콘웨이 기준 13 함수

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콘웨이 베이스 13 함수는 영국의 수학자 존 H. 콘웨이가 중간값 정리의 역행의 백작 샘플로서 만들어낸 함수다. 즉, 특정 중간값 속성(a, b), 함수 f는 f(a)와 f(b) 사이의 모든 값을 취하지만 연속적이지 않은 함수다.

목적

콘웨이 베이스 13 함수는 '프로듀스' 활동의 일환으로 만들어졌다. 이 경우, 모든 구간에서 모든 실제 가치를 차지하는 이해하기 쉬운 기능, 즉, 어디서나 추월적인 기능을 생산하는 것이 과제였다.^[1] 그러므로 그것은 모든 점에서 불연속적이다.

정의 스케치

• 모든 실제 숫자 x는 고유한 표준 방식으로 베이스 13으로 나타낼 수 있다. 이러한 표현은 숫자 0–9와 세 개의 추가 기호(예: {A, B, C})를 더하여 사용한다. 예를 들어, 54349589라는 숫자는 13의 base-13을 나타낸다. B34C128.
• {A, B, C} 대신 {+, -, .} 기호를 신중하게 선택하면, 베이스 13의 일부 숫자들은 베이스 10에 잘 형성된 소수처럼 보이는 표현을 갖게 된다. 예를 들어, 숫자 54349589는 베이스-13을 나타낸다. −34.128물론, 대부분의 숫자들은 이런 식으로 이해할 수 없을 것이다; 예를 들어, 3629265라는 숫자는 13의 base-13을 나타낸다. 9+0−−7.
• 콘웨이의 base-13 함수는 실제 숫자 x를 취하며, 그 base-13 표현을 기호 {0, 1, ..., 9, +, -, .}의 순서로 간주한다. 만일 앞으로 어떤 위치에서 표현하면 십진수 r, 그 다음 f(x) = r. 그렇지 않으면 f(x) = 0. (잘 구성된다는 것은 + 또는 - 기호로 정확히 시작한다는 뜻이다. 소수점 기호, 0~9자리 숫자만 포함. 예를 들어, 숫자 x에 표시가 있는 경우 8++2.19+0−−7+3.141592653..., 그러면 f(x) = +3.141592653....

정의

콘웨이 base-13 함수는 다음과 같이 정의된$$ $f{\displaystyle }$ :${\displaystyle }$R →${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ {R$} \to \mathb$ {R$} 함수$다. $13개$의 기호를 "자리"로 $사용$하여 인수 x {\displaystyle $x}$ 값을$$ 3진수(기본 13의 "십진수")로 쓰십시오. 0, 1, ..., 9, A, B, C. 후행 C가 반복되지 않아야 함. 선행 기호가 있을 수 있고, 어딘가에 정수 부분과 분수 부분을 분리하는 3차원 지점이 있을 것이다. 이 두 지점 모두 후속편에서 무시되어야 한다. 이러한 "자릿수"는 각각 0~12개의 값을 갖는다고 생각할 수 있다. 콘웨이는 원래 A, B, C 대신 "+", "-" 및 "."를 사용했으며, 일반적인 10자리 숫자와 명확하게 구별하기 위해 13자리 "자릿수"에 밑줄을 그었다.

• If from some point onwards, the tridecimal expansion of ${\displaystyle x}$ is of the form ${\displaystyle Ax_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots }$ where all the digits ${\displaystyle x_{i}}$ and ${\displaystyle y_{j}}$ are in ${\displayst$$yle \{0,\buffer,9$ 다음 f${\displaystyle (x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$… ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ .${\displaystyle {}_{}}$y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$… ${\displaystyle f(x)=x_{1}\display x_{n}.$통상적인$base-10 표기법$에서 y_{1}$y_{2}\properties }.$
• Similarly, if the tridecimal expansion of ${\displaystyle x}$ ends with ${\displaystyle Bx_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots }$, then ${\displaystyle f(x)=-x_{1}\dots x_{n}.$$y_{1}y_{2}\properties }$.
• ${\displaystyle \mathrm{그렇지}}$ 않으면 $f{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(x)=0}$.

