식의 대수적 조작으로부터 추론할 수 있다. 이런 표기법을 바꾸는 것이 그 문제의 가치가 충분히 있을 만큼 충분한 도움이 되는지 여부는 여전히 논의 중에 있다.^[4]

예

함수를 지정함

${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

f의 파생어는 함수다.

${\displaystyle f^{\premy }(x)=3x^{2}.}$

f의 두 번째 파생상품은 $′{\$ f$^{\prime}}$의 파생상품이다$.$

$\displaystyle f^{\premy \premy \premy }(x)=6x}$

그래프와의 관계

콩카비티

함수 f의 두 번째 파생상품은 f의 그래프의 동일성을 결정하는 데 사용될 수 있다.^[2] 두 번째 파생상품이 양의 값인 함수는 위로 오목하게 되며(볼록이라고도 함), 접선선이 함수의 그래프 아래에 있다는 것을 의미한다. 마찬가지로 두 번째 파생상품이 음수인 함수는 아래쪽으로 오목하게 되며(단순히 오목이라고도 함), 접선선은 함수의 그래프 위에 위치하게 된다.

변곡점

함수의 두 번째 파생상품이 부호를 변경하면 함수의 그래프가 오목한 곳에서 위로, 또는 그 반대로 바뀐다. 이런 일이 일어나는 지점을 변곡점이라고 한다. 두 번째 파생상품이 연속적이라고 가정할 때, 두 번째 파생상품이 0인 모든 지점이 반드시 변곡점인 것은 아니지만, 어떤 변곡점에서라도 0의 값을 취해야 한다.

2차파생성시험

두 번째 파생상품과 그래프 사이의 관계는 함수에 대한 정지점($즉{\displaystyle {}^{}}$, f ${\displaystyle \prime (x}$) = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f'(x)=0$이 국소 최대점인지 국소 최소점인지를 시험하는 데 사용될 수 있다. 구체적으로 말하자면

• () < ${\displaystyle f^{\prime$\prime $\prime$ }($x$$0}$인 경우, f {\$displaystyle f}$은(는$)$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 로컬 최대값을 갖는다$$$.$
• ( )> ${\displaystyle f^{\prime$\prime \$prime }(x)$0인 경우, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaysty x}$에서 로컬 최소값을 갖는다$$$.$
• ${\displaystyle f{\mathrm{}}^{}}$′${\displaystyle {}^{}{\mathrm{\prime }}^{}}$ ( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ f$^{\premium$\prime \$prime }(x)=0}$인 경우$,$ 두 번째 파생 테스트에서는 가능한 변곡점인$$$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대해 아무 것도 언급하지 않는다.

두 번째 파생상품이 이러한 결과를 산출하는 이유는 실제 유추로 볼 수 있다. 처음에는 큰 속도로 전진하지만 음의 가속도로 전진하는 차량을 생각해 보십시오. 분명히, 속도가 0에 도달하는 지점에서 차량의 위치는 출발 위치에서 최대 거리가 될 것이다 – 이 시간이 지나면 속도가 음이 되고 차량이 후진한다. 처음에는 매우 음속이지만 양의 가속도를 가진 차량이 있는 경우, 최소한도 마찬가지다.

한계

두 번째 파생상품에 대해 단일 한도를 작성할 수 있다.

${\displaystyle f"(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}.}$

그 한계를 제2대칭파생이라고 한다.^[5][6] 두 번째 대칭적 파생상품은 (현행) 두 번째 파생상품이 존재하지 않더라도 존재할 수 있다는 점에 유의한다.

오른쪽의 표현은 차이 인수의 차이 인수로 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}={\frac {{\f(x+h)-f(x)}{h}}}{\frac {{f(x-h)-{h}}}}}}.}$

이 한계는 시퀀스에 대한 두 번째 차이의 연속적인 버전으로 볼 수 있다.

그러나 위의 한계가 존재한다고 해서 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$이(가) 두 번째 파생상품을 갖는$$ 것은 아니다. 위의 한계는 단지 두 번째 파생상품의 계산 가능성을 제공하지만 정의를 제공하지 않는다. counterexample은 기호 함수 ${\displaystyle \mathrm{sgn}}$⁡${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ ,$$로 정의된다.