예를 들면 다음과 같다.

• ${\displaystyle f}$(${\displaystyle 12345}$ ${\displaystyle \mathrm{A}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \mathrm{C}}$ ${\displaystyle 14159}$ ${\displaystyle \dots {}_{\mathrm{}}}$) = ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle A\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{3}}$ C ${\displaystyle 14159}$ ${\displaystyle \dots {}_{\mathrm{}}}$) = 3.${\displaystyle 14159}$… ${\displaystyle f(\mathrm {12345A3C14159} \dots _{13})=f(\mathrm {A3C14159} \dots=3.14159$
• ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{C}}_{}}$ ${\displaystyle {234}_{}}$ ${\displaystyle {13}_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle \mathrm{}}$- 1${\displaystyle .234}$ ${\displaystyle f(\mathrm {B1C234} _{13}=-1.234$
• ${\displaystyle$$A567} _{13}=0}$.

특성.

• 중간값 정리에 따르면 모든 연속 실함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 중간값 속성을 가지고$$ 있다. 모든 간격(a, b)에서 f${\displaystyle ()}$ ${\displaystyle$ f$}$과${\displaystyle (b)}$ $사이$의 모든 지점을 $()$ ${\displaystystyle f(b)$가 통과한다$.$ Conway base-13 함수는 역이 거짓이라는 것을 보여준다. 역은 중간 값 속성을 만족시키지만 연속적이지 않다.
• 사실, Conway base-13 함수는 훨씬 더 강한 중간 값 속성을 만족한다. 모든 간격(a, b)에서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 함수가 모든 실제 숫자를 통과한다$$. 결과적으로, 그것은 훨씬 더 강한 불연속 재산을 만족시킨다. 즉, 그것은 어디에서나 불연속적이다.
• 콘웨이 베이스-13 함수가 이 더 강한 중간 특성을 만족한다는 것을 증명하기 위해 (a, b) 구간이 되게 하고, c를 그 구간에서 점이 되게 하고, r을 어떤 실제 숫자가 되게 한다. r의 base-13 인코딩을 다음과 같이 생성한다: r의 base-10 표현부터 시작하여 소수점을 C로 바꾸고 A(r이 양의 경우) 또는 B(r이 음의 경우)를 처음부터 미리 하여 r의 기호를 표시한다. Conway base-13 함수의 정의에 따라 결과 문자열 $r{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은(는) $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle$ f$({\hat{r})=r}$을(를) 갖는$$ 속성을 가지고 있으며$,$ r ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$로 끝나는 모든 base-13 문자열은 이 속성을 갖는다$$. 따라서 c의 꼬리 끝을 $r{\displaystyle \hat{}}$ ${\$ {$r}($으$)$로 교체하면 결과 번호는 f(c') = r이 된다. $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$의 3차원 표현을 따라 이 수정을 충분히 도입함으로써$$새 숫자 $c{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이(가) 여전히 간격 내에 있음을$$ 확인할 수 있다.${\displaystyle (}$ ${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$ )$${\$displaystyle (a,b$ 이것은 모든 숫자 r에 대해 $f{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle$ $c$$'}$과 같은 $점{\displaystyle {}^{}}$ c$$display {\$displaystyle$ c$'}$을(를) 찾을 수 있다는 것을 증명한다$.$
• 따라서 콘웨이 베이스-13 함수는 모든 곳에서 불연속적이다. x에서 연속되는 실제 함수는 x에서 국부적으로 경계되어야 한다. 즉, x 주변의 어느 정도 간격으로 경계되어야 한다. 그러나 위에서 보여지듯이 콘웨이 베이스-13 함수는 모든 포인트 주변의 모든 간격에 한없이 경계되어 있기 때문에 어디에서도 연속되지 않는다.

참고 항목

• 다르부 함수

참조

• Oman, Greg (2014). "The Converse of the Intermediate Value Theorem: From Conway to Cantor to Cosets and Beyond" (PDF). Missouri J. Math. Sci. 26 (2): 134–150. Archived (PDF) from the original on 2016-08-20.