${\displaystyle \sgn}(x)={\case}-1&{\text}{{}x<0,\0&{\text}{{{}text{}}}}}}}}}}x=0,\0&{\text{}x}0.\end{case}}}$

부호 함수는 0에서 연속되지 않으므로 $x{\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle x=0}$에 대한 두 번째 파생상품은 존재하지$$ 않는다. 그러나 $위$의 ${\displaystyle \mathrm{제한}}$은${\displaystyle }$x$$= 0 {\$displaystyle x$0$}$에 대해 존재한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}:}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}=0}=0.\end{정렬}}}$

2차 근사치

첫 번째 파생상품이 선형 근사치에 관련된 것처럼, 두 번째 파생상품은 함수 f에 대한 가장 좋은 2차 근사치와 관련이 있다. 이것은 첫 번째와 두 번째 파생상품이 주어진 점에서 f의 파생상품과 동일한 2차적 기능이다. x = a 점 주위의 함수 f에 대한 최적의 2차 근사치에 대한 공식은

${\displaystyle f(x)\cHB(a)+f'(a)+{\tfrac {1}{1}{1}{1}f'(a)(x-a)^{2}.}$

이 2차 근사치는 x = a에 중심을 둔 함수에 대한 2차 테일러 다항식이다.

두 번째 파생상품의 고유값과 고유벡터

경계 조건의 많은 조합의 경우 두 번째 파생상품의 고유값과 고유 벡터에 대한 명시적 공식을 구할 수 있다. For example, assuming ${\displaystyle x\in [0,L]}$ and homogeneous Dirichlet boundary conditions (i.e., ${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$), the eigenvalues are ${\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ and the corresponding eigenvectors (also called eigenfunctions) are ${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}$. Here, ${\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty .}$

다른 잘 알려진 사례에 대해서는 두 번째 파생상품의 고유값과 고유벡터를 참조한다.

상위 차원으로 일반화

헤시안

두 번째 파생상품은 두 번째 부분파생상품의 개념을 통해 더 높은 차원으로 일반화한다. 함수 f: R³ → R의 경우, 여기에는 세 개의 2차 부분 순서가 포함된다.

${\displaystyle {\frac {\preason ^{2}f}{\present x^{2}}:\frac {\present y^{2}}{\text{\precip}{\frac {\f}{2}{\preas z^{2}}:}}}}}}}}}}$

그리고 혼합된 부분들

${\displaystyle {\frac {\fract ^{2}f}{\reason x\,\reason y},\\\fract ^{2}f}{\reason x\,\reason z},{\frac {\frac ^{\reason y\,\reason z}}}}}}.}$

함수의 이미지와 영역이 모두 전위를 가질 경우, 이러한 이미지들은 헤시안이라고 알려진 대칭 행렬에 함께 적합된다. 이 행렬의 고유값은 두 번째 파생상품 시험의 다변량 아날로그 구현에 사용할 수 있다. (두 번째 부분파생상품 테스트도 참조)

라플라시안

두 번째 파생상품의 또 다른 일반적인 일반화는 라플라시안이다. ${\displaystyle {by\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$또는 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta$ $\})$에 의해 정의된 차동 연산자 입니다$.{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$

${\displaystyle \fla ^{2}f={\frac {\f}{2}}{\frac {\f^{2}}+{\fract y^{2}}}{\frac {\flaff}{\flaim z^{2}}}}}}}}.}$

함수의 라플라시아어는 경사의 발산 및 헤시안 행렬의 추적과 동일하다.

참고 항목

• 치르피니티, 순간상의 두 번째 파생상품
• 유한차이, 두 번째 파생상품의 근사치에 사용된다.
• 2차 부분파생상품시험
• 두 번째 파생상품의 대칭성

참조

추가 읽기

인쇄하다

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Spivak, Michael (September 1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

온라인 도서

• Crowell, Benjamin (2003), Calculus
• Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
• Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, archived from the original on 2006-04-15
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
• Strang, Gilbert (1991), Calculus
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, archived from the original on 2005-09-11
• Wikibooks, Calculus

외부 링크

• 불규칙한 간격의 점으로부터의 이산형 두 번째 파생상품